E(X)

Chapitre 06 · Première

Cours

Variables Aléatoires

Loi de probabilité, espérance, variance et loi binomiale

Une variable aléatoire est une quantité numérique dont la valeur dépend du hasard. Sa loi de probabilité décrit toutes les valeurs possibles et leurs probabilités. L'espérance (valeur moyenne « à long terme ») et la variance (dispersion autour de la moyenne) sont les deux indicateurs statistiques fondamentaux. La loi binomiale modélise les expériences répétées indépendantes à deux issues.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Variable aléatoire discrète et loi de probabilité

Une variable aléatoire discrète

X

prend des valeurs dans un ensemble fini (ou dénombrable)

\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}

. Sa loi de probabilité est le tableau des valeurs

x_i

et des probabilités

p_i = P(X = x_i)

.

La somme des probabilités vaut toujours

1

\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1

.

La fonction de répartition est

F(x) = P(X \leq x)

, utile pour calculer des probabilités cumulées.

Définition

Espérance mathématique

L'espérance de

X

est

E(X) = \displaystyle\sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)

. C'est la valeur « moyenne » qu'on obtient en répétant l'expérience un grand nombre de fois.

Définition

Variance et écart-type

La variance est

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \displaystyle\sum_i x_i^2 \cdot P(X = x_i) - [E(X)]^2

. L'écart-type est

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

. Plus

V(X)

est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de l'espérance.

Exemple 1— Loi de probabilité, espérance et variance

On lance un dé équilibré. Soit

X

le gain (en €) défini par :

X = 2

si le résultat est 6,

X = 1

si le résultat est 4 ou 5,

X = -1

sinon. Calculer

E(X)

V(X)

Solution

Loi de

X

:
-

P(X = 2) = \dfrac{1}{6}

P(X = 1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}

P(X = -1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Vérification :

\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = 1

✓

E(X) = 2 \times \dfrac{1}{6} + 1 \times \dfrac{1}{3} + (-1) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17

€

E(X^2) = 4 \times \dfrac{1}{6} + 1 \times \dfrac{1}{3} + 1 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}

V(X) = \dfrac{3}{2} - \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{54 - 1}{36} = \dfrac{53}{36} \approx 1{,}47

$\sum p_i = 1$ toujours.
$E(X) = \sum x_i p_i$ .
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ .

2Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

On réalise

n

épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant probabilité

p

de succès. La variable

X

= « nombre de succès » suit la loi binomiale

\mathcal{B}(n, p)

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}

Le coefficient binomial est

\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

.

Espérance :

E(X) = np

.

Variance :

V(X) = np(1-p)

Définition

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité

p

) ou échec (probabilité

1-p

q

). Le lancer d'une pièce, le tirage avec remise, le test d'un composant sont des épreuves de Bernoulli.

Définition

Coefficient binomial $\binom{n}{k}$

\binom{n}{k}

(«

k

parmi

n

») est le nombre de façons de choisir

k

éléments parmi

n

. Formule :

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

. Propriété :

\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Exemple 1— Calcul avec la loi binomiale

Un QCM a 10 questions, chacune avec 4 propositions dont une seule est juste. Un élève répond au hasard. Soit

X

le nombre de bonnes réponses. Donner la loi de

X

, calculer

P(X = 3)

E(X)

Solution

X \sim \mathcal{B}\!\left(10, \dfrac{1}{4}\right)

P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^7 = 120 \times \frac{1}{64} \times \frac{2187}{16384}

= 120 \times \frac{2187}{1\,048\,576} \approx \mathbf{0{,}2503}

E(X) = np = 10 \times \dfrac{1}{4} = \mathbf{2{,}5}

bonnes réponses en moyenne.

$X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : $n$ épreuves indépendantes, $p$ probabilité de succès.
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .
$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ .

★ À retenir

1
$E(X) = \sum x_i p_i$ (espérance = moyenne pondérée).
2
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ , $\sigma = \sqrt{V(X)}$ .
3
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ .
4
$E(X) = np$ , $V(X) = np(1-p)$ pour la loi binomiale.

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Chapitre 05

Variables Aléatoires

Comment utiliser ce cours efficacement

1Variable aléatoire discrète et loi de probabilité

2Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

★ À retenir

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Polynômes du Second Degré