P(A|B)

Chapitre 05 · Première

Cours

Probabilités Conditionnelles

Conditionnement, indépendance et formule des probabilités totales

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est réalisé. Elles modélisent des situations où une information partielle modifie notre évaluation des chances. La formule des probabilités totales et la décomposition par arbre sont les outils principaux de ce chapitre.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Probabilité conditionnelle

Soit

A

B

deux événements avec

P(B) > 0

. La probabilité de $A$ sachant $B$ est :

P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

On en déduit immédiatement la formule des probabilités composées :

P(A \cap B) = P(B) \times P(A | B) = P(A) \times P(B | A)

Cette formule se lit sur un arbre de probabilités : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.

Définition

Probabilité conditionnelle $P(A|B)$

P(A|B)

est la probabilité que

A

se réalise sachant que

B

est réalisé. Elle ne dépend que de l'univers restreint à

B

P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

Définition

Événements indépendants

Deux événements

A

B

sont indépendants si et seulement si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

, ce qui équivaut à

P(A|B) = P(A)

(la réalisation de

B

ne modifie pas la probabilité de

A

Exemple 1— Calcul d'une probabilité conditionnelle

Dans une classe de 30 élèves, 18 font du sport, 12 font de la musique et 6 font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer

P(\text{musique} | \text{sport})

Solution

P(\text{sport}) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}

P(\text{sport} \cap \text{musique}) = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}

P(\text{musique} | \text{sport}) = \frac{P(\text{sport} \cap \text{musique})}{P(\text{sport})} = \frac{1/5}{3/5} = \mathbf{\frac{1}{3}}

$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
Probabilités composées : $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ .
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

2Formule des probabilités totales

\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}

est une partition de l'univers

\Omega

(événements deux à deux incompatibles dont la réunion est

\Omega

, tous de probabilité non nulle), alors pour tout événement

A

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i)

Cette formule est utilisée quand

A

peut se produire via plusieurs « chemins » (représentés par les branches d'un arbre).

Définition

Partition de l'univers

Les événements

B_1, \ldots, B_n

forment une partition de

\Omega

si : ils sont deux à deux incompatibles (

B_i \cap B_j = \emptyset

pour

i \neq j

) et leur réunion est

\Omega

(

B_1 \cup \cdots \cup B_n = \Omega

Définition

Formule de Bayes (hors programme, mais utile)

Si on connaît

P(A|B_i)

P(B_i)

, on peut retrouver

P(B_j | A) = \dfrac{P(B_j) \cdot P(A|B_j)}{P(A)}

grâce à la formule des probabilités totales au dénominateur.

Exemple 1— Formule des probabilités totales avec un arbre

Une urne

A

contient 3 boules rouges et 2 bleues. Une urne

B

contient 1 rouge et 4 bleues. On choisit l'urne

A

avec probabilité

0{,}4

et l'urne

B

avec probabilité

0{,}6

. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

Solution

Notons

R

= « tirer une boule rouge ».

P(A) = 0{,}4

P(R|A) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6

P(B) = 0{,}6

P(R|B) = \dfrac{1}{5} = 0{,}2

.

Formule des probabilités totales :

P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B) = 0{,}4 \times 0{,}6 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}24 + 0{,}12 = \mathbf{0{,}36}

Partition $\{B_1, \ldots, B_n\}$ : $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ .
Sur un arbre, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long du chemin.
La probabilité d'un événement = somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.

★ À retenir

1
$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ pour $P(B) > 0$ .
2
$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ (probabilités composées).
3
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .
4
Probabilités totales : $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ si $\{B_i\}$ est une partition.

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Probabilités Conditionnelles

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★ À retenir

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Fonctions de Référence