Fonctions de Référence — Exercices Corrigés Première

1Facile

Étude de la fonction racine carrée et dérivée

Énoncé

Soit

f(x) = \sqrt{3x + 1}

.
1. Déterminer le domaine de définition

D_f

.
2. Calculer

f'(x)

et étudier la monotonie de

f

.

Correction détaillée

01

Domaine de définition

f

est définie si

3x + 1 \geq 0

, soit

x \geq -\dfrac{1}{3}

.

D_f = \left[-\frac{1}{3},\ +\infty\right[

02

Dérivée par la règle de composition $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Avec

u = 3x + 1

et

u' = 3

:

f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

03

Monotonie

Pour

x > -\frac{1}{3}

:

\sqrt{3x+1} > 0

, donc

f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} > 0

.
$f$ est strictement croissante sur $D_f$ .

2Intermédiaire

Résoudre une équation avec des radicaux

Énoncé

Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

\sqrt{2x + 3} = x - 1

.

Correction détaillée

01

Conditions d'existence

Le membre gauche est une racine carrée, donc

\geq 0

. Il faut :
-

2x + 3 \geq 0 \implies x \geq -\frac{3}{2}

-

x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1

(car le membre droit doit être positif)
Condition d'existence :

x \geq 1

.

02

Résolution par mise au carré

Pour

x \geq 1

, on met au carré (les deux membres sont positifs) :

2x + 3 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1

x^2 - 4x - 2 = 0

\Delta = 16 + 8 = 24 \implies x = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}

03

Vérification des conditions

x_1 = 2 + \sqrt{6} \approx 4{,}45 \geq 1

✓

x_2 = 2 - \sqrt{6} \approx -0{,}45 < 1

✗ (ne vérifie pas la condition)
**L'unique solution est

x = 2 + \sqrt{6}

.**

3Intermédiaire

Fonction valeur absolue et inéquations

Énoncé

Résoudre dans

\mathbb{R}

les inéquations suivantes :
1.

|2x - 3| < 5

2.

|x + 1| \geq |x - 2|

3.

|x^2 - 4| \leq 3

Correction détaillée

01

Résolution de $|2x - 3| < 5$

|u| < 5 \Leftrightarrow -5 < u < 5

. Donc :

-5 < 2x - 3 < 5 \implies -2 < 2x < 8 \implies -1 < x < 4

Solution : $x \in ]-1, 4[$ .

02

Résolution de $|x+1| \geq |x-2|$ par mise au carré

Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :

(x+1)^2 \geq (x-2)^2 \implies x^2+2x+1 \geq x^2-4x+4

6x \geq 3 \implies x \geq \frac{1}{2}

Solution : $x \in \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$ .

03

Résolution de $|x^2 - 4| \leq 3$

|u| \leq 3 \Leftrightarrow -3 \leq u \leq 3

. Donc

-3 \leq x^2 - 4 \leq 3

, soit

1 \leq x^2 \leq 7

.
-

x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \leq -1

ou

x \geq 1

-

x^2 \leq 7 \Leftrightarrow -\sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7}

**Solution :

x \in [-\sqrt{7}, -1] \cup [1, \sqrt{7}]

.**

4Difficile

Étude complète d'une fonction avec racine carrée

Énoncé

Soit

f(x) = x\sqrt{x+2}

définie sur

[-2, +\infty[

.
1. Calculer

f'(x)

et étudier le signe de

f'(x)

.
2. Dresser le tableau de variations de

f

et trouver les extrema.
3. Résoudre

f(x) = 0

.

Correction détaillée

01

Calcul de $f'(x)$ par la règle du produit

Posons

u = x

et

v = \sqrt{x+2}

. Alors

u' = 1

et

v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}

.

f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2) + x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}

f'

est définie sur

]-2, +\infty[

.

02

Signe de $f'$ et tableau de variations

Pour

x > -2

:

2\sqrt{x+2} > 0

. Le signe de

f'

est celui de

3x + 4

.

3x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{4}{3}

.

\begin{array}{c|cccc} x & -2 & & -\frac{4}{3} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & & \nearrow & +\infty \end{array}

03

Extremum et zéros de $f$

Minimum en $x = -\frac{4}{3}$ :

f\!\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{4}{3} \times \sqrt{-\frac{4}{3}+2} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{4\sqrt{6}}{9} \approx -1{,}09

Zéros de $f$ :

f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0

ou

\sqrt{x+2} = 0 \Leftrightarrow x = -2

.
Solutions : $x = -2$ et $x = 0$ .