MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Première

Produit Scalaire

Définition, propriétés, angle entre vecteurs et orthogonalité

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Travailler Produit Scalaire en Première

Ce chapitre de produit scalaire en première te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Repérer précisément les données de la figure et les codages utiles.
  • Identifier la propriété géométrique avant de commencer les calculs.

Compétences à maîtriser

  • Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
  • Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Erreurs fréquentes

  • Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
  • Oublier de vérifier les conditions d’application.

En contrôle ou en examen : Les chapitres de géométrie rapportent des points quand la rédaction reste rigoureuse.

1Facile

Calcul du produit scalaire et angle

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Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(3,4)\vec{u}(3, 4) et v⃗(−2,1)\vec{v}(-2, 1).
1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
2. En déduire le cosinus de l'angle θ=(u⃗,v⃗^)\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).

Correction détaillée

01

Produit scalaire par coordonnées

u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv=3×(−2)+4×1=−6+4=−2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = 3 \times (-2) + 4 \times 1 = -6 + 4 = -2
02

Normes des vecteurs

∥u⃗∥=32+42=25=5\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
∥v⃗∥=(−2)2+12=5\|\vec{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}
03

Cosinus de l'angle

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=−255=−255=−2525≈−0,179\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \frac{-2}{5\sqrt{5}} = \frac{-2}{5\sqrt{5}} = \frac{-2\sqrt{5}}{25} \approx -0{,}179
θ≈arccos⁡(−0,179)≈100,3°\theta \approx \arccos(-0{,}179) \approx 100{,}3°
2Difficile

Application à la géométrie — hauteurs d'un triangle

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Énoncé

On donne le triangle ABCABC avec A(0,0)A(0, 0), B(6,0)B(6, 0) et C(2,4)C(2, 4).
1. Montrer que le triangle n'est pas rectangle.
2. Trouver le pied HH de la hauteur issue de CC sur (AB)(AB).

Correction détaillée

01

Test de rectangle par produit scalaire

AB→(6,0)\overrightarrow{AB}(6,0), AC→(2,4)\overrightarrow{AC}(2,4), BC→(−4,4)\overrightarrow{BC}(-4,4).
AB→⋅AC→=12+0=12≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12 + 0 = 12 \neq 0 → pas rectangle en AA
AB→⋅BC→=−24+0=−24≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -24 + 0 = -24 \neq 0 → pas rectangle en BB
CA→⋅CB→=(−2)(4)+(−4)(−4)=−8+16=8≠0\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2)(4) + (-4)(-4) = -8 + 16 = 8 \neq 0 → pas rectangle en CC.
Le triangle n'est pas rectangle.
02

Paramétrage de $H$ sur $(AB)$

La droite (AB)(AB) est l'axe des abscisses : H=(t,0)H = (t, 0) pour un certain tt.
La hauteur issue de CC est perpendiculaire à (AB)(AB), donc CH→⋅AB→=0\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0.
CH→=(t−2, 0−4)=(t−2,−4)\overrightarrow{CH} = (t - 2,\ 0 - 4) = (t-2, -4).
03

Résolution

CH→⋅AB→=(t−2)×6+(−4)×0=6(t−2)=0  ⟹  t=2\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = (t-2) \times 6 + (-4) \times 0 = 6(t-2) = 0 \implies t = 2
Le pied de la hauteur est H(2,0)H(2, 0). On vérifie : CH→=(0,−4)\overrightarrow{CH} = (0, -4) est bien vertical, perpendiculaire à (AB)(AB) (horizontal). ✓
3Intermédiaire

Produit scalaire et distance — lieu géométrique

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1,2)A(1, 2) et B(5,4)B(5, 4).
Soit M(x,y)M(x, y) un point du plan. On note II le milieu de [AB][AB].
1. Calculer les coordonnées de II.
2. Montrer que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB].
3. Déterminer l'équation de ce cercle.

Correction détaillée

01

Milieu de $[AB]$

I=(1+52, 2+42)=(3,3)I = \left(\frac{1+5}{2},\ \frac{2+4}{2}\right) = (3, 3)
Le rayon du cercle est R=AB2R = \dfrac{AB}{2} avec AB=(5−1)2+(4−2)2=16+4=20=25AB = \sqrt{(5-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Donc R=5R = \sqrt{5}.
02

Condition $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$

MA→=(1−x, 2−y)\overrightarrow{MA} = (1-x,\ 2-y) et MB→=(5−x, 4−y)\overrightarrow{MB} = (5-x,\ 4-y).
MA→⋅MB→=(1−x)(5−x)+(2−y)(4−y)\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1-x)(5-x) + (2-y)(4-y)
=x2−6x+5+y2−6y+8=x2+y2−6x−6y+13= x^2 - 6x + 5 + y^2 - 6y + 8 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 13
C'est nul si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB] (théorème de Thalès réciproque).
03

Équation du cercle

MA→⋅MB→=0⇔x2+y2−6x−6y+13=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 6x - 6y + 13 = 0.
Mise sous forme canonique :
(x−3)2−9+(y−3)2−9+13=0  ⟹  (x−3)2+(y−3)2=5(x-3)^2 - 9 + (y-3)^2 - 9 + 13 = 0 \implies (x-3)^2 + (y-3)^2 = 5
**Cercle de centre I(3,3)I(3, 3) et de rayon 5\sqrt{5}.** ✓
4Intermédiaire

Identités remarquables vectorielles

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Énoncé

Dans un triangle ABCABC, on note a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB.
1. Développer ∥AB→−AC→∥2\|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\|^2 pour retrouver la loi des cosinus : a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A}).
2. Application : dans un triangle avec b=5b = 5, c=7c = 7 et A^=60°\hat{A} = 60°, calculer aa.

Correction détaillée

01

Développement du carré scalaire

BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, donc :
∥BC→∥2=∥AC→−AB→∥2=∥AC→∥2−2AC→⋅AB→+∥AB→∥2\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2
a2=b2+c2−2 AB→⋅AC→a^2 = b^2 + c^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
02

Identification avec le produit scalaire

Par définition du produit scalaire :
AB→⋅AC→=∥AB→∥⋅∥AC→∥⋅cos⁡(A^)=c⋅b⋅cos⁡(A^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\| \cdot \cos(\hat{A}) = c \cdot b \cdot \cos(\hat{A})
Donc :
a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A})}
C'est la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi).
03

Application numérique

Avec b=5b = 5, c=7c = 7, A^=60°\hat{A} = 60° (donc cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}) :
a2=25+49−2×5×7×12=74−35=39a^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
a=39≈6,24a = \sqrt{39} \approx 6{,}24
5Facile

Calcul du produit scalaire et angle — variante

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Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(4,5)\vec{u}(4, 5) et v⃗(−4,2)\vec{v}(-4, 2).
1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
2. En déduire le cosinus de l'angle θ=(u⃗,v⃗^)\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Produit scalaire par coordonnées

u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv=4×(−3)+6×2=−8+6=−3\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = 4 \times (-3) + 6 \times 2 = -8 + 6 = -3
03

Normes des vecteurs

∥u⃗∥=43+63=29=7\|\vec{u}\| = \sqrt{4^3 + 6^3} = \sqrt{29} = 7
∥v⃗∥=(−4)3+23=7\|\vec{v}\| = \sqrt{(-4)^3 + 2^3} = \sqrt{7}
04

Cosinus de l'angle

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=−366=−366=−3633≈−0,199\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \frac{-3}{6\sqrt{6}} = \frac{-3}{6\sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{6}}{33} \approx -0{,}199
θ≈arccos⁡(−0,199)≈100,6°\theta \approx \arccos(-0{,}199) \approx 100{,}6°
6Difficile

Application à la géométrie — hauteurs d'un triangle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On donne le triangle ABCABC avec A(2,2)A(2, 2), B(7,2)B(7, 2) et C(4,6)C(4, 6).
1. Montrer que le triangle n'est pas rectangle.
2. Trouver le pied HH de la hauteur issue de CC sur (AB)(AB).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Test de rectangle par produit scalaire

AB→(6,3)\overrightarrow{AB}(6{,}3), AC→(2,6)\overrightarrow{AC}(2{,}6), BC→(−4,7)\overrightarrow{BC}(-4{,}7).
AB→⋅AC→=15+1=15≠1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 15 + 1 = 15 \neq 1 → pas rectangle en AA
AB→⋅BC→=−31+1=−31≠1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -31 + 1 = -31 \neq 1 → pas rectangle en BB
CA→⋅CB→=(−3)(6)+(−6)(−6)=−10+17=9≠1\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-3)(6) + (-6)(-6) = -10 + 17 = 9 \neq 1 → pas rectangle en CC.
Le triangle n'est pas rectangle.
03

Paramétrage de $H$ sur $(AB)$

La droite (AB)(AB) est l'axe des abscisses : H=(t,2)H = (t, 2) pour un certain tt.
La hauteur issue de CC est perpendiculaire à (AB)(AB), donc CH→⋅AB→=2\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 2.
CH→=(t−3, 2−6)=(t−4,−5)\overrightarrow{CH} = (t - 3,\ 2 - 6) = (t-4, -5).
04

Résolution

CH→⋅AB→=(t−4)×7+(−6)×2=7(t−4)=2  ⟹  t=3\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = (t-4) \times 7 + (-6) \times 2 = 7(t-4) = 2 \implies t = 3
Le pied de la hauteur est H(3,2)H(3, 2). On vérifie : CH→=(2,−6)\overrightarrow{CH} = (2, -6) est bien vertical, perpendiculaire à (AB)(AB) (horizontal). ✓
7Intermédiaire

Produit scalaire et distance — lieu géométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(3,3)A(3, 3) et B(6,6)B(6, 6).
Soit M(x,y)M(x, y) un point du plan. On note II le milieu de [AB][AB].
1. Calculer les coordonnées de II.
2. Montrer que MA→⋅MB→=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2 si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB].
3. Déterminer l'équation de ce cercle.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Milieu de $[AB]$

I=(363, 363)=(5,5)I = \left(\frac{36}{3},\ \frac{36}{3}\right) = (5, 5)
Le rayon du cercle est R=AB3R = \dfrac{AB}{3} avec AB=(7−2)3+(6−3)3=186=24=37AB = \sqrt{(7-2)^3 + (6-3)^3} = \sqrt{186} = \sqrt{24} = 3\sqrt{7}.
Donc R=7R = \sqrt{7}.
03

Condition $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2$

MA→=(3−x, 3−y)\overrightarrow{MA} = (3-x,\ 3-y) et MB→=(6−x, 6−y)\overrightarrow{MB} = (6-x,\ 6-y).
MA→⋅MB→=(3−x)(6−x)+(3−y)(6−y)\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (3-x)(6-x) + (3-y)(6-y)
=x3−8x+6+y3−8y+10=x3+y3−8x−8y+15= x^3 - 8x + 6 + y^3 - 8y + 10 = x^3 + y^3 - 8x - 8y + 15
C'est nul si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB] (théorème de Thalès réciproque).
04

Équation du cercle

MA→⋅MB→=2⇔x3+y3−7x−7y+17=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2 \Leftrightarrow x^3 + y^3 - 7x - 7y + 17 = 2.
Mise sous forme canonique :
(x−5)3−12+(y−5)3−12+17=2  ⟹  (x−5)3+(y−5)3=6(x-5)^3 - 12 + (y-5)^3 - 12 + 17 = 2 \implies (x-5)^3 + (y-5)^3 = 6
**Cercle de centre I(5,5)I(5, 5) et de rayon 6\sqrt{6}.** ✓
8Intermédiaire

Identités remarquables vectorielles — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un triangle ABCABC, on note a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB.
1. Développer ∥AB→−AC→∥4\|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\|^4 pour retrouver la loi des cosinus : a4=b4+c4−4bccos⁡(A^)a^4 = b^4 + c^4 - 4bc\cos(\hat{A}).
2. Application : dans un triangle avec b=7b = 7, c=8c = 8 et A^=69°\hat{A} = 69°, calculer aa.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Développement du carré scalaire

BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, donc :
∥BC→∥4=∥AC→−AB→∥4=∥AC→∥4−4AC→⋅AB→+∥AB→∥4\|\overrightarrow{BC}\|^4 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^4 = \|\overrightarrow{AC}\|^4 - 4\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^4
a4=b4+c4−4 AB→⋅AC→a^4 = b^4 + c^4 - 4\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
03

Identification avec le produit scalaire

Par définition du produit scalaire :
AB→⋅AC→=∥AB→∥⋅∥AC→∥⋅cos⁡(A^)=c⋅b⋅cos⁡(A^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\| \cdot \cos(\hat{A}) = c \cdot b \cdot \cos(\hat{A})
Donc :
a4=b4+c4−4bccos⁡(A^)\boxed{a^4 = b^4 + c^4 - 4bc\cos(\hat{A})}
C'est la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi).
04

Application numérique

Avec b=7b = 7, c=9c = 9, A^=61°\hat{A} = 61° (donc cos⁡61°=24\cos 61° = \frac{2}{4}) :
a4=26+64−4×7×9×24=88−39=49a^4 = 26 + 64 - 4 \times 7 \times 9 \times \frac{2}{4} = 88 - 39 = 49
a=49≈6,27a = \sqrt{49} \approx 6{,}27
9Facile

Calcul du produit scalaire et angle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(4,6)\vec{u}(4, 6) et v⃗(−3,2)\vec{v}(-3, 2).
1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
2. En déduire le cosinus de l'angle θ=(u⃗,v⃗^)\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Produit scalaire par coordonnées

u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv=4×(−4)+5×2=−7+5=−4\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = 4 \times (-4) + 5 \times 2 = -7 + 5 = -4
03

Normes des vecteurs

∥u⃗∥=44+54=28=6\|\vec{u}\| = \sqrt{4^4 + 5^4} = \sqrt{28} = 6
∥v⃗∥=(−4)4+24=6\|\vec{v}\| = \sqrt{(-4)^4 + 2^4} = \sqrt{6}
04

Cosinus de l'angle

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=−377=−377=−3727≈−0,199\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \frac{-3}{7\sqrt{7}} = \frac{-3}{7\sqrt{7}} = \frac{-3\sqrt{7}}{27} \approx -0{,}199
θ≈arccos⁡(−0,199)≈100,4°\theta \approx \arccos(-0{,}199) \approx 100{,}4°
10Difficile

Application à la géométrie — hauteurs d'un triangle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On donne le triangle ABCABC avec A(1,1)A(1, 1), B(8,1)B(8, 1) et C(3,5)C(3, 5).
1. Montrer que le triangle n'est pas rectangle.
2. Trouver le pied HH de la hauteur issue de CC sur (AB)(AB).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Test de rectangle par produit scalaire

AB→(6,2)\overrightarrow{AB}(6{,}2), AC→(2,6)\overrightarrow{AC}(2{,}6), BC→(−4,5)\overrightarrow{BC}(-4{,}5).
AB→⋅AC→=14+2=14≠2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 14 + 2 = 14 \neq 2 → pas rectangle en AA
AB→⋅BC→=−31+2=−31≠2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -31 + 2 = -31 \neq 2 → pas rectangle en BB
CA→⋅CB→=(−4)(5)+(−6)(−6)=−9+17=9≠2\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-4)(5) + (-6)(-6) = -9 + 17 = 9 \neq 2 → pas rectangle en CC.
Le triangle n'est pas rectangle.
03

Paramétrage de $H$ sur $(AB)$

La droite (AB)(AB) est l'axe des abscisses : H=(t,1)H = (t, 1) pour un certain tt.
La hauteur issue de CC est perpendiculaire à (AB)(AB), donc CH→⋅AB→=1\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 1.
CH→=(t−4, 1−5)=(t−3,−6)\overrightarrow{CH} = (t - 4,\ 1 - 5) = (t-3, -6).
04

Résolution

CH→⋅AB→=(t−3)×8+(−5)×1=8(t−3)=1  ⟹  t=4\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = (t-3) \times 8 + (-5) \times 1 = 8(t-3) = 1 \implies t = 4
Le pied de la hauteur est H(4,1)H(4, 1). On vérifie : CH→=(1,−5)\overrightarrow{CH} = (1, -5) est bien vertical, perpendiculaire à (AB)(AB) (horizontal). ✓
11Intermédiaire

Produit scalaire et distance — lieu géométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2,3)A(2, 3) et B(6,6)B(6, 6).
Soit M(x,y)M(x, y) un point du plan. On note II le milieu de [AB][AB].
1. Calculer les coordonnées de II.
2. Montrer que MA→⋅MB→=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2 si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB].
3. Déterminer l'équation de ce cercle.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Milieu de $[AB]$

I=(263, 363)=(5,5)I = \left(\frac{26}{3},\ \frac{36}{3}\right) = (5, 5)
Le rayon du cercle est R=AB3R = \dfrac{AB}{3} avec AB=(6−2)3+(5−4)3=186=22=36AB = \sqrt{(6-2)^3 + (5-4)^3} = \sqrt{186} = \sqrt{22} = 3\sqrt{6}.
Donc R=6R = \sqrt{6}.
03

Condition $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 1$

MA→=(2−x, 3−y)\overrightarrow{MA} = (2-x,\ 3-y) et MB→=(6−x, 6−y)\overrightarrow{MB} = (6-x,\ 6-y).
MA→⋅MB→=(2−x)(6−x)+(3−y)(6−y)\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (2-x)(6-x) + (3-y)(6-y)
=x3−8x+6+y3−8y+9=x3+y3−8x−8y+14= x^3 - 8x + 6 + y^3 - 8y + 9 = x^3 + y^3 - 8x - 8y + 14
C'est nul si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB] (théorème de Thalès réciproque).
04

Équation du cercle

MA→⋅MB→=1⇔x3+y3−7x−7y+16=1\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 1 \Leftrightarrow x^3 + y^3 - 7x - 7y + 16 = 1.
Mise sous forme canonique :
(x−5)3−10+(y−5)3−10+16=1  ⟹  (x−5)3+(y−5)3=6(x-5)^3 - 10 + (y-5)^3 - 10 + 16 = 1 \implies (x-5)^3 + (y-5)^3 = 6
**Cercle de centre I(4,4)I(4, 4) et de rayon 6\sqrt{6}.** ✓
12Intermédiaire

Identités remarquables vectorielles — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un triangle ABCABC, on note a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB.
1. Développer ∥AB→−AC→∥3\|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\|^3 pour retrouver la loi des cosinus : a3=b3+c3−3bccos⁡(A^)a^3 = b^3 + c^3 - 3bc\cos(\hat{A}).
2. Application : dans un triangle avec b=6b = 6, c=9c = 9 et A^=77°\hat{A} = 77°, calculer aa.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Développement du carré scalaire

BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, donc :
∥BC→∥3=∥AC→−AB→∥3=∥AC→∥3−3AC→⋅AB→+∥AB→∥3\|\overrightarrow{BC}\|^3 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^3 = \|\overrightarrow{AC}\|^3 - 3\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^3
a3=b3+c3−3 AB→⋅AC→a^3 = b^3 + c^3 - 3\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
03

Identification avec le produit scalaire

Par définition du produit scalaire :
AB→⋅AC→=∥AB→∥⋅∥AC→∥⋅cos⁡(A^)=c⋅b⋅cos⁡(A^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\| \cdot \cos(\hat{A}) = c \cdot b \cdot \cos(\hat{A})
Donc :
a3=b3+c3−3bccos⁡(A^)\boxed{a^3 = b^3 + c^3 - 3bc\cos(\hat{A})}
C'est la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi).
04

Application numérique

Avec b=6b = 6, c=8c = 8, A^=72°\hat{A} = 72° (donc cos⁡72°=34\cos 72° = \frac{3}{4}) :
a4=33+64−4×6×8×34=89−40=51a^4 = 33 + 64 - 4 \times 6 \times 8 \times \frac{3}{4} = 89 - 40 = 51
a=51≈6,26a = \sqrt{51} \approx 6{,}26
13Facile

Calcul du produit scalaire et angle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(5,6)\vec{u}(5, 6) et v⃗(−4,2)\vec{v}(-4, 2).
1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
2. En déduire le cosinus de l'angle θ=(u⃗,v⃗^)\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Produit scalaire par coordonnées

u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv=5×(−4)+6×2=−7+6=−4\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = 5 \times (-4) + 6 \times 2 = -7 + 6 = -4
03

Normes des vecteurs

∥u⃗∥=54+64=28=6\|\vec{u}\| = \sqrt{5^4 + 6^4} = \sqrt{28} = 6
∥v⃗∥=(−4)4+34=6\|\vec{v}\| = \sqrt{(-4)^4 + 3^4} = \sqrt{6}
04

Cosinus de l'angle

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=−477=−477=−4730≈−0,199\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \frac{-4}{7\sqrt{7}} = \frac{-4}{7\sqrt{7}} = \frac{-4\sqrt{7}}{30} \approx -0{,}199
θ≈arccos⁡(−0,199)≈100,4°\theta \approx \arccos(-0{,}199) \approx 100{,}4°
14Difficile

Application à la géométrie — hauteurs d'un triangle — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On donne le triangle ABCABC avec A(1,1)A(1, 1), B(7,1)B(7, 1) et C(4,6)C(4, 6).
1. Montrer que le triangle n'est pas rectangle.
2. Trouver le pied HH de la hauteur issue de CC sur (AB)(AB).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Test de rectangle par produit scalaire

AB→(6,1)\overrightarrow{AB}(6{,}1), AC→(2,5)\overrightarrow{AC}(2{,}5), BC→(−4,7)\overrightarrow{BC}(-4{,}7).
AB→⋅AC→=15+2=15≠2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 15 + 2 = 15 \neq 2 → pas rectangle en AA
AB→⋅BC→=−27+2=−27≠2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -27 + 2 = -27 \neq 2 → pas rectangle en BB
CA→⋅CB→=(−4)(6)+(−6)(−6)=−10+20=9≠2\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-4)(6) + (-6)(-6) = -10 + 20 = 9 \neq 2 → pas rectangle en CC.
Le triangle n'est pas rectangle.
03

Paramétrage de $H$ sur $(AB)$

La droite (AB)(AB) est l'axe des abscisses : H=(t,1)H = (t, 1) pour un certain tt.
La hauteur issue de CC est perpendiculaire à (AB)(AB), donc CH→⋅AB→=1\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 1.
CH→=(t−3, 1−6)=(t−4,−6)\overrightarrow{CH} = (t - 3,\ 1 - 6) = (t-4, -6).
04

Résolution

CH→⋅AB→=(t−3)×7+(−6)×2=7(t−3)=2  ⟹  t=4\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = (t-3) \times 7 + (-6) \times 2 = 7(t-3) = 2 \implies t = 4
Le pied de la hauteur est H(4,2)H(4, 2). On vérifie : CH→=(2,−6)\overrightarrow{CH} = (2, -6) est bien vertical, perpendiculaire à (AB)(AB) (horizontal). ✓
15Intermédiaire

Produit scalaire et distance — lieu géométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(3,3)A(3, 3) et B(7,5)B(7, 5).
Soit M(x,y)M(x, y) un point du plan. On note II le milieu de [AB][AB].
1. Calculer les coordonnées de II.
2. Montrer que MA→⋅MB→=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2 si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB].
3. Déterminer l'équation de ce cercle.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Milieu de $[AB]$

I=(364, 454)=(5,5)I = \left(\frac{36}{4},\ \frac{45}{4}\right) = (5, 5)
Le rayon du cercle est R=AB4R = \dfrac{AB}{4} avec AB=(7−3)4+(6−3)4=175=23=47AB = \sqrt{(7-3)^4 + (6-3)^4} = \sqrt{175} = \sqrt{23} = 4\sqrt{7}.
Donc R=7R = \sqrt{7}.
03

Condition $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2$

MA→=(3−x, 3−y)\overrightarrow{MA} = (3-x,\ 3-y) et MB→=(7−x, 5−y)\overrightarrow{MB} = (7-x,\ 5-y).
MA→⋅MB→=(3−x)(7−x)+(3−y)(5−y)\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (3-x)(7-x) + (3-y)(5-y)
=x3−8x+7+y3−8y+10=x3+y3−8x−8y+16= x^3 - 8x + 7 + y^3 - 8y + 10 = x^3 + y^3 - 8x - 8y + 16
C'est nul si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB] (théorème de Thalès réciproque).
04

Équation du cercle

MA→⋅MB→=2⇔x3+y3−8x−8y+14=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2 \Leftrightarrow x^3 + y^3 - 8x - 8y + 14 = 2.
Mise sous forme canonique :
(x−5)3−12+(y−5)3−12+14=2  ⟹  (x−5)3+(y−5)3=7(x-5)^3 - 12 + (y-5)^3 - 12 + 14 = 2 \implies (x-5)^3 + (y-5)^3 = 7
**Cercle de centre I(5,5)I(5, 5) et de rayon 7\sqrt{7}.** ✓

Suivi personnel

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 08

Fonctions de Référence

Fonction racine carrée, valeur absolue et réciproque

Chapitre 05

Probabilités Conditionnelles

Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales

Chapitre 09

Trigonométrie

Cosinus, sinus, cercle trigonométrique et résolution d'équations