MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Première

Produit Scalaire

Définition, propriétés, angle entre vecteurs et orthogonalité

1Facile

Calcul du produit scalaire et angle

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(3,4)\vec{u}(3, 4) et v⃗(−2,1)\vec{v}(-2, 1).
1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
2. En déduire le cosinus de l'angle θ=(u⃗,v⃗^)\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}}).

Correction détaillée

01

Produit scalaire par coordonnées

u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv=3×(−2)+4×1=−6+4=−2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = 3 \times (-2) + 4 \times 1 = -6 + 4 = -2
02

Normes des vecteurs

∥u⃗∥=32+42=25=5\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
∥v⃗∥=(−2)2+12=5\|\vec{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}
03

Cosinus de l'angle

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=−255=−255=−2525≈−0,179\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \frac{-2}{5\sqrt{5}} = \frac{-2}{5\sqrt{5}} = \frac{-2\sqrt{5}}{25} \approx -0{,}179
θ≈arccos⁡(−0,179)≈100,3°\theta \approx \arccos(-0{,}179) \approx 100{,}3°
2Difficile

Application à la géométrie — hauteurs d'un triangle

Énoncé

On donne le triangle ABCABC avec A(0,0)A(0, 0), B(6,0)B(6, 0) et C(2,4)C(2, 4).
1. Montrer que le triangle n'est pas rectangle.
2. Trouver le pied HH de la hauteur issue de CC sur (AB)(AB).

Correction détaillée

01

Test de rectangle par produit scalaire

AB→(6,0)\overrightarrow{AB}(6,0), AC→(2,4)\overrightarrow{AC}(2,4), BC→(−4,4)\overrightarrow{BC}(-4,4).
AB→⋅AC→=12+0=12≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12 + 0 = 12 \neq 0 → pas rectangle en AA
AB→⋅BC→=−24+0=−24≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -24 + 0 = -24 \neq 0 → pas rectangle en BB
CA→⋅CB→=(−2)(4)+(−4)(−4)=−8+16=8≠0\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2)(4) + (-4)(-4) = -8 + 16 = 8 \neq 0 → pas rectangle en CC.
Le triangle n'est pas rectangle.
02

Paramétrage de $H$ sur $(AB)$

La droite (AB)(AB) est l'axe des abscisses : H=(t,0)H = (t, 0) pour un certain tt.
La hauteur issue de CC est perpendiculaire à (AB)(AB), donc CH→⋅AB→=0\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0.
CH→=(t−2, 0−4)=(t−2,−4)\overrightarrow{CH} = (t - 2,\ 0 - 4) = (t-2, -4).
03

Résolution

CH→⋅AB→=(t−2)×6+(−4)×0=6(t−2)=0  ⟹  t=2\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = (t-2) \times 6 + (-4) \times 0 = 6(t-2) = 0 \implies t = 2
Le pied de la hauteur est H(2,0)H(2, 0). On vérifie : CH→=(0,−4)\overrightarrow{CH} = (0, -4) est bien vertical, perpendiculaire à (AB)(AB) (horizontal). ✓
3Intermédiaire

Produit scalaire et distance — lieu géométrique

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1,2)A(1, 2) et B(5,4)B(5, 4).
Soit M(x,y)M(x, y) un point du plan. On note II le milieu de [AB][AB].
1. Calculer les coordonnées de II.
2. Montrer que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB].
3. Déterminer l'équation de ce cercle.

Correction détaillée

01

Milieu de $[AB]$

I=(1+52, 2+42)=(3,3)I = \left(\frac{1+5}{2},\ \frac{2+4}{2}\right) = (3, 3)
Le rayon du cercle est R=AB2R = \dfrac{AB}{2} avec AB=(5−1)2+(4−2)2=16+4=20=25AB = \sqrt{(5-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Donc R=5R = \sqrt{5}.
02

Condition $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$

MA→=(1−x, 2−y)\overrightarrow{MA} = (1-x,\ 2-y) et MB→=(5−x, 4−y)\overrightarrow{MB} = (5-x,\ 4-y).
MA→⋅MB→=(1−x)(5−x)+(2−y)(4−y)\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1-x)(5-x) + (2-y)(4-y)
=x2−6x+5+y2−6y+8=x2+y2−6x−6y+13= x^2 - 6x + 5 + y^2 - 6y + 8 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 13
C'est nul si et seulement si MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB] (théorème de Thalès réciproque).
03

Équation du cercle

MA→⋅MB→=0⇔x2+y2−6x−6y+13=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 6x - 6y + 13 = 0.
Mise sous forme canonique :
(x−3)2−9+(y−3)2−9+13=0  ⟹  (x−3)2+(y−3)2=5(x-3)^2 - 9 + (y-3)^2 - 9 + 13 = 0 \implies (x-3)^2 + (y-3)^2 = 5
**Cercle de centre I(3,3)I(3, 3) et de rayon 5\sqrt{5}.** ✓
4Intermédiaire

Identités remarquables vectorielles

Énoncé

Dans un triangle ABCABC, on note a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB.
1. Développer ∥AB→−AC→∥2\|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\|^2 pour retrouver la loi des cosinus : a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A}).
2. Application : dans un triangle avec b=5b = 5, c=7c = 7 et A^=60°\hat{A} = 60°, calculer aa.

Correction détaillée

01

Développement du carré scalaire

BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, donc :
∥BC→∥2=∥AC→−AB→∥2=∥AC→∥2−2AC→⋅AB→+∥AB→∥2\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2
a2=b2+c2−2 AB→⋅AC→a^2 = b^2 + c^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
02

Identification avec le produit scalaire

Par définition du produit scalaire :
AB→⋅AC→=∥AB→∥⋅∥AC→∥⋅cos⁡(A^)=c⋅b⋅cos⁡(A^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\| \cdot \cos(\hat{A}) = c \cdot b \cdot \cos(\hat{A})
Donc :
a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A})}
C'est la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi).
03

Application numérique

Avec b=5b = 5, c=7c = 7, A^=60°\hat{A} = 60° (donc cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}) :
a2=25+49−2×5×7×12=74−35=39a^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
a=39≈6,24a = \sqrt{39} \approx 6{,}24