Variables Aléatoires Discrètes — Exercices Corrigés Première

1Intermédiaire

Construction d'une loi de probabilité

Énoncé

On tire simultanément 2 cartes d'un jeu de 4 cartes numérotées 1, 2, 3, 4. On note

X

la valeur maximale des deux cartes tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de

X

.
2. Calculer

E(X)

et

V(X)

.

Correction détaillée

01

Valeurs possibles et issues

Les tirages de 2 cartes parmi 4 :

\binom{4}{2} = 6

issues équiprobables.

\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}

-

X = 2

:

\{1,2\}

→ 1 cas
-

X = 3

:

\{1,3\}, \{2,3\}

→ 2 cas
-

X = 4

:

\{1,4\}, \{2,4\}, \{3,4\}

→ 3 cas

02

Tableau de la loi

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} \\ \hline \end{array}

Vérification :

\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6} = 1

✓

03

Espérance et variance

E(X) = 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{2}{6} + 4 \cdot \frac{3}{6} = \frac{2+6+12}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33

E(X^2) = 4 \cdot \frac{1}{6} + 9 \cdot \frac{2}{6} + 16 \cdot \frac{3}{6} = \frac{4+18+48}{6} = \frac{70}{6}

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{70}{6} - \frac{100}{9} = \frac{210 - 200}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}

2Intermédiaire

Loi binomiale — introduction

Énoncé

Un archer atteint la cible avec une probabilité

p = 0{,}7

à chaque tir, indépendamment des autres. Il tire

n = 5

fois. Soit

X

le nombre de fois qu'il atteint la cible.
1. Justifier que

X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}7)

.
2. Calculer

P(X = 4)

et

P(X \geq 4)

.

Correction détaillée

01

Identification de la loi binomiale

Chaque tir est un essai de Bernoulli indépendant avec

p = 0{,}7

. Il y a

n = 5

essais. Ces conditions définissent une loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}7)

.
On rappelle :

E(X) = np = 3{,}5

et

V(X) = np(1-p) = 1{,}05

.

02

Calcul de $P(X = 4)$

P(X = 4) = \binom{5}{4}(0{,}7)^4(0{,}3)^1 = 5 \times 0{,}2401 \times 0{,}3 = 5 \times 0{,}07203 \approx 0{,}3602

03

Calcul de $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5)$

P(X = 5) = \binom{5}{5}(0{,}7)^5(0{,}3)^0 = 1 \times 0{,}16807 \approx 0{,}1681

P(X \geq 4) \approx 0{,}3602 + 0{,}1681 = \mathbf{0{,}5283}

L'archer a plus d'une chance sur deux d'atteindre la cible au moins 4 fois sur 5.

3Intermédiaire

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu

Énoncé

Un jeu de hasard consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer la somme

S

des deux faces.
- Si

S = 7

, le joueur gagne

4

€.
- Si

S = 2

ou

S = 12

, le joueur gagne

10

€.
- Sinon, le joueur perd

1

€.
Le jeu coûte

1

€ pour participer. Soit

G

le gain net du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de

G

.
2. Calculer

E(G)

et interpréter.

Correction détaillée

01

Probabilités des événements

L'univers a

6 \times 6 = 36

issues équiprobables.
-

S = 7

:

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

→ 6 issues,

P(S=7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}

-

S = 2

:

(1,1)

→ 1 issue ;

S = 12

:

(6,6)

→ 1 issue.

P(S \in \{2,12\}) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}

- Autre :

P = 1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{18} = \dfrac{18-3-1}{18} = \dfrac{14}{18} = \dfrac{7}{9}

02

Loi de $G$ (gain net)

Gain net = gain brut

-

mise de

1

€.
-

S = 7

: gain brut

4

€,

G = 4 - 1 = 3

€,

P(G=3) = \dfrac{1}{6}

-

S \in \{2,12\}

: gain brut

10

€,

G = 10 - 1 = 9

€,

P(G=9) = \dfrac{1}{18}

- Sinon : gain brut

0

€,

G = -1

€,

P(G=-1) = \dfrac{7}{9}

03

Espérance et interprétation

E(G) = 3 \times \frac{1}{6} + 9 \times \frac{1}{18} + (-1) \times \frac{7}{9}

E(G) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{7}{9} = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \approx 0{,}22 \text{ €}

Interprétation : En moyenne, le joueur gagne environ

22

centimes par partie. Le jeu est favorable au joueur (espérance positive).

4Difficile

Écart-type et concentration des valeurs

Énoncé

Une variable aléatoire

X

suit une loi dont le tableau est :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}

1. Vérifier que le tableau est bien une loi de probabilité.
2. Calculer

E(X)

,

E(X^2)

,

V(X)

et

\sigma(X)

.
3. Calculer

P(|X - E(X)| \leq \sigma(X))

et interpréter.

Correction détaillée

01

Vérification et espérance

0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}0

✓ (somme des probabilités égale à 1, toutes positives).

E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}6

02

Variance et écart-type

E(X^2) = 0^2 \times 0{,}1 + 1^2 \times 0{,}4 + 2^2 \times 0{,}3 + 3^2 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 1{,}2 + 1{,}8 = 3{,}4

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3{,}4 - (1{,}6)^2 = 3{,}4 - 2{,}56 = 0{,}84

\sigma(X) = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}917

03

Probabilité de concentration

L'intervalle

[E(X) - \sigma, E(X) + \sigma] = [1{,}6 - 0{,}917;\ 1{,}6 + 0{,}917] \approx [0{,}683;\ 2{,}517]

.
Les valeurs entières dans cet intervalle sont

x = 1

et

x = 2

.

P(|X - 1{,}6| \leq 0{,}917) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7

$70\%$ des valeurs de $X$ sont dans l'intervalle $[\mu - \sigma;\ \mu + \sigma]$ .