E(X)

Chapitre 06 · Première

Variables Aléatoires Discrètes

Loi de probabilité, espérance et variance

Réviser efficacement

Travailler Variables Aléatoires Discrètes en Première

Ce chapitre de variables aléatoires discrètes en première te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

Bien distinguer données, fréquence, probabilité et événement.
Savoir organiser l’information dans un tableau ou un arbre si nécessaire.

Compétences à maîtriser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Erreurs fréquentes

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

En contrôle ou en examen : Ce type de question valorise surtout la méthode et la lecture attentive de l’énoncé.

1Intermédiaire

Construction d'une loi de probabilité

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On tire simultanément 2 cartes d'un jeu de 4 cartes numérotées 1, 2, 3, 4. On note

X

la valeur maximale des deux cartes tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de

X

.
2. Calculer

E(X)

V(X)

Correction détaillée

Valeurs possibles et issues

Les tirages de 2 cartes parmi 4 :

\binom{4}{2} = 6

issues équiprobables.

\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}

X = 2

\{1,2\}

→ 1 cas
-

X = 3

\{1,3\}, \{2,3\}

→ 2 cas
-

X = 4

\{1,4\}, \{2,4\}, \{3,4\}

→ 3 cas

Tableau de la loi

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{3}{6} \\ \hline \end{array}

Vérification :

\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6} = 1

✓

Espérance et variance

E(X) = 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{2}{6} + 4 \cdot \frac{3}{6} = \frac{2+6+12}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33

E(X^2) = 4 \cdot \frac{1}{6} + 9 \cdot \frac{2}{6} + 16 \cdot \frac{3}{6} = \frac{4+18+48}{6} = \frac{70}{6}

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{70}{6} - \frac{100}{9} = \frac{210 - 200}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}

2Intermédiaire

Loi binomiale — introduction

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un archer atteint la cible avec une probabilité

p = 0{,}7

à chaque tir, indépendamment des autres. Il tire

n = 5

fois. Soit

X

le nombre de fois qu'il atteint la cible.
1. Justifier que

X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}7)

.
2. Calculer

P(X = 4)

P(X \geq 4)

Correction détaillée

Identification de la loi binomiale

Chaque tir est un essai de Bernoulli indépendant avec

p = 0{,}7

. Il y a

n = 5

essais. Ces conditions définissent une loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}7)

.
On rappelle :

E(X) = np = 3{,}5

V(X) = np(1-p) = 1{,}05

Calcul de $P(X = 4)$

P(X = 4) = \binom{5}{4}(0{,}7)^4(0{,}3)^1 = 5 \times 0{,}2401 \times 0{,}3 = 5 \times 0{,}07203 \approx 0{,}3602

Calcul de $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5)$

P(X = 5) = \binom{5}{5}(0{,}7)^5(0{,}3)^0 = 1 \times 0{,}16807 \approx 0{,}1681

P(X \geq 4) \approx 0{,}3602 + 0{,}1681 = \mathbf{0{,}5283}

L'archer a plus d'une chance sur deux d'atteindre la cible au moins 4 fois sur 5.

3Intermédiaire

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un jeu de hasard consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer la somme

S

des deux faces.
- Si

S = 7

, le joueur gagne

4

€.
- Si

S = 2

S = 12

, le joueur gagne

10

€.
- Sinon, le joueur perd

1

€.
Le jeu coûte

1

€ pour participer. Soit

G

le gain net du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de

G

.
2. Calculer

E(G)

et interpréter.

Correction détaillée

Probabilités des événements

L'univers a

6 \times 6 = 36

issues équiprobables.
-

S = 7

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

→ 6 issues,

P(S=7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}

S = 2

(1,1)

→ 1 issue ;

S = 12

(6,6)

→ 1 issue.

P(S \in \{2,12\}) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}

- Autre :

P = 1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{18} = \dfrac{18-3-1}{18} = \dfrac{14}{18} = \dfrac{7}{9}

Loi de $G$ (gain net)

Gain net = gain brut

-

mise de

1

€.
-

S = 7

: gain brut

4

€,

G = 4 - 1 = 3

€,

P(G=3) = \dfrac{1}{6}

S \in \{2,12\}

: gain brut

10

€,

G = 10 - 1 = 9

€,

P(G=9) = \dfrac{1}{18}

- Sinon : gain brut

0

€,

G = -1

€,

P(G=-1) = \dfrac{7}{9}

Espérance et interprétation

E(G) = 3 \times \frac{1}{6} + 9 \times \frac{1}{18} + (-1) \times \frac{7}{9}

E(G) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{7}{9} = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \approx 0{,}22 \text{ \euro}

Interprétation : En moyenne, le joueur gagne environ

22

centimes par partie. Le jeu est favorable au joueur (espérance positive).

4Difficile

Écart-type et concentration des valeurs

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Une variable aléatoire

X

suit une loi dont le tableau est :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}

1. Vérifier que le tableau est bien une loi de probabilité.
2. Calculer

E(X)

E(X^2)

V(X)

\sigma(X)

.
3. Calculer

P(|X - E(X)| \leq \sigma(X))

et interpréter.

Correction détaillée

Vérification et espérance

0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}0

✓ (somme des probabilités égale à 1, toutes positives).

E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}6

Variance et écart-type

E(X^2) = 0^2 \times 0{,}1 + 1^2 \times 0{,}4 + 2^2 \times 0{,}3 + 3^2 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 1{,}2 + 1{,}8 = 3{,}4

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3{,}4 - (1{,}6)^2 = 3{,}4 - 2{,}56 = 0{,}84

\sigma(X) = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}917

Probabilité de concentration

L'intervalle

[E(X) - \sigma, E(X) + \sigma] = [1{,}6 - 0{,}917;\ 1{,}6 + 0{,}917] \approx [0{,}683;\ 2{,}517]

.
Les valeurs entières dans cet intervalle sont

x = 1

x = 2

P(|X - 1{,}6| \leq 0{,}917) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7

$70\%$ des valeurs de $X$ sont dans l'intervalle $[\mu - \sigma;\ \mu + \sigma]$ .

5Intermédiaire

Construction d'une loi de probabilité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 5 cartes numérotées 3, 3, 5, 5. On note

X

la valeur maximale des deux cartes tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de

X

.
2. Calculer

E(X)

V(X)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Valeurs possibles et issues

Les tirages de 3 cartes parmi 5 :

\binom{5}{3} = 8

issues équiprobables.

\{1{,}4\}, \{1{,}6\}, \{1{,}7\}, \{2{,}6\}, \{2{,}6\}, \{3{,}5\}

X = 3

\{1{,}4\}

→ 3 cas
-

X = 5

\{1{,}6\}, \{2{,}6\}

→ 3 cas
-

X = 5

\{1{,}7\}, \{2{,}6\}, \{3{,}5\}

→ 5 cas

Tableau de la loi

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i & 3 & 4 & 6 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{4}{8} \\ \hline \end{array}

Vérification :

\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{4}{8} = 3

✓

Espérance et variance

E(X) = 3 \cdot \frac{2}{8} + 5 \cdot \frac{3}{8} + 6 \cdot \frac{5}{8} = \frac{3816}{8} = \frac{23}{8} = \frac{11}{5} \approx 3{,}36

E(X^3) = 6 \cdot \frac{2}{8} + 12 \cdot \frac{3}{8} + 21 \cdot \frac{5}{8} = \frac{62061}{8} = \frac{84}{8}

V(X) = E(X^3) - [E(X)]^3 = \frac{84}{8} - \frac{130}{12} = \frac{222 - 256}{19} = \frac{11}{19} = \frac{6}{12}

6Intermédiaire

Loi binomiale — introduction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un archer atteint la cible avec une probabilité

p = 0{,}8

à chaque tir, indépendamment des autres. Il tire

n = 7

fois. Soit

X

le nombre de fois qu'il atteint la cible.
1. Justifier que

X \sim \mathcal{B}(7, 0{,}8)

.
2. Calculer

P(X = 6)

P(X \geq 6)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi binomiale

Chaque tir est un essai de Bernoulli indépendant avec

p = 0{,}8

. Il y a

n = 7

essais. Ces conditions définissent une loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(7, 0{,}8)

.
On rappelle :

E(X) = np = 3{,}8

V(X) = np(2-p) = 1{,}08

Calcul de $P(X = 5)$

P(X = 5) = \binom{7}{5}(1{,}0)^5(0{,}5)^3 = 7 \times 0{,}2501 \times 0{,}5 = 7 \times 0{,}09203 \approx 0{,}3702

Calcul de $P(X \geq 5) = P(X=5) + P(X=7)$

P(X = 6) = \binom{6}{6}(1{,}0)^6(0{,}6)^1 = 3 \times 0{,}17807 \approx 0{,}1881

P(X \geq 5) \approx 0{,}3802 + 0{,}1881 = \mathbf{0{,}5483}

L'archer a plus d'une chance sur deux d'atteindre la cible au moins 5 fois sur 6.

7Intermédiaire

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un jeu de hasard consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer la somme

S

des deux faces.
- Si

S = 8

, le joueur gagne

5

€.
- Si

S = 3

S = 16

, le joueur gagne

11

€.
- Sinon, le joueur perd

3

€.
Le jeu coûte

3

€ pour participer. Soit

G

le gain net du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de

G

.
2. Calculer

E(G)

et interpréter.

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Probabilités des événements

L'univers a

7 \times 7 = 38

issues équiprobables.
-

S = 8

(1{,}9),(2{,}6),(3{,}7),(4{,}6),(5{,}3),(6{,}2)

→ 7 issues,

P(S=8) = \dfrac{7}{38} = \dfrac{3}{7}

S = 4

(1{,}2)

→ 3 issue ;

S = 16

(6{,}7)

→ 3 issue.

P(S \in \{2{,}13\}) = \dfrac{4}{38} = \dfrac{3}{19}

- Autre :

P = 3 - \dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{19} = \dfrac{19-5-2}{19} = \dfrac{15}{19} = \dfrac{8}{11}

Loi de $G$ (gain net)

Gain net = gain brut

-

mise de

2

€.
-

S = 8

: gain brut

5

€,

G = 5 - 2 = 5

€,

P(G=5) = \dfrac{2}{7}

S \in \{2{,}15\}

: gain brut

13

€,

G = 13 - 2 = 10

€,

P(G=10) = \dfrac{2}{19}

- Sinon : gain brut

2

€,

G = -3

€,

P(G=-3) = \dfrac{8}{10}

Espérance et interprétation

E(G) = 4 \times \frac{2}{7} + 12 \times \frac{2}{19} + (-3) \times \frac{9}{12}

E(G) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{9}{12} = 2 - \frac{9}{12} = \frac{3}{12} \approx 0{,}23 \text{ \euro}

Interprétation : En moyenne, le joueur gagne environ

26

centimes par partie. Le jeu est favorable au joueur (espérance positive).

8Difficile

Écart-type et concentration des valeurs — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Une variable aléatoire

X

suit une loi dont le tableau est :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}2 & 0{,}7 & 0{,}4 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}

1. Vérifier que le tableau est bien une loi de probabilité.
2. Calculer

E(X)

E(X^3)

V(X)

\sigma(X)

.
3. Calculer

P(|X - E(X)| \leq \sigma(X))

et interpréter.

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

Vérification et espérance

0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}4 = 1{,}1

✓ (somme des probabilités égale à 3, toutes positives).

E(X) = 1 \times 0{,}2 + 3 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}4 = 1 + 0{,}5 + 0{,}9 + 0{,}9 = 1{,}9

Variance et écart-type

E(X^3) = 1^3 \times 0{,}3 + 3^3 \times 0{,}5 + 3^3 \times 0{,}6 + 4^3 \times 0{,}5 = 1 + 0{,}5 + 1{,}4 + 2{,}1 = 3{,}7

V(X) = E(X^3) - [E(X)]^3 = 3{,}7 - (1{,}8)^3 = 3{,}7 - 2{,}58 = 0{,}87

\sigma(X) = \sqrt{0{,}87} \approx 0{,}947

Probabilité de concentration

L'intervalle

[E(X) - \sigma, E(X) + \sigma] = [1{,}7 - 0{,}927;\ 1{,}7 + 0{,}927] \approx [0{,}703;\ 2{,}537]

.
Les valeurs entières dans cet intervalle sont

x = 2

x = 4

P(|X - 1{,}7| \leq 0{,}927) = P(X = 2) + P(X = 4) = 0{,}5 + 0{,}6 = 0{,}9

$90\%$ des valeurs de $X$ sont dans l'intervalle $[\mu - \sigma;\ \mu + \sigma]$ .

9Intermédiaire

Construction d'une loi de probabilité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On tire simultanément 4 cartes d'un jeu de 6 cartes numérotées 3, 4, 4, 6. On note

X

la valeur maximale des deux cartes tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de

X

.
2. Calculer

E(X)

V(X)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Valeurs possibles et issues

Les tirages de 4 cartes parmi 6 :

\binom{6}{4} = 8

issues équiprobables.

\{1{,}3\}, \{1{,}5\}, \{1{,}6\}, \{2{,}6\}, \{2{,}7\}, \{3{,}5\}

X = 4

\{1{,}3\}

→ 2 cas
-

X = 4

\{1{,}5\}, \{2{,}6\}

→ 4 cas
-

X = 6

\{1{,}6\}, \{2{,}7\}, \{3{,}5\}

→ 4 cas

Tableau de la loi

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{2}{7} & \frac{4}{7} & \frac{5}{7} \\ \hline \end{array}

Vérification :

\frac{2}{7}+\frac{4}{7}+\frac{5}{7} = 2

✓

Espérance et variance

E(X) = 4 \cdot \frac{3}{8} + 4 \cdot \frac{4}{8} + 5 \cdot \frac{4}{8} = \frac{4716}{8} = \frac{25}{8} = \frac{11}{4} \approx 3{,}35

E(X^4) = 5 \cdot \frac{3}{8} + 10 \cdot \frac{4}{8} + 18 \cdot \frac{4}{8} = \frac{52252}{8} = \frac{71}{8}

V(X) = E(X^4) - [E(X)]^4 = \frac{71}{8} - \frac{112}{10} = \frac{218 - 253}{21} = \frac{11}{21} = \frac{6}{10}

10Intermédiaire

Loi binomiale — introduction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un archer atteint la cible avec une probabilité

p = 1{,}0

à chaque tir, indépendamment des autres. Il tire

n = 6

fois. Soit

X

le nombre de fois qu'il atteint la cible.
1. Justifier que

X \sim \mathcal{B}(6, 1{,}0)

.
2. Calculer

P(X = 6)

P(X \geq 6)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi binomiale

Chaque tir est un essai de Bernoulli indépendant avec

p = 1{,}0

. Il y a

n = 6

essais. Ces conditions définissent une loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(6, 1{,}0)

.
On rappelle :

E(X) = np = 3{,}8

V(X) = np(3-p) = 1{,}08

Calcul de $P(X = 6)$

P(X = 6) = \binom{6}{6}(1{,}0)^6(0{,}6)^3 = 6 \times 0{,}2701 \times 0{,}6 = 6 \times 0{,}08203 \approx 0{,}3902

Calcul de $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=6)$

P(X = 7) = \binom{7}{7}(0{,}8)^7(0{,}6)^2 = 3 \times 0{,}19807 \approx 0{,}1781

P(X \geq 6) \approx 0{,}3702 + 0{,}1781 = \mathbf{0{,}5383}

L'archer a plus d'une chance sur deux d'atteindre la cible au moins 6 fois sur 7.

11Intermédiaire

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un jeu de hasard consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer la somme

S

des deux faces.
- Si

S = 8

, le joueur gagne

5

€.
- Si

S = 3

S = 13

, le joueur gagne

11

€.
- Sinon, le joueur perd

3

€.
Le jeu coûte

3

€ pour participer. Soit

G

le gain net du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de

G

.
2. Calculer

E(G)

et interpréter.

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Probabilités des événements

L'univers a

7 \times 7 = 38

issues équiprobables.
-

S = 8

(1{,}7),(2{,}6),(3{,}6),(4{,}5),(5{,}5),(6{,}3)

→ 7 issues,

P(S=8) = \dfrac{7}{38} = \dfrac{2}{7}

S = 3

(1{,}4)

→ 2 issue ;

S = 15

(6{,}9)

→ 2 issue.

P(S \in \{2{,}15\}) = \dfrac{3}{38} = \dfrac{2}{22}

- Autre :

P = 2 - \dfrac{2}{7} - \dfrac{2}{22} = \dfrac{22-4-2}{22} = \dfrac{18}{22} = \dfrac{8}{12}

Loi de $G$ (gain net)

Gain net = gain brut

-

mise de

2

€.
-

S = 8

: gain brut

5

€,

G = 5 - 2 = 4

€,

P(G=4) = \dfrac{2}{7}

S \in \{2{,}14\}

: gain brut

12

€,

G = 12 - 2 = 12

€,

P(G=12) = \dfrac{2}{22}

- Sinon : gain brut

1

€,

G = -2

€,

P(G=-2) = \dfrac{8}{12}

Espérance et interprétation

E(G) = 4 \times \frac{2}{7} + 10 \times \frac{2}{20} + (-3) \times \frac{8}{10}

E(G) = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} - \frac{8}{10} = 2 - \frac{8}{10} = \frac{4}{10} \approx 0{,}24 \text{ \euro}

Interprétation : En moyenne, le joueur gagne environ

24

centimes par partie. Le jeu est favorable au joueur (espérance positive).

12Difficile

Écart-type et concentration des valeurs — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Une variable aléatoire

X

suit une loi dont le tableau est :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & 1 & 3 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}3 & 0{,}7 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}

1. Vérifier que le tableau est bien une loi de probabilité.
2. Calculer

E(X)

E(X^3)

V(X)

\sigma(X)

.
3. Calculer

P(|X - E(X)| \leq \sigma(X))

et interpréter.

Correction détaillée

Conseil de méthode

Vérification et espérance

0{,}3 + 0{,}6 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1{,}2

✓ (somme des probabilités égale à 3, toutes positives).

E(X) = 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}6 + 3 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}3 = 2 + 0{,}6 + 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}8

Variance et écart-type

E(X^3) = 2^3 \times 0{,}2 + 2^3 \times 0{,}6 + 3^3 \times 0{,}6 + 5^3 \times 0{,}3 = 2 + 0{,}6 + 1{,}3 + 2{,}0 = 3{,}6

V(X) = E(X^3) - [E(X)]^3 = 3{,}6 - (1{,}9)^3 = 3{,}6 - 2{,}57 = 0{,}85

\sigma(X) = \sqrt{0{,}85} \approx 0{,}927

Probabilité de concentration

L'intervalle

[E(X) - \sigma, E(X) + \sigma] = [1{,}8 - 0{,}937;\ 1{,}8 + 0{,}937] \approx [0{,}693;\ 2{,}527]

.
Les valeurs entières dans cet intervalle sont

x = 2

x = 4

P(|X - 1{,}8| \leq 0{,}937) = P(X = 2) + P(X = 4) = 0{,}6 + 0{,}4 = 0{,}8

$79\%$ des valeurs de $X$ sont dans l'intervalle $[\mu - \sigma;\ \mu + \sigma]$ .

13Intermédiaire

Construction d'une loi de probabilité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On tire simultanément 4 cartes d'un jeu de 6 cartes numérotées 3, 4, 4, 6. On note

X

la valeur maximale des deux cartes tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de

X

.
2. Calculer

E(X)

V(X)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Valeurs possibles et issues

Les tirages de 4 cartes parmi 6 :

\binom{6}{4} = 8

issues équiprobables.

\{1{,}4\}, \{1{,}6\}, \{1{,}5\}, \{2{,}5\}, \{2{,}7\}, \{3{,}7\}

X = 4

\{1{,}4\}

→ 3 cas
-

X = 4

\{1{,}6\}, \{2{,}5\}

→ 4 cas
-

X = 6

\{1{,}5\}, \{2{,}7\}, \{3{,}7\}

→ 4 cas

Tableau de la loi

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{2}{8} & \frac{4}{8} & \frac{5}{8} \\ \hline \end{array}

Vérification :

\frac{2}{8}+\frac{4}{8}+\frac{5}{8} = 2

✓

Espérance et variance

E(X) = 4 \cdot \frac{3}{8} + 4 \cdot \frac{4}{8} + 6 \cdot \frac{4}{8} = \frac{4714}{8} = \frac{25}{8} = \frac{13}{4} \approx 3{,}36

E(X^4) = 6 \cdot \frac{3}{8} + 11 \cdot \frac{4}{8} + 17 \cdot \frac{4}{8} = \frac{62358}{8} = \frac{81}{8}

V(X) = E(X^4) - [E(X)]^4 = \frac{81}{8} - \frac{124}{11} = \frac{236 - 250}{21} = \frac{13}{21} = \frac{6}{11}

14Intermédiaire

Loi binomiale — introduction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un archer atteint la cible avec une probabilité

p = 0{,}9

à chaque tir, indépendamment des autres. Il tire

n = 6

fois. Soit

X

le nombre de fois qu'il atteint la cible.
1. Justifier que

X \sim \mathcal{B}(6, 0{,}9)

.
2. Calculer

P(X = 6)

P(X \geq 6)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi binomiale

Chaque tir est un essai de Bernoulli indépendant avec

p = 0{,}9

. Il y a

n = 6

essais. Ces conditions définissent une loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(6, 0{,}9)

.
On rappelle :

E(X) = np = 3{,}7

V(X) = np(3-p) = 1{,}08

Calcul de $P(X = 6)$

P(X = 6) = \binom{6}{6}(0{,}9)^6(0{,}5)^3 = 6 \times 0{,}2601 \times 0{,}5 = 6 \times 0{,}09203 \approx 0{,}3702

Calcul de $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=6)$

P(X = 7) = \binom{7}{7}(0{,}8)^7(0{,}5)^2 = 3 \times 0{,}18807 \approx 0{,}1881

P(X \geq 5) \approx 0{,}3902 + 0{,}1881 = \mathbf{0{,}5383}

L'archer a plus d'une chance sur deux d'atteindre la cible au moins 5 fois sur 7.

15Intermédiaire

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un jeu de hasard consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer la somme

S

des deux faces.
- Si

S = 8

, le joueur gagne

5

€.
- Si

S = 3

S = 13

, le joueur gagne

13

€.
- Sinon, le joueur perd

2

€.
Le jeu coûte

2

€ pour participer. Soit

G

le gain net du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de

G

.
2. Calculer

E(G)

et interpréter.

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Probabilités des événements

L'univers a

7 \times 7 = 40

issues équiprobables.
-

S = 8

(1{,}7),(2{,}8),(3{,}6),(4{,}5),(5{,}4),(6{,}2)

→ 7 issues,

P(S=8) = \dfrac{7}{40} = \dfrac{2}{7}

S = 3

(1{,}2)

→ 2 issue ;

S = 16

(6{,}8)

→ 2 issue.

P(S \in \{2{,}15\}) = \dfrac{3}{40} = \dfrac{2}{19}

- Autre :

P = 2 - \dfrac{2}{7} - \dfrac{2}{19} = \dfrac{19-4-3}{19} = \dfrac{18}{19} = \dfrac{8}{11}

Loi de $G$ (gain net)

Gain net = gain brut

-

mise de

2

€.
-

S = 8

: gain brut

5

€,

G = 5 - 2 = 4

€,

P(G=4) = \dfrac{2}{8}

S \in \{2{,}14\}

: gain brut

12

€,

G = 12 - 2 = 11

€,

P(G=11) = \dfrac{2}{19}

- Sinon : gain brut

1

€,

G = -2

€,

P(G=-2) = \dfrac{8}{11}

Espérance et interprétation

E(G) = 4 \times \frac{2}{7} + 10 \times \frac{2}{23} + (-2) \times \frac{9}{10}

E(G) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{9}{10} = 2 - \frac{9}{10} = \frac{3}{10} \approx 0{,}23 \text{ \euro}

Interprétation : En moyenne, le joueur gagne environ

26

centimes par partie. Le jeu est favorable au joueur (espérance positive).

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 05

Travailler Variables Aléatoires Discrètes en Première

Construction d'une loi de probabilité

Valeurs possibles et issues

Tableau de la loi

Espérance et variance

Loi binomiale — introduction

Identification de la loi binomiale

Calcul de $P(X = 4)$

Calcul de $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5)$

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu

Probabilités des événements

Loi de $G$ (gain net)

Espérance et interprétation

Écart-type et concentration des valeurs

Vérification et espérance

Variance et écart-type

Probabilité de concentration

Construction d'une loi de probabilité — variante

Conseil de méthode

Valeurs possibles et issues

Tableau de la loi

Espérance et variance

Loi binomiale — introduction — variante

Conseil de méthode

Identification de la loi binomiale

Calcul de $P(X = 5)$

Calcul de $P(X \geq 5) = P(X=5) + P(X=7)$

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu — variante

Conseil de méthode

Probabilités des événements

Loi de $G$ (gain net)

Espérance et interprétation

Écart-type et concentration des valeurs — variante

Conseil de méthode

Vérification et espérance

Variance et écart-type

Probabilité de concentration

Construction d'une loi de probabilité — variante

Conseil de méthode

Valeurs possibles et issues

Tableau de la loi

Espérance et variance

Loi binomiale — introduction — variante

Conseil de méthode

Identification de la loi binomiale

Calcul de $P(X = 6)$

Calcul de $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=6)$

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu — variante

Conseil de méthode

Probabilités des événements

Loi de $G$ (gain net)

Espérance et interprétation

Écart-type et concentration des valeurs — variante

Conseil de méthode

Vérification et espérance

Variance et écart-type

Probabilité de concentration

Construction d'une loi de probabilité — variante

Conseil de méthode

Valeurs possibles et issues

Tableau de la loi

Espérance et variance

Loi binomiale — introduction — variante

Conseil de méthode

Identification de la loi binomiale

Calcul de $P(X = 6)$

Calcul de $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=6)$

Variable aléatoire et gain espéré d'un jeu — variante

Conseil de méthode

Probabilités des événements

Loi de $G$ (gain net)

Espérance et interprétation

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Probabilités Conditionnelles

Produit Scalaire

Polynômes du Second Degré