MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 05 · Première

Probabilités Conditionnelles

Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales

1Intermédiaire

Probabilités conditionnelles et arbre

Énoncé

Dans une usine, 60% des pièces viennent de la machine M1M_1 et 40% de M2M_2. M1M_1 produit 5% de pièces défectueuses, M2M_2 en produit 8%. On prélève une pièce au hasard.
1. Calculer P(D)P(D), la probabilité qu'elle soit défectueuse.
2. Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de M1M_1 ?

Correction détaillée

01

Mise en place (arbre de probabilités)

P(M1)=0,6P(M_1) = 0{,}6, P(M2)=0,4P(M_2) = 0{,}4.
P(D∣M1)=0,05P(D|M_1) = 0{,}05, P(D∣M2)=0,08P(D|M_2) = 0{,}08.
02

Formule des probabilités totales

P(D)=P(M1)×P(D∣M1)+P(M2)×P(D∣M2)P(D) = P(M_1) \times P(D|M_1) + P(M_2) \times P(D|M_2)
P(D)=0,6×0,05+0,4×0,08=0,030+0,032=0,062P(D) = 0{,}6 \times 0{,}05 + 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}030 + 0{,}032 = 0{,}062
03

Formule de Bayes — cause la plus probable

P(M1∣D)=P(M1∩D)P(D)=P(M1)×P(D∣M1)P(D)=0,0300,062≈0,484P(M_1|D) = \frac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M_1) \times P(D|M_1)}{P(D)} = \frac{0{,}030}{0{,}062} \approx 0{,}484
Sachant que la pièce est défectueuse, elle a environ 48,4% de chances de venir de M1M_1.
2Facile

Indépendance d'événements

Énoncé

On lance un dé et une pièce équilibrée. Soit AA = "le dé affiche un nombre pair" et BB = "la pièce affiche pile".
1. Calculer P(A)P(A), P(B)P(B) et P(A∩B)P(A \cap B).
2. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Calcul des probabilités

AA = \{2, 4, 6\} sur \{1,2,3,4,5,6\} : P(A)=36=12P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
BB = \{pile\} sur \{pile, face\} : P(B)=12P(B) = \dfrac{1}{2}.
L'univers a 6×2=126 \times 2 = 12 issues. A∩BA \cap B = "pair ET pile" : 3 issues.
P(A∩B)=312=14P(A \cap B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}
02

Test d'indépendance

Deux événements sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).
P(A)×P(B)=12×12=14=P(A∩B)P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)
03

Conclusion

L'égalité est vérifiée : AA et BB sont indépendants. Intuitivement, le résultat du dé n'influence pas celui de la pièce, et vice-versa.
3Difficile

Test médical et valeur prédictive

Énoncé

Un test de dépistage d'une maladie a une sensibilité de 95%95\% (probabilité de tester positif si malade) et une spécificité de 90%90\% (probabilité de tester négatif si sain). La prévalence de la maladie est 2%2\%.
On note MM = "être malade" et T+T^+ = "tester positif".
1. Calculer P(T+)P(T^+).
2. Calculer P(M∣T+)P(M | T^+) (valeur prédictive positive).
3. Interpréter ce résultat.

Correction détaillée

01

Données et mise en place

P(M)=0,02P(M) = 0{,}02, P(M‾)=0,98P(\overline{M}) = 0{,}98.
P(T+∣M)=0,95P(T^+ | M) = 0{,}95 (sensibilité).
P(T−∣M‾)=0,90  ⟹  P(T+∣M‾)=0,10P(T^- | \overline{M}) = 0{,}90 \implies P(T^+ | \overline{M}) = 0{,}10 (faux positifs).
02

Probabilité totale $P(T^+)$

P(T+)=P(M)×P(T+∣M)+P(M‾)×P(T+∣M‾)P(T^+) = P(M) \times P(T^+|M) + P(\overline{M}) \times P(T^+|\overline{M})
P(T+)=0,02×0,95+0,98×0,10=0,019+0,098=0,117P(T^+) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117
03

Valeur prédictive positive et interprétation

P(M∣T+)=P(M)×P(T+∣M)P(T+)=0,0190,117≈0,162P(M|T^+) = \frac{P(M) \times P(T^+|M)}{P(T^+)} = \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162
Interprétation : Parmi les personnes testées positives, seulement environ 16%16\% sont réellement malades ! Cela illustre le paradoxe du dépistage de masse : quand la maladie est rare, les faux positifs dominent.
4Difficile

Marche aléatoire et probabilités en cascade

Énoncé

Un joueur part de la case 00. À chaque étape, il avance d'une case avec probabilité 23\frac{2}{3} et recule d'une case avec probabilité 13\frac{1}{3}. Il joue 33 étapes.
Soit XX sa position après 33 étapes.
1. Lister toutes les trajectoires possibles et leurs probabilités.
2. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).

Correction détaillée

01

Trajectoires et probabilités

Notons AA = avancer (p=23p = \frac{2}{3}) et RR = reculer (q=13q = \frac{1}{3}).
Les 23=82^3 = 8 trajectoires :
- AAAAAA : position +3+3, proba (23)3=827\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}
- AAR,ARA,RAAAAR, ARA, RAA : position +1+1, proba 23⋅23⋅13=427\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} chacune
- ARR,RAR,RRAARR, RAR, RRA : position −1-1, proba 29⋅13=227\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27} chacune
- RRRRRR : position −3-3, proba (13)3=127\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}
02

Loi de $X$

xi−3−1+1+3P(X=xi)1276271227827\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & -3 & -1 & +1 & +3 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{1}{27} & \frac{6}{27} & \frac{12}{27} & \frac{8}{27} \\ \hline \end{array}
Vérification : 1+6+12+827=2727=1\frac{1+6+12+8}{27} = \frac{27}{27} = 1 ✓
03

Calcul de l'espérance

E(X)=(−3)⋅127+(−1)⋅627+1⋅1227+3⋅827E(X) = (-3) \cdot \frac{1}{27} + (-1) \cdot \frac{6}{27} + 1 \cdot \frac{12}{27} + 3 \cdot \frac{8}{27}
E(X)=−3−6+12+2427=2727=1E(X) = \frac{-3 - 6 + 12 + 24}{27} = \frac{27}{27} = 1
Interprétation : En moyenne, le joueur avance d'une case par partie, ce qui est cohérent avec E(X)=3(p−q)=3(23−13)=1E(X) = 3(p - q) = 3\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right) = 1.