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Chapitre 05 · Première

Probabilités Conditionnelles

Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales

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Travailler Probabilités Conditionnelles en Première

Ce chapitre de probabilités conditionnelles en première te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Bien distinguer données, fréquence, probabilité et événement.
  • Savoir organiser l’information dans un tableau ou un arbre si nécessaire.

Compétences à maîtriser

  • Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
  • Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Erreurs fréquentes

  • Confondre événement contraire et événement impossible.
  • Donner un résultat numérique sans interprétation.

En contrôle ou en examen : Ce type de question valorise surtout la méthode et la lecture attentive de l’énoncé.

1Intermédiaire

Probabilités conditionnelles et arbre

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Énoncé

Dans une usine, 60% des pièces viennent de la machine M1M_1 et 40% de M2M_2. M1M_1 produit 5% de pièces défectueuses, M2M_2 en produit 8%. On prélève une pièce au hasard.
1. Calculer P(D)P(D), la probabilité qu'elle soit défectueuse.
2. Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de M1M_1 ?

Correction détaillée

01

Mise en place (arbre de probabilités)

P(M1)=0,6P(M_1) = 0{,}6, P(M2)=0,4P(M_2) = 0{,}4.
P(D∣M1)=0,05P(D|M_1) = 0{,}05, P(D∣M2)=0,08P(D|M_2) = 0{,}08.
02

Formule des probabilités totales

P(D)=P(M1)×P(D∣M1)+P(M2)×P(D∣M2)P(D) = P(M_1) \times P(D|M_1) + P(M_2) \times P(D|M_2)
P(D)=0,6×0,05+0,4×0,08=0,030+0,032=0,062P(D) = 0{,}6 \times 0{,}05 + 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}030 + 0{,}032 = 0{,}062
03

Formule de Bayes — cause la plus probable

P(M1∣D)=P(M1∩D)P(D)=P(M1)×P(D∣M1)P(D)=0,0300,062≈0,484P(M_1|D) = \frac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M_1) \times P(D|M_1)}{P(D)} = \frac{0{,}030}{0{,}062} \approx 0{,}484
Sachant que la pièce est défectueuse, elle a environ 48,4% de chances de venir de M1M_1.
2Facile

Indépendance d'événements

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Énoncé

On lance un dé et une pièce équilibrée. Soit AA = "le dé affiche un nombre pair" et BB = "la pièce affiche pile".
1. Calculer P(A)P(A), P(B)P(B) et P(A∩B)P(A \cap B).
2. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Calcul des probabilités

AA = \{2, 4, 6\} sur \{1,2,3,4,5,6\} : P(A)=36=12P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
BB = \{pile\} sur \{pile, face\} : P(B)=12P(B) = \dfrac{1}{2}.
L'univers a 6×2=126 \times 2 = 12 issues. A∩BA \cap B = "pair ET pile" : 3 issues.
P(A∩B)=312=14P(A \cap B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}
02

Test d'indépendance

Deux événements sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).
P(A)×P(B)=12×12=14=P(A∩B)P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)
03

Conclusion

L'égalité est vérifiée : AA et BB sont indépendants. Intuitivement, le résultat du dé n'influence pas celui de la pièce, et vice-versa.
3Difficile

Test médical et valeur prédictive

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Énoncé

Un test de dépistage d'une maladie a une sensibilité de 95%95\% (probabilité de tester positif si malade) et une spécificité de 90%90\% (probabilité de tester négatif si sain). La prévalence de la maladie est 2%2\%.
On note MM = "être malade" et T+T^+ = "tester positif".
1. Calculer P(T+)P(T^+).
2. Calculer P(M∣T+)P(M | T^+) (valeur prédictive positive).
3. Interpréter ce résultat.

Correction détaillée

01

Données et mise en place

P(M)=0,02P(M) = 0{,}02, P(M‾)=0,98P(\overline{M}) = 0{,}98.
P(T+∣M)=0,95P(T^+ | M) = 0{,}95 (sensibilité).
P(T−∣M‾)=0,90  ⟹  P(T+∣M‾)=0,10P(T^- | \overline{M}) = 0{,}90 \implies P(T^+ | \overline{M}) = 0{,}10 (faux positifs).
02

Probabilité totale $P(T^+)$

P(T+)=P(M)×P(T+∣M)+P(M‾)×P(T+∣M‾)P(T^+) = P(M) \times P(T^+|M) + P(\overline{M}) \times P(T^+|\overline{M})
P(T+)=0,02×0,95+0,98×0,10=0,019+0,098=0,117P(T^+) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117
03

Valeur prédictive positive et interprétation

P(M∣T+)=P(M)×P(T+∣M)P(T+)=0,0190,117≈0,162P(M|T^+) = \frac{P(M) \times P(T^+|M)}{P(T^+)} = \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162
Interprétation : Parmi les personnes testées positives, seulement environ 16%16\% sont réellement malades ! Cela illustre le paradoxe du dépistage de masse : quand la maladie est rare, les faux positifs dominent.
4Difficile

Marche aléatoire et probabilités en cascade

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Énoncé

Un joueur part de la case 00. À chaque étape, il avance d'une case avec probabilité 23\frac{2}{3} et recule d'une case avec probabilité 13\frac{1}{3}. Il joue 33 étapes.
Soit XX sa position après 33 étapes.
1. Lister toutes les trajectoires possibles et leurs probabilités.
2. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).

Correction détaillée

01

Trajectoires et probabilités

Notons AA = avancer (p=23p = \frac{2}{3}) et RR = reculer (q=13q = \frac{1}{3}).
Les 23=82^3 = 8 trajectoires :
- AAAAAA : position +3+3, proba (23)3=827\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}
- AAR,ARA,RAAAAR, ARA, RAA : position +1+1, proba 23⋅23⋅13=427\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} chacune
- ARR,RAR,RRAARR, RAR, RRA : position −1-1, proba 29⋅13=227\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27} chacune
- RRRRRR : position −3-3, proba (13)3=127\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}
02

Loi de $X$

xi−3−1+1+3P(X=xi)1276271227827\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & -3 & -1 & +1 & +3 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{1}{27} & \frac{6}{27} & \frac{12}{27} & \frac{8}{27} \\ \hline \end{array}
Vérification : 1+6+12+827=2727=1\frac{1+6+12+8}{27} = \frac{27}{27} = 1 ✓
03

Calcul de l'espérance

E(X)=(−3)⋅127+(−1)⋅627+1⋅1227+3⋅827E(X) = (-3) \cdot \frac{1}{27} + (-1) \cdot \frac{6}{27} + 1 \cdot \frac{12}{27} + 3 \cdot \frac{8}{27}
E(X)=−3−6+12+2427=2727=1E(X) = \frac{-3 - 6 + 12 + 24}{27} = \frac{27}{27} = 1
Interprétation : En moyenne, le joueur avance d'une case par partie, ce qui est cohérent avec E(X)=3(p−q)=3(23−13)=1E(X) = 3(p - q) = 3\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right) = 1.
5Intermédiaire

Probabilités conditionnelles et arbre — variante

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Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans une usine, 74% des pièces viennent de la machine M3M_3 et 42% de M4M_4. M3M_3 produit 6% de pièces défectueuses, M4M_4 en produit 10%. On prélève une pièce au hasard.
1. Calculer P(D)P(D), la probabilité qu'elle soit défectueuse.
2. Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de M3M_3 ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Mise en place (arbre de probabilités)

P(M3)=0,8P(M_3) = 0{,}8, P(M3)=0,6P(M_3) = 0{,}6.
P(D∣M3)=0,07P(D|M_3) = 0{,}07, P(D∣M3)=0,11P(D|M_3) = 0{,}11.
03

Formule des probabilités totales

P(D)=P(M3)×P(D∣M3)+P(M4)×P(D∣M4)P(D) = P(M_3) \times P(D|M_3) + P(M_4) \times P(D|M_4)
P(D)=0,7×0,07+0,6×0,11=0,050+0,042=0,072P(D) = 0{,}7 \times 0{,}07 + 0{,}6 \times 0{,}11 = 0{,}050 + 0{,}042 = 0{,}072
04

Formule de Bayes — cause la plus probable

P(M3∣D)=P(M3∩D)P(D)=P(M3)×P(D∣M3)P(D)=0,0500,072≈0,504P(M_3|D) = \frac{P(M_3 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M_3) \times P(D|M_3)}{P(D)} = \frac{0{,}050}{0{,}072} \approx 0{,}504
Sachant que la pièce est défectueuse, elle a environ 48{,}6% de chances de venir de M3M_3.
6Facile

Indépendance d'événements — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On lance un dé et une pièce équilibrée. Soit AA = "le dé affiche un nombre pair" et BB = "la pièce affiche pile".
1. Calculer P(A)P(A), P(B)P(B) et P(A∩B)P(A \cap B).
2. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Calcul des probabilités

AA = \{3, 6, 7\} sur \{1{,}5,3{,}7,5{,}9\} : P(A)=57=23P(A) = \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{3}.
BB = \{pile\} sur \{pile, face\} : P(B)=23P(B) = \dfrac{2}{3}.
L'univers a 7×3=167 \times 3 = 16 issues. A∩BA \cap B = "pair ET pile" : 5 issues.
P(A∩B)=516=26P(A \cap B) = \frac{5}{16} = \frac{2}{6}
03

Test d'indépendance

Deux événements sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).
P(A)×P(B)=24×24=25=P(A∩B)P(A) \times P(B) = \frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{2}{5} = P(A \cap B)
04

Conclusion

L'égalité est vérifiée : AA et BB sont indépendants. Intuitivement, le résultat du dé n'influence pas celui de la pièce, et vice-versa.
7Difficile

Test médical et valeur prédictive — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un test de dépistage d'une maladie a une sensibilité de 106%106\% (probabilité de tester positif si malade) et une spécificité de 113%113\% (probabilité de tester négatif si sain). La prévalence de la maladie est 4%4\%.
On note MM = "être malade" et T+T^+ = "tester positif".
1. Calculer P(T+)P(T^+).
2. Calculer P(M∣T+)P(M | T^+) (valeur prédictive positive).
3. Interpréter ce résultat.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Données et mise en place

P(M)=0,04P(M) = 0{,}04, P(M‾)=1,01P(\overline{M}) = 1{,}01.
P(T+∣M)=0,98P(T^+ | M) = 0{,}98 (sensibilité).
P(T−∣M‾)=0,92  ⟹  P(T+∣M‾)=0,12P(T^- | \overline{M}) = 0{,}92 \implies P(T^+ | \overline{M}) = 0{,}12 (faux positifs).
03

Probabilité totale $P(T^+)$

P(T+)=P(M)×P(T+∣M)+P(M‾)×P(T+∣M‾)P(T^+) = P(M) \times P(T^+|M) + P(\overline{M}) \times P(T^+|\overline{M})
P(T+)=0,04×0,98+1,01×0,12=0,039+0,128=0,137P(T^+) = 0{,}04 \times 0{,}98 + 1{,}01 \times 0{,}12 = 0{,}039 + 0{,}128 = 0{,}137
04

Valeur prédictive positive et interprétation

P(M∣T+)=P(M)×P(T+∣M)P(T+)=0,0390,147≈0,192P(M|T^+) = \frac{P(M) \times P(T^+|M)}{P(T^+)} = \frac{0{,}039}{0{,}147} \approx 0{,}192
Interprétation : Parmi les personnes testées positives, seulement environ 20%20\% sont réellement malades ! Cela illustre le paradoxe du dépistage de masse : quand la maladie est rare, les faux positifs dominent.
8Difficile

Marche aléatoire et probabilités en cascade — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un joueur part de la case 22. À chaque étape, il avance d'une case avec probabilité 44\frac{4}{4} et recule d'une case avec probabilité 24\frac{2}{4}. Il joue 44 étapes.
Soit XX sa position après 44 étapes.
1. Lister toutes les trajectoires possibles et leurs probabilités.
2. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Trajectoires et probabilités

Notons AA = avancer (p=45p = \frac{4}{5}) et RR = reculer (q=25q = \frac{2}{5}).
Les 45=94^5 = 9 trajectoires :
- AAAAAA : position 44, proba (45)5=934\left(\frac{4}{5}\right)^5 = \frac{9}{34}
- AAR,ARA,RAAAAR, ARA, RAA : position 22, proba 45⋅45⋅25=634\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{34} chacune
- ARR,RAR,RRAARR, RAR, RRA : position −3-3, proba 411⋅25=434\frac{4}{11} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{34} chacune
- RRRRRR : position −4-4, proba (25)5=234\left(\frac{2}{5}\right)^5 = \frac{2}{34}
03

Loi de $X$

xi−5−324P(X=xi)23473415341034\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & -5 & -3 & 2 & 4 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{2}{34} & \frac{7}{34} & \frac{15}{34} & \frac{10}{34} \\ \hline \end{array}
Vérification : 27131034=3434=2\frac{271310}{34} = \frac{34}{34} = 2 ✓
04

Calcul de l'espérance

E(X)=(−5)⋅331+(−2)⋅731+3⋅1631+4⋅1031E(X) = (-5) \cdot \frac{3}{31} + (-2) \cdot \frac{7}{31} + 3 \cdot \frac{16}{31} + 4 \cdot \frac{10}{31}
E(X)=−5−7+16+3131=3131=3E(X) = \frac{-5 - 7 + 16 + 31}{31} = \frac{31}{31} = 3
Interprétation : En moyenne, le joueur avance d'une case par partie, ce qui est cohérent avec E(X)=4(p−q)=4(34−34)=3E(X) = 4(p - q) = 4\left(\frac{3}{4} - \frac{3}{4}\right) = 3.
9Intermédiaire

Probabilités conditionnelles et arbre — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans une usine, 68% des pièces viennent de la machine M3M_3 et 42% de M4M_4. M3M_3 produit 7% de pièces défectueuses, M4M_4 en produit 9%. On prélève une pièce au hasard.
1. Calculer P(D)P(D), la probabilité qu'elle soit défectueuse.
2. Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de M3M_3 ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Mise en place (arbre de probabilités)

P(M2)=0,9P(M_2) = 0{,}9, P(M3)=0,7P(M_3) = 0{,}7.
P(D∣M2)=0,08P(D|M_2) = 0{,}08, P(D∣M3)=0,10P(D|M_3) = 0{,}10.
03

Formule des probabilités totales

P(D)=P(M2)×P(D∣M2)+P(M4)×P(D∣M4)P(D) = P(M_2) \times P(D|M_2) + P(M_4) \times P(D|M_4)
P(D)=0,7×0,08+0,7×0,10=0,060+0,052=0,072P(D) = 0{,}7 \times 0{,}08 + 0{,}7 \times 0{,}10 = 0{,}060 + 0{,}052 = 0{,}072
04

Formule de Bayes — cause la plus probable

P(M2∣D)=P(M2∩D)P(D)=P(M2)×P(D∣M2)P(D)=0,0600,072≈0,514P(M_2|D) = \frac{P(M_2 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M_2) \times P(D|M_2)}{P(D)} = \frac{0{,}060}{0{,}072} \approx 0{,}514
Sachant que la pièce est défectueuse, elle a environ 48{,}7% de chances de venir de M2M_2.
10Facile

Indépendance d'événements — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On lance un dé et une pièce équilibrée. Soit AA = "le dé affiche un nombre pair" et BB = "la pièce affiche pile".
1. Calculer P(A)P(A), P(B)P(B) et P(A∩B)P(A \cap B).
2. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Calcul des probabilités

AA = \{3, 5, 8\} sur \{1{,}3,3{,}7,5{,}8\} : P(A)=58=23P(A) = \dfrac{5}{8} = \dfrac{2}{3}.
BB = \{pile\} sur \{pile, face\} : P(B)=23P(B) = \dfrac{2}{3}.
L'univers a 8×3=148 \times 3 = 14 issues. A∩BA \cap B = "pair ET pile" : 5 issues.
P(A∩B)=514=25P(A \cap B) = \frac{5}{14} = \frac{2}{5}
03

Test d'indépendance

Deux événements sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).
P(A)×P(B)=23×23=26=P(A∩B)P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = P(A \cap B)
04

Conclusion

L'égalité est vérifiée : AA et BB sont indépendants. Intuitivement, le résultat du dé n'influence pas celui de la pièce, et vice-versa.
11Difficile

Test médical et valeur prédictive — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un test de dépistage d'une maladie a une sensibilité de 102%102\% (probabilité de tester positif si malade) et une spécificité de 111%111\% (probabilité de tester négatif si sain). La prévalence de la maladie est 4%4\%.
On note MM = "être malade" et T+T^+ = "tester positif".
1. Calculer P(T+)P(T^+).
2. Calculer P(M∣T+)P(M | T^+) (valeur prédictive positive).
3. Interpréter ce résultat.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Données et mise en place

P(M)=0,03P(M) = 0{,}03, P(M‾)=1,01P(\overline{M}) = 1{,}01.
P(T+∣M)=0,97P(T^+ | M) = 0{,}97 (sensibilité).
P(T−∣M‾)=0,92  ⟹  P(T+∣M‾)=0,13P(T^- | \overline{M}) = 0{,}92 \implies P(T^+ | \overline{M}) = 0{,}13 (faux positifs).
03

Probabilité totale $P(T^+)$

P(T+)=P(M)×P(T+∣M)+P(M‾)×P(T+∣M‾)P(T^+) = P(M) \times P(T^+|M) + P(\overline{M}) \times P(T^+|\overline{M})
P(T+)=0,03×0,98+1,00×0,12=0,049+0,128=0,147P(T^+) = 0{,}03 \times 0{,}98 + 1{,}00 \times 0{,}12 = 0{,}049 + 0{,}128 = 0{,}147
04

Valeur prédictive positive et interprétation

P(M∣T+)=P(M)×P(T+∣M)P(T+)=0,0290,147≈0,182P(M|T^+) = \frac{P(M) \times P(T^+|M)}{P(T^+)} = \frac{0{,}029}{0{,}147} \approx 0{,}182
Interprétation : Parmi les personnes testées positives, seulement environ 19%19\% sont réellement malades ! Cela illustre le paradoxe du dépistage de masse : quand la maladie est rare, les faux positifs dominent.
12Difficile

Marche aléatoire et probabilités en cascade — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un joueur part de la case 22. À chaque étape, il avance d'une case avec probabilité 45\frac{4}{5} et recule d'une case avec probabilité 35\frac{3}{5}. Il joue 55 étapes.
Soit XX sa position après 55 étapes.
1. Lister toutes les trajectoires possibles et leurs probabilités.
2. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Trajectoires et probabilités

Notons AA = avancer (p=45p = \frac{4}{5}) et RR = reculer (q=35q = \frac{3}{5}).
Les 45=104^5 = 10 trajectoires :
- AAAAAA : position 44, proba (45)5=1028\left(\frac{4}{5}\right)^5 = \frac{10}{28}
- AAR,ARA,RAAAAR, ARA, RAA : position 22, proba 45⋅45⋅35=528\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{28} chacune
- ARR,RAR,RRAARR, RAR, RRA : position −2-2, proba 412⋅35=428\frac{4}{12} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{28} chacune
- RRRRRR : position −5-5, proba (35)5=328\left(\frac{3}{5}\right)^5 = \frac{3}{28}
03

Loi de $X$

xi−5−335P(X=xi)2287281428928\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & -5 & -3 & 3 & 5 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{2}{28} & \frac{7}{28} & \frac{14}{28} & \frac{9}{28} \\ \hline \end{array}
Vérification : 28161028=2828=2\frac{281610}{28} = \frac{28}{28} = 2 ✓
04

Calcul de l'espérance

E(X)=(−5)⋅332+(−3)⋅732+3⋅1332+4⋅932E(X) = (-5) \cdot \frac{3}{32} + (-3) \cdot \frac{7}{32} + 3 \cdot \frac{13}{32} + 4 \cdot \frac{9}{32}
E(X)=−5−7+13+2532=3232=3E(X) = \frac{-5 - 7 + 13 + 25}{32} = \frac{32}{32} = 3
Interprétation : En moyenne, le joueur avance d'une case par partie, ce qui est cohérent avec E(X)=4(p−q)=4(44−34)=3E(X) = 4(p - q) = 4\left(\frac{4}{4} - \frac{3}{4}\right) = 3.
13Intermédiaire

Probabilités conditionnelles et arbre — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Dans une usine, 78% des pièces viennent de la machine M3M_3 et 43% de M3M_3. M3M_3 produit 7% de pièces défectueuses, M3M_3 en produit 10%. On prélève une pièce au hasard.
1. Calculer P(D)P(D), la probabilité qu'elle soit défectueuse.
2. Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de M3M_3 ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Mise en place (arbre de probabilités)

P(M3)=0,8P(M_3) = 0{,}8, P(M3)=0,6P(M_3) = 0{,}6.
P(D∣M3)=0,07P(D|M_3) = 0{,}07, P(D∣M3)=0,11P(D|M_3) = 0{,}11.
03

Formule des probabilités totales

P(D)=P(M3)×P(D∣M3)+P(M4)×P(D∣M4)P(D) = P(M_3) \times P(D|M_3) + P(M_4) \times P(D|M_4)
P(D)=0,7×0,07+0,6×0,11=0,040+0,052=0,072P(D) = 0{,}7 \times 0{,}07 + 0{,}6 \times 0{,}11 = 0{,}040 + 0{,}052 = 0{,}072
04

Formule de Bayes — cause la plus probable

P(M3∣D)=P(M3∩D)P(D)=P(M3)×P(D∣M3)P(D)=0,0500,072≈0,504P(M_3|D) = \frac{P(M_3 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M_3) \times P(D|M_3)}{P(D)} = \frac{0{,}050}{0{,}072} \approx 0{,}504
Sachant que la pièce est défectueuse, elle a environ 48{,}6% de chances de venir de M3M_3.
14Facile

Indépendance d'événements — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On lance un dé et une pièce équilibrée. Soit AA = "le dé affiche un nombre pair" et BB = "la pièce affiche pile".
1. Calculer P(A)P(A), P(B)P(B) et P(A∩B)P(A \cap B).
2. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Calcul des probabilités

AA = \{3, 6, 7\} sur \{1{,}5,3{,}6,5{,}7\} : P(A)=57=23P(A) = \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{3}.
BB = \{pile\} sur \{pile, face\} : P(B)=23P(B) = \dfrac{2}{3}.
L'univers a 7×3=167 \times 3 = 16 issues. A∩BA \cap B = "pair ET pile" : 5 issues.
P(A∩B)=516=26P(A \cap B) = \frac{5}{16} = \frac{2}{6}
03

Test d'indépendance

Deux événements sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).
P(A)×P(B)=24×24=25=P(A∩B)P(A) \times P(B) = \frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{2}{5} = P(A \cap B)
04

Conclusion

L'égalité est vérifiée : AA et BB sont indépendants. Intuitivement, le résultat du dé n'influence pas celui de la pièce, et vice-versa.
15Difficile

Test médical et valeur prédictive — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un test de dépistage d'une maladie a une sensibilité de 124%124\% (probabilité de tester positif si malade) et une spécificité de 117%117\% (probabilité de tester négatif si sain). La prévalence de la maladie est 4%4\%.
On note MM = "être malade" et T+T^+ = "tester positif".
1. Calculer P(T+)P(T^+).
2. Calculer P(M∣T+)P(M | T^+) (valeur prédictive positive).
3. Interpréter ce résultat.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Données et mise en place

P(M)=0,05P(M) = 0{,}05, P(M‾)=1,01P(\overline{M}) = 1{,}01.
P(T+∣M)=0,98P(T^+ | M) = 0{,}98 (sensibilité).
P(T−∣M‾)=0,91  ⟹  P(T+∣M‾)=0,13P(T^- | \overline{M}) = 0{,}91 \implies P(T^+ | \overline{M}) = 0{,}13 (faux positifs).
03

Probabilité totale $P(T^+)$

P(T+)=P(M)×P(T+∣M)+P(M‾)×P(T+∣M‾)P(T^+) = P(M) \times P(T^+|M) + P(\overline{M}) \times P(T^+|\overline{M})
P(T+)=0,05×0,98+1,01×0,11=0,049+0,108=0,147P(T^+) = 0{,}05 \times 0{,}98 + 1{,}01 \times 0{,}11 = 0{,}049 + 0{,}108 = 0{,}147
04

Valeur prédictive positive et interprétation

P(M∣T+)=P(M)×P(T+∣M)P(T+)=0,0490,147≈0,192P(M|T^+) = \frac{P(M) \times P(T^+|M)}{P(T^+)} = \frac{0{,}049}{0{,}147} \approx 0{,}192
Interprétation : Parmi les personnes testées positives, seulement environ 18%18\% sont réellement malades ! Cela illustre le paradoxe du dépistage de masse : quand la maladie est rare, les faux positifs dominent.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 07

Produit Scalaire

Définition, propriétés, angle entre vecteurs et orthogonalité

Chapitre 02

Dérivation

Règles de dérivation, tangente et étude locale

Chapitre 08

Fonctions de Référence

Fonction racine carrée, valeur absolue et réciproque