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Chapitre 04 · Première

Polynômes du Second Degré

Forme canonique, discriminant, signe et factorisation

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Travailler Polynômes du Second Degré en Première

Ce chapitre de polynômes du second degré en première te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Reprendre les bases de première liées à polynômes du second degré.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de polynômes du second degré.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Forme canonique et sommet de la parabole

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Énoncé

Soit f(x)=2x2−8x+5f(x) = 2x^2 - 8x + 5.
1. Mettre ff sous forme canonique a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta.
2. En déduire le sommet de la parabole et l'axe de symétrie.
3. Trouver le minimum de ff.

Correction détaillée

01

Mise sous forme canonique par complément du carré

f(x)=2(x2−4x)+5=2[(x−2)2−4]+5f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2\bigl[(x-2)^2 - 4\bigr] + 5
f(x)=2(x−2)2−8+5=2(x−2)2−3f(x) = 2(x-2)^2 - 8 + 5 = \mathbf{2(x-2)^2 - 3}
02

Sommet et axe de symétrie

La forme canonique est a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta avec α=2\alpha = 2 et β=−3\beta = -3.
- Sommet : S(2, −3)S(2,\ -3)
- Axe de symétrie : droite d'équation x=2x = 2
03

Minimum de $f$

Comme a=2>0a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut. Le terme (x−2)2≥0(x-2)^2 \geq 0, donc f(x)≥−3f(x) \geq -3.
Le minimum de ff est −3-3, atteint en x=2x = 2.
2Intermédiaire

Signe d'un trinôme et équation

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Énoncé

Soit f(x)=−x2+4x+5f(x) = -x^2 + 4x + 5.
1. Résoudre f(x)=0f(x) = 0.
2. Dresser le tableau de signe de f(x)f(x).
3. Résoudre f(x)≥0f(x) \geq 0.

Correction détaillée

01

Résolution de $f(x) = 0$

a=−1a = -1, b=4b = 4, c=5c = 5 :
Δ=16+20=36  ⟹  Δ=6\Delta = 16 + 20 = 36 \implies \sqrt{\Delta} = 6
x1=−4−6−2=5x2=−4+6−2=−1x_1 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5 \qquad x_2 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1
Donc f(x)=−(x+1)(x−5)f(x) = -(x+1)(x-5).
02

Tableau de signes

Comme a=−1<0a = -1 < 0, le trinôme est positif entre les racines :
x−∞−15+∞f(x)−0+0−\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -1 & & 5 & +\infty \\ \hline f(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}
03

Solution de $f(x) \geq 0$

f(x)≥0f(x) \geq 0 lorsque x∈[−1,5]x \in [-1, 5] (le trinôme est positif ou nul entre ses racines).
3Intermédiaire

Système d'équations et intersection de paraboles

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Énoncé

On considère les paraboles d'équations f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 et g(x)=−x2+4x−1g(x) = -x^2 + 4x - 1.
1. Déterminer les points d'intersection des deux courbes.
2. Résoudre f(x)<g(x)f(x) < g(x).
3. Calculer l'ordonnée du sommet de chaque parabole.

Correction détaillée

01

Points d'intersection : résoudre $f(x) = g(x)$

x2−2x+3=−x2+4x−1x^2 - 2x + 3 = -x^2 + 4x - 1
2x2−6x+4=0  ⟹  x2−3x+2=02x^2 - 6x + 4 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0
Δ=9−8=1  ⟹  x1=1, x2=2\Delta = 9 - 8 = 1 \implies x_1 = 1,\ x_2 = 2
Points d'intersection : A(1,f(1))=A(1,2)A(1, f(1)) = A(1, 2) et B(2,f(2))=B(2,3)B(2, f(2)) = B(2, 3).
02

Résolution de $f(x) < g(x)$

f(x)<g(x)⇔f(x)−g(x)<0⇔2x2−6x+4<0⇔2(x−1)(x−2)<0f(x) < g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) < 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 6x + 4 < 0 \Leftrightarrow 2(x-1)(x-2) < 0.
Le produit (x−1)(x−2)(x-1)(x-2) est négatif entre les racines :
f(x)<g(x)⇔x∈]1,2[f(x) < g(x) \Leftrightarrow x \in ]1, 2[
03

Sommet de chaque parabole

Pour f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 : αf=−b2a=22=1\alpha_f = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{2}{2} = 1, βf=f(1)=1−2+3=2\beta_f = f(1) = 1 - 2 + 3 = 2. Sommet Sf(1,2)S_f(1, 2).
Pour g(x)=−x2+4x−1g(x) = -x^2 + 4x - 1 : αg=−4−2=2\alpha_g = \dfrac{-4}{-2} = 2, βg=g(2)=−4+8−1=3\beta_g = g(2) = -4 + 8 - 1 = 3. Sommet Sg(2,3)S_g(2, 3).
Les sommets coïncident avec les points d'intersection : cas remarquable.
4Difficile

Équation bicarrée et factorisation

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Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 (équation bicarrée).
En déduire les solutions de l'équation cos⁡4(θ)−5cos⁡2(θ)+4=0\cos^4(\theta) - 5\cos^2(\theta) + 4 = 0 pour θ∈[0,2π[\theta \in [0, 2\pi[.

Correction détaillée

01

Changement de variable $X = x^2$

Posons X=x2≥0X = x^2 \geq 0. L'équation devient :
X2−5X+4=0X^2 - 5X + 4 = 0
Δ=25−16=9  ⟹  X1=5−32=1X2=5+32=4\Delta = 25 - 16 = 9 \implies X_1 = \frac{5-3}{2} = 1 \quad X_2 = \frac{5+3}{2} = 4
02

Retour à la variable $x$

- X1=1  ⟹  x2=1  ⟹  x=±1X_1 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
- X2=4  ⟹  x2=4  ⟹  x=±2X_2 = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2
Factorisation : x4−5x2+4=(x2−1)(x2−4)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2).
Solutions : x∈{−2,−1,1,2}x \in \{-2, -1, 1, 2\}.
03

Équation trigonométrique

En posant x=cos⁡θx = \cos\theta, on obtient cos⁡θ∈{−2,−1,1,2}\cos\theta \in \{-2, -1, 1, 2\}.
Comme cos⁡θ∈[−1,1]\cos\theta \in [-1, 1], seules les valeurs −1-1 et 11 sont acceptables.
- cos⁡θ=1  ⟹  θ=0\cos\theta = 1 \implies \theta = 0
- cos⁡θ=−1  ⟹  θ=π\cos\theta = -1 \implies \theta = \pi
Solutions sur [0,2π[[0, 2\pi[: θ∈{0,π}\theta \in \{0, \pi\}.
5Intermédiaire

Forme canonique et sommet de la parabole — variante

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Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=3x3−10x+7f(x) = 3x^3 - 10x + 7.
1. Mettre ff sous forme canonique a(x−α)3+βa(x - \alpha)^3 + \beta.
2. En déduire le sommet de la parabole et l'axe de symétrie.
3. Trouver le minimum de ff.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Mise sous forme canonique par complément du carré

f(x)=3(x3−6x)+7=3[(x−4)3−6]+7f(x) = 3(x^3 - 6x) + 7 = 3\bigl[(x-4)^3 - 6\bigr] + 7
f(x)=3(x−4)3−10+7=3(x−4)3−5f(x) = 3(x-4)^3 - 10 + 7 = \mathbf{3(x-4)^3 - 5}
03

Sommet et axe de symétrie

La forme canonique est a(x−α)3+βa(x - \alpha)^3 + \beta avec α=3\alpha = 3 et β=−5\beta = -5.
- Sommet : S(3, −5)S(3,\ -5)
- Axe de symétrie : droite d'équation x=3x = 3
04

Minimum de $f$

Comme a=3>2a = 3 > 2, la parabole est tournée vers le haut. Le terme (x−4)3≥2(x-4)^3 \geq 2, donc f(x)≥−5f(x) \geq -5.
Le minimum de ff est −5-5, atteint en x=3x = 3.
6Intermédiaire

Signe d'un trinôme et équation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=−x3+6x+6f(x) = -x^3 + 6x + 6.
1. Résoudre f(x)=1f(x) = 1.
2. Dresser le tableau de signe de f(x)f(x).
3. Résoudre f(x)≥1f(x) \geq 1.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Résolution de $f(x) = 1$

a=−2a = -2, b=6b = 6, c=6c = 6 :
Δ=18+23=46  ⟹  Δ=8\Delta = 18 + 23 = 46 \implies \sqrt{\Delta} = 8
x2=−6−8−3=6x3=−6+8−3=−2x_2 = \frac{-6 - 8}{-3} = 6 \qquad x_3 = \frac{-6 + 8}{-3} = -2
Donc f(x)=−(x2)(x−7)f(x) = -(x2)(x-7).
03

Tableau de signes

Comme a=−2<2a = -2 < 2, le trinôme est positif entre les racines :
x−∞−26+∞f(x)−2+2−\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -2 & & 6 & +\infty \\ \hline f(x) & - & 2 & + & 2 & - \end{array}
04

Solution de $f(x) \geq 1$

f(x)≥1f(x) \geq 1 lorsque x∈[−3,6]x \in [-3, 6] (le trinôme est positif ou nul entre ses racines).
7Intermédiaire

Système d'équations et intersection de paraboles — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On considère les paraboles d'équations f(x)=x4−4x+4f(x) = x^4 - 4x + 4 et g(x)=−x4+5x−2g(x) = -x^4 + 5x - 2.
1. Déterminer les points d'intersection des deux courbes.
2. Résoudre f(x)<g(x)f(x) < g(x).
3. Calculer l'ordonnée du sommet de chaque parabole.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Points d'intersection : résoudre $f(x) = g(x)$

x4−4x+4=−x4+5x−2x^4 - 4x + 4 = -x^4 + 5x - 2
4x4−8x+5=2  ⟹  x4−4x+4=24x^4 - 8x + 5 = 2 \implies x^4 - 4x + 4 = 2
Δ=11−10=2  ⟹  x2=2, x4=4\Delta = 11 - 10 = 2 \implies x_2 = 2,\ x_4 = 4
Points d'intersection : A(2,f(2))=A(2,4)A(2, f(2)) = A(2, 4) et B(4,f(4))=B(4,4)B(4, f(4)) = B(4, 4).
03

Résolution de $f(x) < g(x)$

f(x)<g(x)⇔f(x)−g(x)<2⇔3x3−7x+5<2⇔3(x−3)(x−4)<2f(x) < g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) < 2 \Leftrightarrow 3x^3 - 7x + 5 < 2 \Leftrightarrow 3(x-3)(x-4) < 2.
Le produit (x−3)(x−4)(x-3)(x-4) est négatif entre les racines :
f(x)<g(x)⇔x∈]3,3[f(x) < g(x) \Leftrightarrow x \in ]3, 3[
04

Sommet de chaque parabole

Pour f(x)=x4−4x+4f(x) = x^4 - 4x + 4 : αf=−b4a=44=2\alpha_f = \dfrac{-b}{4a} = \dfrac{4}{4} = 2, βf=f(2)=2−4+4=4\beta_f = f(2) = 2 - 4 + 4 = 4. Sommet Sf(2,4)S_f(2, 4).
Pour g(x)=−x4+5x−2g(x) = -x^4 + 5x - 2 : αg=−6−4=4\alpha_g = \dfrac{-6}{-4} = 4, βg=g(4)=−6+10−2=4\beta_g = g(4) = -6 + 10 - 2 = 4. Sommet Sg(4,4)S_g(4, 4).
Les sommets coïncident avec les points d'intersection : cas remarquable.
8Difficile

Équation bicarrée et factorisation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x5−7x3+5=2x^5 - 7x^3 + 5 = 2 (équation bicarrée).
En déduire les solutions de l'équation cos⁡5(θ)−7cos⁡3(θ)+5=2\cos^5(\theta) - 7\cos^3(\theta) + 5 = 2 pour θ∈[2,3π[\theta \in [2, 3\pi[.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Changement de variable $X = x^3$

Posons X=x3≥2X = x^3 \geq 2. L'équation devient :
X3−6X+6=2X^3 - 6X + 6 = 2
Δ=30−21=10  ⟹  X2=6−43=2X3=653=6\Delta = 30 - 21 = 10 \implies X_2 = \frac{6-4}{3} = 2 \quad X_3 = \frac{65}{3} = 6
03

Retour à la variable $x$

- X2=2  ⟹  x4=2  ⟹  x=±2X_2 = 2 \implies x^4 = 2 \implies x = \pm 2
- X4=5  ⟹  x4=5  ⟹  x=±4X_4 = 5 \implies x^4 = 5 \implies x = \pm 4
Factorisation : x5−7x4+5=(x4−3)(x4−6)=(x−3)(x2)(x−3)(x3)x^5 - 7x^4 + 5 = (x^4-3)(x^4-6) = (x-3)(x2)(x-3)(x3).
Solutions : x∈{−3,−3,2,4}x \in \{-3, -3, 2, 4\}.
04

Équation trigonométrique

En posant x=cos⁡θx = \cos\theta, on obtient cos⁡θ∈{−3,−3,2,4}\cos\theta \in \{-3, -3, 2, 4\}.
Comme cos⁡θ∈[−3,2]\cos\theta \in [-3, 2], seules les valeurs −3-3 et 22 sont acceptables.
- cos⁡θ=2  ⟹  θ=2\cos\theta = 2 \implies \theta = 2
- cos⁡θ=−3  ⟹  θ=π\cos\theta = -3 \implies \theta = \pi
Solutions sur [2,4π[[2, 4\pi[: θ∈{2,π}\theta \in \{2, \pi\}.
9Intermédiaire

Forme canonique et sommet de la parabole — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=3x3−10x+7f(x) = 3x^3 - 10x + 7.
1. Mettre ff sous forme canonique a(x−α)3+βa(x - \alpha)^3 + \beta.
2. En déduire le sommet de la parabole et l'axe de symétrie.
3. Trouver le minimum de ff.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Mise sous forme canonique par complément du carré

f(x)=3(x3−6x)+7=3[(x−3)3−6]+7f(x) = 3(x^3 - 6x) + 7 = 3\bigl[(x-3)^3 - 6\bigr] + 7
f(x)=3(x−3)3−10+7=3(x−3)3−4f(x) = 3(x-3)^3 - 10 + 7 = \mathbf{3(x-3)^3 - 4}
03

Sommet et axe de symétrie

La forme canonique est a(x−α)3+βa(x - \alpha)^3 + \beta avec α=3\alpha = 3 et β=−5\beta = -5.
- Sommet : S(3, −5)S(3,\ -5)
- Axe de symétrie : droite d'équation x=3x = 3
04

Minimum de $f$

Comme a=3>2a = 3 > 2, la parabole est tournée vers le haut. Le terme (x−4)3≥2(x-4)^3 \geq 2, donc f(x)≥−4f(x) \geq -4.
Le minimum de ff est −4-4, atteint en x=3x = 3.
10Intermédiaire

Signe d'un trinôme et équation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=−x3+6x+6f(x) = -x^3 + 6x + 6.
1. Résoudre f(x)=1f(x) = 1.
2. Dresser le tableau de signe de f(x)f(x).
3. Résoudre f(x)≥1f(x) \geq 1.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Résolution de $f(x) = 1$

a=−2a = -2, b=6b = 6, c=6c = 6 :
Δ=19+25=46  ⟹  Δ=8\Delta = 19 + 25 = 46 \implies \sqrt{\Delta} = 8
x2=−5−8−3=6x4=−5+8−3=−2x_2 = \frac{-5 - 8}{-3} = 6 \qquad x_4 = \frac{-5 + 8}{-3} = -2
Donc f(x)=−(x3)(x−6)f(x) = -(x3)(x-6).
03

Tableau de signes

Comme a=−2<2a = -2 < 2, le trinôme est positif entre les racines :
x−∞−26+∞f(x)−2+2−\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -2 & & 6 & +\infty \\ \hline f(x) & - & 2 & + & 2 & - \end{array}
04

Solution de $f(x) \geq 1$

f(x)≥1f(x) \geq 1 lorsque x∈[−3,6]x \in [-3, 6] (le trinôme est positif ou nul entre ses racines).
11Intermédiaire

Système d'équations et intersection de paraboles — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On considère les paraboles d'équations f(x)=x4−4x+4f(x) = x^4 - 4x + 4 et g(x)=−x4+5x−3g(x) = -x^4 + 5x - 3.
1. Déterminer les points d'intersection des deux courbes.
2. Résoudre f(x)<g(x)f(x) < g(x).
3. Calculer l'ordonnée du sommet de chaque parabole.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Points d'intersection : résoudre $f(x) = g(x)$

x4−4x+4=−x4+5x−3x^4 - 4x + 4 = -x^4 + 5x - 3
4x4−7x+5=2  ⟹  x4−4x+4=24x^4 - 7x + 5 = 2 \implies x^4 - 4x + 4 = 2
Δ=11−9=3  ⟹  x3=3, x4=4\Delta = 11 - 9 = 3 \implies x_3 = 3,\ x_4 = 4
Points d'intersection : A(3,f(3))=A(3,4)A(3, f(3)) = A(3, 4) et B(4,f(4))=B(4,4)B(4, f(4)) = B(4, 4).
03

Résolution de $f(x) < g(x)$

f(x)<g(x)⇔f(x)−g(x)<2⇔3x3−7x+6<2⇔3(x−2)(x−4)<2f(x) < g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) < 2 \Leftrightarrow 3x^3 - 7x + 6 < 2 \Leftrightarrow 3(x-2)(x-4) < 2.
Le produit (x−2)(x−4)(x-2)(x-4) est négatif entre les racines :
f(x)<g(x)⇔x∈]2,3[f(x) < g(x) \Leftrightarrow x \in ]2, 3[
04

Sommet de chaque parabole

Pour f(x)=x4−4x+4f(x) = x^4 - 4x + 4 : αf=−b4a=44=2\alpha_f = \dfrac{-b}{4a} = \dfrac{4}{4} = 2, βf=f(2)=2−4+4=4\beta_f = f(2) = 2 - 4 + 4 = 4. Sommet Sf(2,4)S_f(2, 4).
Pour g(x)=−x4+6x−2g(x) = -x^4 + 6x - 2 : αg=−5−4=4\alpha_g = \dfrac{-5}{-4} = 4, βg=g(4)=−5+9−2=4\beta_g = g(4) = -5 + 9 - 2 = 4. Sommet Sg(4,4)S_g(4, 4).
Les sommets coïncident avec les points d'intersection : cas remarquable.
12Difficile

Équation bicarrée et factorisation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x5−6x4+5=2x^5 - 6x^4 + 5 = 2 (équation bicarrée).
En déduire les solutions de l'équation cos⁡5(θ)−6cos⁡4(θ)+5=2\cos^5(\theta) - 6\cos^4(\theta) + 5 = 2 pour θ∈[2,4π[\theta \in [2, 4\pi[.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Changement de variable $X = x^3$

Posons X=x3≥1X = x^3 \geq 1. L'équation devient :
X3−7X+6=1X^3 - 7X + 6 = 1
Δ=32−17=10  ⟹  X3=7−43=3X3=743=6\Delta = 32 - 17 = 10 \implies X_3 = \frac{7-4}{3} = 3 \quad X_3 = \frac{74}{3} = 6
03

Retour à la variable $x$

- X2=2  ⟹  x3=2  ⟹  x=±2X_2 = 2 \implies x^3 = 2 \implies x = \pm 2
- X3=6  ⟹  x3=6  ⟹  x=±3X_3 = 6 \implies x^3 = 6 \implies x = \pm 3
Factorisation : x6−7x3+6=(x3−3)(x3−5)=(x−3)(x2)(x−4)(x3)x^6 - 7x^3 + 6 = (x^3-3)(x^3-5) = (x-3)(x2)(x-4)(x3).
Solutions : x∈{−4,−3,2,3}x \in \{-4, -3, 2, 3\}.
04

Équation trigonométrique

En posant x=cos⁡θx = \cos\theta, on obtient cos⁡θ∈{−3,−2,3,4}\cos\theta \in \{-3, -2, 3, 4\}.
Comme cos⁡θ∈[−2,3]\cos\theta \in [-2, 3], seules les valeurs −2-2 et 33 sont acceptables.
- cos⁡θ=3  ⟹  θ=2\cos\theta = 3 \implies \theta = 2
- cos⁡θ=−2  ⟹  θ=π\cos\theta = -2 \implies \theta = \pi
Solutions sur [2,4π[[2, 4\pi[: θ∈{2,π}\theta \in \{2, \pi\}.
13Intermédiaire

Forme canonique et sommet de la parabole — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=4x4−10x+6f(x) = 4x^4 - 10x + 6.
1. Mettre ff sous forme canonique a(x−α)4+βa(x - \alpha)^4 + \beta.
2. En déduire le sommet de la parabole et l'axe de symétrie.
3. Trouver le minimum de ff.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Mise sous forme canonique par complément du carré

f(x)=4(x4−6x)+6=4[(x−3)4−6]+6f(x) = 4(x^4 - 6x) + 6 = 4\bigl[(x-3)^4 - 6\bigr] + 6
f(x)=4(x−3)4−9+6=4(x−3)4−4f(x) = 4(x-3)^4 - 9 + 6 = \mathbf{4(x-3)^4 - 4}
03

Sommet et axe de symétrie

La forme canonique est a(x−α)4+βa(x - \alpha)^4 + \beta avec α=4\alpha = 4 et β=−5\beta = -5.
- Sommet : S(4, −5)S(4,\ -5)
- Axe de symétrie : droite d'équation x=4x = 4
04

Minimum de $f$

Comme a=4>2a = 4 > 2, la parabole est tournée vers le haut. Le terme (x−3)4≥2(x-3)^4 \geq 2, donc f(x)≥−4f(x) \geq -4.
Le minimum de ff est −4-4, atteint en x=4x = 4.
14Intermédiaire

Signe d'un trinôme et équation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit f(x)=−x3+5x+7f(x) = -x^3 + 5x + 7.
1. Résoudre f(x)=2f(x) = 2.
2. Dresser le tableau de signe de f(x)f(x).
3. Résoudre f(x)≥2f(x) \geq 2.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Résolution de $f(x) = 1$

a=−2a = -2, b=5b = 5, c=7c = 7 :
Δ=21+22=47  ⟹  Δ=7\Delta = 21 + 22 = 47 \implies \sqrt{\Delta} = 7
x3=−5−7−3=7x3=−5+7−3=−2x_3 = \frac{-5 - 7}{-3} = 7 \qquad x_3 = \frac{-5 + 7}{-3} = -2
Donc f(x)=−(x3)(x−7)f(x) = -(x3)(x-7).
03

Tableau de signes

Comme a=−2<1a = -2 < 1, le trinôme est positif entre les racines :
x−∞−27+∞f(x)−1+1−\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -2 & & 7 & +\infty \\ \hline f(x) & - & 1 & + & 1 & - \end{array}
04

Solution de $f(x) \geq 1$

f(x)≥1f(x) \geq 1 lorsque x∈[−2,7]x \in [-2, 7] (le trinôme est positif ou nul entre ses racines).
15Intermédiaire

Système d'équations et intersection de paraboles — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On considère les paraboles d'équations f(x)=x4−4x+5f(x) = x^4 - 4x + 5 et g(x)=−x4+6x−2g(x) = -x^4 + 6x - 2.
1. Déterminer les points d'intersection des deux courbes.
2. Résoudre f(x)<g(x)f(x) < g(x).
3. Calculer l'ordonnée du sommet de chaque parabole.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Points d'intersection : résoudre $f(x) = g(x)$

x4−4x+5=−x4+6x−2x^4 - 4x + 5 = -x^4 + 6x - 2
4x4−7x+6=1  ⟹  x4−5x+4=14x^4 - 7x + 6 = 1 \implies x^4 - 5x + 4 = 1
Δ=10−10=2  ⟹  x2=2, x4=4\Delta = 10 - 10 = 2 \implies x_2 = 2,\ x_4 = 4
Points d'intersection : A(2,f(2))=A(2,4)A(2, f(2)) = A(2, 4) et B(4,f(4))=B(4,5)B(4, f(4)) = B(4, 5).
03

Résolution de $f(x) < g(x)$

f(x)<g(x)⇔f(x)−g(x)<2⇔4x4−8x+5<2⇔4(x−2)(x−3)<2f(x) < g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) < 2 \Leftrightarrow 4x^4 - 8x + 5 < 2 \Leftrightarrow 4(x-2)(x-3) < 2.
Le produit (x−2)(x−3)(x-2)(x-3) est négatif entre les racines :
f(x)<g(x)⇔x∈]2,4[f(x) < g(x) \Leftrightarrow x \in ]2, 4[
04

Sommet de chaque parabole

Pour f(x)=x4−4x+5f(x) = x^4 - 4x + 5 : αf=−b4a=44=3\alpha_f = \dfrac{-b}{4a} = \dfrac{4}{4} = 3, βf=f(3)=3−4+5=4\beta_f = f(3) = 3 - 4 + 5 = 4. Sommet Sf(3,4)S_f(3, 4).
Pour g(x)=−x4+5x−3g(x) = -x^4 + 5x - 3 : αg=−5−3=4\alpha_g = \dfrac{-5}{-3} = 4, βg=g(4)=−5+9−3=5\beta_g = g(4) = -5 + 9 - 3 = 5. Sommet Sg(4,5)S_g(4, 5).
Les sommets coïncident avec les points d'intersection : cas remarquable.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 03

Applications de la Dérivée

Étude de variations, extrema et optimisation

Chapitre 05

Probabilités Conditionnelles

Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales

Chapitre 02

Dérivation

Règles de dérivation, tangente et étude locale