MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 04 · Première

Polynômes du Second Degré

Forme canonique, discriminant, signe et factorisation

1Intermédiaire

Forme canonique et sommet de la parabole

Énoncé

Soit f(x)=2x2−8x+5f(x) = 2x^2 - 8x + 5.
1. Mettre ff sous forme canonique a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta.
2. En déduire le sommet de la parabole et l'axe de symétrie.
3. Trouver le minimum de ff.

Correction détaillée

01

Mise sous forme canonique par complément du carré

f(x)=2(x2−4x)+5=2[(x−2)2−4]+5f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2\bigl[(x-2)^2 - 4\bigr] + 5
f(x)=2(x−2)2−8+5=2(x−2)2−3f(x) = 2(x-2)^2 - 8 + 5 = \mathbf{2(x-2)^2 - 3}
02

Sommet et axe de symétrie

La forme canonique est a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta avec α=2\alpha = 2 et β=−3\beta = -3.
- Sommet : S(2, −3)S(2,\ -3)
- Axe de symétrie : droite d'équation x=2x = 2
03

Minimum de $f$

Comme a=2>0a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut. Le terme (x−2)2≥0(x-2)^2 \geq 0, donc f(x)≥−3f(x) \geq -3.
Le minimum de ff est −3-3, atteint en x=2x = 2.
2Intermédiaire

Signe d'un trinôme et équation

Énoncé

Soit f(x)=−x2+4x+5f(x) = -x^2 + 4x + 5.
1. Résoudre f(x)=0f(x) = 0.
2. Dresser le tableau de signe de f(x)f(x).
3. Résoudre f(x)≥0f(x) \geq 0.

Correction détaillée

01

Résolution de $f(x) = 0$

a=−1a = -1, b=4b = 4, c=5c = 5 :
Δ=16+20=36  ⟹  Δ=6\Delta = 16 + 20 = 36 \implies \sqrt{\Delta} = 6
x1=−4−6−2=5x2=−4+6−2=−1x_1 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5 \qquad x_2 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1
Donc f(x)=−(x+1)(x−5)f(x) = -(x+1)(x-5).
02

Tableau de signes

Comme a=−1<0a = -1 < 0, le trinôme est positif entre les racines :
x−∞−15+∞f(x)−0+0−\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -1 & & 5 & +\infty \\ \hline f(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}
03

Solution de $f(x) \geq 0$

f(x)≥0f(x) \geq 0 lorsque x∈[−1,5]x \in [-1, 5] (le trinôme est positif ou nul entre ses racines).
3Intermédiaire

Système d'équations et intersection de paraboles

Énoncé

On considère les paraboles d'équations f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 et g(x)=−x2+4x−1g(x) = -x^2 + 4x - 1.
1. Déterminer les points d'intersection des deux courbes.
2. Résoudre f(x)<g(x)f(x) < g(x).
3. Calculer l'ordonnée du sommet de chaque parabole.

Correction détaillée

01

Points d'intersection : résoudre $f(x) = g(x)$

x2−2x+3=−x2+4x−1x^2 - 2x + 3 = -x^2 + 4x - 1
2x2−6x+4=0  ⟹  x2−3x+2=02x^2 - 6x + 4 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0
Δ=9−8=1  ⟹  x1=1, x2=2\Delta = 9 - 8 = 1 \implies x_1 = 1,\ x_2 = 2
Points d'intersection : A(1,f(1))=A(1,2)A(1, f(1)) = A(1, 2) et B(2,f(2))=B(2,3)B(2, f(2)) = B(2, 3).
02

Résolution de $f(x) < g(x)$

f(x)<g(x)⇔f(x)−g(x)<0⇔2x2−6x+4<0⇔2(x−1)(x−2)<0f(x) < g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) < 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 6x + 4 < 0 \Leftrightarrow 2(x-1)(x-2) < 0.
Le produit (x−1)(x−2)(x-1)(x-2) est négatif entre les racines :
f(x)<g(x)⇔x∈]1,2[f(x) < g(x) \Leftrightarrow x \in ]1, 2[
03

Sommet de chaque parabole

Pour f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 : αf=−b2a=22=1\alpha_f = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{2}{2} = 1, βf=f(1)=1−2+3=2\beta_f = f(1) = 1 - 2 + 3 = 2. Sommet Sf(1,2)S_f(1, 2).
Pour g(x)=−x2+4x−1g(x) = -x^2 + 4x - 1 : αg=−4−2=2\alpha_g = \dfrac{-4}{-2} = 2, βg=g(2)=−4+8−1=3\beta_g = g(2) = -4 + 8 - 1 = 3. Sommet Sg(2,3)S_g(2, 3).
Les sommets coïncident avec les points d'intersection : cas remarquable.
4Difficile

Équation bicarrée et factorisation

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 (équation bicarrée).
En déduire les solutions de l'équation cos⁡4(θ)−5cos⁡2(θ)+4=0\cos^4(\theta) - 5\cos^2(\theta) + 4 = 0 pour θ∈[0,2π[\theta \in [0, 2\pi[.

Correction détaillée

01

Changement de variable $X = x^2$

Posons X=x2≥0X = x^2 \geq 0. L'équation devient :
X2−5X+4=0X^2 - 5X + 4 = 0
Δ=25−16=9  ⟹  X1=5−32=1X2=5+32=4\Delta = 25 - 16 = 9 \implies X_1 = \frac{5-3}{2} = 1 \quad X_2 = \frac{5+3}{2} = 4
02

Retour à la variable $x$

- X1=1  ⟹  x2=1  ⟹  x=±1X_1 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
- X2=4  ⟹  x2=4  ⟹  x=±2X_2 = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2
Factorisation : x4−5x2+4=(x2−1)(x2−4)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2).
Solutions : x∈{−2,−1,1,2}x \in \{-2, -1, 1, 2\}.
03

Équation trigonométrique

En posant x=cos⁡θx = \cos\theta, on obtient cos⁡θ∈{−2,−1,1,2}\cos\theta \in \{-2, -1, 1, 2\}.
Comme cos⁡θ∈[−1,1]\cos\theta \in [-1, 1], seules les valeurs −1-1 et 11 sont acceptables.
- cos⁡θ=1  ⟹  θ=0\cos\theta = 1 \implies \theta = 0
- cos⁡θ=−1  ⟹  θ=π\cos\theta = -1 \implies \theta = \pi
Solutions sur [0,2π[[0, 2\pi[: θ∈{0,π}\theta \in \{0, \pi\}.