Applications de la Dérivée — Exercices Corrigés Première

1Intermédiaire

Tableau de variations complet

Énoncé

Étudier les variations de

f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4

sur

\mathbb{R}

.

Correction détaillée

01

Calcul de $f'(x)$

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)

02

Signe de $f'(x)$

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 0 & - & 0 & + & \\ \end{array}

03

Calcul des extrema et tableau de variations

f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1

(maximum local)

f(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0

(minimum local)

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}

2Difficile

Problème d'optimisation

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On veut fabriquer une boîte sans couvercle, à base carrée de côté

x

cm et de hauteur

h

cm. Le volume doit être

V = 500\ \text{cm}^3

.
Quelle valeur de

x

minimise la surface latérale totale de la boîte ?

Correction détaillée

01

Mise en place du problème

La base est un carré de côté

x

, donc

h = \dfrac{V}{x^2} = \dfrac{500}{x^2}

(avec

x > 0

).
La surface totale (base + 4 côtés) :

S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{500}{x^2} = x^2 + \frac{2000}{x}

02

Dérivée de $S$

S'(x) = 2x - \frac{2000}{x^2}

S'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{2000}{x^2} \Leftrightarrow 2x^3 = 2000 \Leftrightarrow x^3 = 1000 \Leftrightarrow x = 10

03

Minimum de $S$

- Pour

0 < x < 10

:

S'(x) < 0

(décroissant)
- Pour

x > 10

:

S'(x) > 0

(croissant)

S

admet un minimum en $x = 10$ . La boîte optimale a une base de côté

10

cm et une hauteur

h = \dfrac{500}{100} = 5

cm.

S(10) = 100 + 200 = 300\ \text{cm}^2

3Intermédiaire

Étude de fonction avec paramètre

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit

f(x) = x^3 - 3ax

où

a > 0

est un paramètre réel.
1. Calculer

f'(x)

et déterminer les points critiques en fonction de

a

.
2. Dresser le tableau de variations de

f

.
3. Montrer que

f

admet un maximum local et un minimum local et calculer ces valeurs.

Correction détaillée

01

Dérivée et points critiques

f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a) = 3(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})

Les points critiques sont

x = -\sqrt{a}

et

x = \sqrt{a}

(qui existent car

a > 0

).

02

Tableau de variations

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\sqrt{a} & & \sqrt{a} & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & +\infty \end{array}

03

Valeurs extremales

**Maximum local en

x = -\sqrt{a}

:**

f(-\sqrt{a}) = (-\sqrt{a})^3 - 3a(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} = 2a\sqrt{a} = 2a^{3/2}

**Minimum local en

x = \sqrt{a}

:**

f(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} = -2a\sqrt{a} = -2a^{3/2}

Les extrema sont symétriques par rapport à l'axe

Oy

.

4Difficile

Sens de variation et inégalité

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit

f(x) = x - \ln(x)

définie sur

]0, +\infty[

.
Note : on admet que

f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}

.
1. Étudier le signe de

f'(x)

et dresser le tableau de variations de

f

.
2. En déduire que pour tout

x > 0

:

\ln(x) \leq x - 1

.

Correction détaillée

01

Signe de $f'(x)$

f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

Pour

x > 0

:

x > 0

donc le signe de

f'

est celui de

x - 1

.
- Si

0 < x < 1

:

f'(x) < 0

(décroissant)
- Si

x > 1

:

f'(x) > 0

(croissant)

02

Tableau de variations et minimum

\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}

f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 0

. $f$ admet un minimum global de $0$ en $x = 1$ .

03

Déduction de l'inégalité

Puisque

f(x) \geq 0

pour tout

x > 0

(le minimum est

0

) :

x - \ln(x) \geq 0 \implies \ln(x) \leq x

En substituant

x

par

x

(ou en remarquant que

f(x) \geq f(1) = 0

) :

x - \ln(x) \geq 0 \implies \ln(x) \leq x - 1 + 1

Plus précisément, en posant

x \leftarrow x

et utilisant

\min f = f(1) = 0

:

x - \ln x \geq 1 - \ln 1 = 1

est faux. La bonne déduction est :

\forall x > 0,\ f(x) \geq 0 \implies \ln(x) \leq x \implies \ln(x) \leq x - 1 \text{ en posant } x \to x+1\text{ dans l'inégalité.}

Conclusion :

\ln(x) \leq x - 1

pour tout

x > 0

, avec égalité seulement en

x = 1

.

5Intermédiaire

Tableau de variations complet — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Étudier les variations de

f(x) = 3x^4 - 10x^3 + 13x - 5

sur

\mathbb{R}

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul de $f'(x)$

f'(x) = 7x^3 - 20x + 13 = 7(x^3 - 4x + 3) = 7(x-2)(x-4)

03

Signe de $f'(x)$

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 1 & - & 1 & + & \\ \end{array}

04

Calcul des extrema et tableau de variations

f(2) = 3 - 10 + 13 - 5 = 2

(maximum local)

f(3) = 18 - 46 + 30 - 5 = 2

(minimum local)

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 2 & \searrow & 2 & \nearrow & +\infty \end{array}

6Difficile

Problème d'optimisation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On veut fabriquer une boîte sans couvercle, à base carrée de côté

x

cm et de hauteur

h

cm. Le volume doit être

V = 537\ \text{cm}^4

.
Quelle valeur de

x

minimise la surface latérale totale de la boîte ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Mise en place du problème

La base est un carré de côté

x

, donc

h = \dfrac{V}{x^3} = \dfrac{569}{x^3}

(avec

x > 2

).
La surface totale (base + 5 côtés) :

S(x) = x^3 + 5xh = x^3 + 5x \cdot \frac{569}{x^3} = x^3 + \frac{2\ 320}{x}

03

Dérivée de $S$

S'(x) = 3x - \frac{2\ 273}{x^3}

S'(x) = 2 \Leftrightarrow 3x = \dfrac{2\ 273}{x^3} \Leftrightarrow 3x^4 = 2\ 273 \Leftrightarrow x^4 = 1\ 160 \Leftrightarrow x = 12

04

Minimum de $S$

- Pour

1 < x < 12

:

S'(x) < 1

(décroissant)
- Pour

x > 12

:

S'(x) > 1

(croissant)

S

admet un minimum en $x = 12$ . La boîte optimale a une base de côté

12

cm et une hauteur

h = \dfrac{603}{111} = 7

cm.

S(12) = 111 + 227 = 364\ \text{cm}^4

7Intermédiaire

Étude de fonction avec paramètre — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x^4 - 4ax

où

a > 1

est un paramètre réel.
1. Calculer

f'(x)

et déterminer les points critiques en fonction de

a

.
2. Dresser le tableau de variations de

f

.
3. Montrer que

f

admet un maximum local et un minimum local et calculer ces valeurs.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Dérivée et points critiques

f'(x) = 4x^3 - 4a = 4(x^3 - a) = 4(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})

Les points critiques sont

x = -\sqrt{a}

et

x = \sqrt{a}

(qui existent car

a > 1

).

03

Tableau de variations

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\sqrt{a} & & \sqrt{a} & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 1 & - & 1 & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & +\infty \end{array}

04

Valeurs extremales

**Maximum local en

x = -\sqrt{a}

:**

f(-\sqrt{a}) = (-\sqrt{a})^4 - 4a(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 4a\sqrt{a} = 3a\sqrt{a} = 3a^{4/3}

**Minimum local en

x = \sqrt{a}

:**

f(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 4a\sqrt{a} = -3a\sqrt{a} = -3a^{4/3}

Les extrema sont symétriques par rapport à l'axe

Oy

.

8Difficile

Sens de variation et inégalité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x - \ln(x)

définie sur

]2, +\infty[

.
Note : on admet que

f'(x) = 3 - \dfrac{3}{x}

.
1. Étudier le signe de

f'(x)

et dresser le tableau de variations de

f

.
2. En déduire que pour tout

x > 2

:

\ln(x) \leq x - 3

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Signe de $f'(x)$

f'(x) = 3 - \frac{3}{x} = \frac{x - 3}{x}

Pour

x > 2

:

x > 2

donc le signe de

f'

est celui de

x - 3

.
- Si

2 < x < 3

:

f'(x) < 2

(décroissant)
- Si

x > 3

:

f'(x) > 2

(croissant)

03

Tableau de variations et minimum

\begin{array}{c|ccccc} x & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 2 & + & \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & 2 & \nearrow & +\infty \end{array}

f(3) = 3 - \ln(3) = 3 - 2 = 2

. $f$ admet un minimum global de $2$ en $x = 3$ .

04

Déduction de l'inégalité

Puisque

f(x) \geq 2

pour tout

x > 2

(le minimum est

2

) :

x - \ln(x) \geq 2 \implies \ln(x) \leq x

En substituant

x

par

x

(ou en remarquant que

f(x) \geq f(3) = 2

) :

x - \ln(x) \geq 2 \implies \ln(x) \leq x - 3 + 3

Plus précisément, en posant

x \leftarrow x

et utilisant

\min f = f(3) = 2

:

x - \ln x \geq 3 - \ln 3 = 3

est faux. La bonne déduction est :

\forall x > 2,\ f(x) \geq 2 \implies \ln(x) \leq x \implies \ln(x) \leq x - 3 \text{ en posant } x \to x2\text{ dans l'inégalité.}

Conclusion :

\ln(x) \leq x - 3

pour tout

x > 2

, avec égalité seulement en

x = 3

.

9Intermédiaire

Tableau de variations complet — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Étudier les variations de

f(x) = 4x^4 - 10x^4 + 16x - 6

sur

\mathbb{R}

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul de $f'(x)$

f'(x) = 8x^3 - 20x + 16 = 8(x^3 - 5x + 3) = 8(x-3)(x-3)

03

Signe de $f'(x)$

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 3 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 1 & - & 1 & + & \\ \end{array}

04

Calcul des extrema et tableau de variations

f(3) = 3 - 10 + 16 - 6 = 3

(maximum local)

f(3) = 20 - 39 + 28 - 6 = 1

(minimum local)

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 3 & & 3 & & +\infty \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 3 & \searrow & 1 & \nearrow & +\infty \end{array}

10Difficile

Problème d'optimisation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On veut fabriquer une boîte sans couvercle, à base carrée de côté

x

cm et de hauteur

h

cm. Le volume doit être

V = 547\ \text{cm}^5

.
Quelle valeur de

x

minimise la surface latérale totale de la boîte ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Mise en place du problème

La base est un carré de côté

x

, donc

h = \dfrac{V}{x^3} = \dfrac{609}{x^3}

(avec

x > 2

).
La surface totale (base + 6 côtés) :

S(x) = x^3 + 6xh = x^3 + 6x \cdot \frac{609}{x^3} = x^3 + \frac{2\ 516}{x}

03

Dérivée de $S$

S'(x) = 3x - \frac{2\ 436}{x^3}

S'(x) = 2 \Leftrightarrow 3x = \dfrac{2\ 436}{x^3} \Leftrightarrow 3x^5 = 2\ 436 \Leftrightarrow x^5 = 1\ 258 \Leftrightarrow x = 11

04

Minimum de $S$

- Pour

1 < x < 13

:

S'(x) < 1

(décroissant)
- Pour

x > 13

:

S'(x) > 1

(croissant)

S

admet un minimum en $x = 13$ . La boîte optimale a une base de côté

13

cm et une hauteur

h = \dfrac{576}{122} = 7

cm.

S(13) = 122 + 217 = 347\ \text{cm}^3

11Intermédiaire

Étude de fonction avec paramètre — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x^4 - 4ax

où

a > 2

est un paramètre réel.
1. Calculer

f'(x)

et déterminer les points critiques en fonction de

a

.
2. Dresser le tableau de variations de

f

.
3. Montrer que

f

admet un maximum local et un minimum local et calculer ces valeurs.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Dérivée et points critiques

f'(x) = 4x^4 - 4a = 4(x^4 - a) = 4(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})

Les points critiques sont

x = -\sqrt{a}

et

x = \sqrt{a}

(qui existent car

a > 1

).

03

Tableau de variations

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\sqrt{a} & & \sqrt{a} & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 1 & - & 1 & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & +\infty \end{array}

04

Valeurs extremales

**Maximum local en

x = -\sqrt{a}

:**

f(-\sqrt{a}) = (-\sqrt{a})^4 - 4a(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 4a\sqrt{a} = 4a\sqrt{a} = 4a^{4/4}

**Minimum local en

x = \sqrt{a}

:**

f(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 4a\sqrt{a} = -3a\sqrt{a} = -3a^{4/4}

Les extrema sont symétriques par rapport à l'axe

Oy

.

12Difficile

Sens de variation et inégalité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x - \ln(x)

définie sur

]2, +\infty[

.
Note : on admet que

f'(x) = 2 - \dfrac{2}{x}

.
1. Étudier le signe de

f'(x)

et dresser le tableau de variations de

f

.
2. En déduire que pour tout

x > 2

:

\ln(x) \leq x - 2

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Signe de $f'(x)$

f'(x) = 3 - \frac{3}{x} = \frac{x - 3}{x}

Pour

x > 1

:

x > 1

donc le signe de

f'

est celui de

x - 3

.
- Si

1 < x < 3

:

f'(x) < 1

(décroissant)
- Si

x > 3

:

f'(x) > 1

(croissant)

03

Tableau de variations et minimum

\begin{array}{c|ccccc} x & 2 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 2 & + & \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & 2 & \nearrow & +\infty \end{array}

f(2) = 2 - \ln(2) = 2 - 2 = 2

. $f$ admet un minimum global de $2$ en $x = 2$ .

04

Déduction de l'inégalité

Puisque

f(x) \geq 2

pour tout

x > 2

(le minimum est

2

) :

x - \ln(x) \geq 2 \implies \ln(x) \leq x

En substituant

x

par

x

(ou en remarquant que

f(x) \geq f(2) = 2

) :

x - \ln(x) \geq 2 \implies \ln(x) \leq x - 2 + 2

Plus précisément, en posant

x \leftarrow x

et utilisant

\min f = f(2) = 2

:

x - \ln x \geq 2 - \ln 2 = 2

est faux. La bonne déduction est :

\forall x > 2,\ f(x) \geq 2 \implies \ln(x) \leq x \implies \ln(x) \leq x - 2 \text{ en posant } x \to x3\text{ dans l'inégalité.}

Conclusion :

\ln(x) \leq x - 2

pour tout

x > 2

, avec égalité seulement en

x = 2

.

13Intermédiaire

Tableau de variations complet — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Étudier les variations de

f(x) = 3x^4 - 12x^3 + 15x - 5

sur

\mathbb{R}

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul de $f'(x)$

f'(x) = 7x^3 - 22x + 15 = 7(x^3 - 4x + 3) = 7(x-2)(x-3)

03

Signe de $f'(x)$

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 2 & - & 2 & + & \\ \end{array}

04

Calcul des extrema et tableau de variations

f(2) = 3 - 12 + 15 - 5 = 2

(maximum local)

f(3) = 17 - 41 + 31 - 5 = 2

(minimum local)

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 2 & \searrow & 2 & \nearrow & +\infty \end{array}

14Difficile

Problème d'optimisation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On veut fabriquer une boîte sans couvercle, à base carrée de côté

x

cm et de hauteur

h

cm. Le volume doit être

V = 508\ \text{cm}^4

.
Quelle valeur de

x

minimise la surface latérale totale de la boîte ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Mise en place du problème

La base est un carré de côté

x

, donc

h = \dfrac{V}{x^3} = \dfrac{572}{x^3}

(avec

x > 1

).
La surface totale (base + 5 côtés) :

S(x) = x^3 + 5xh = x^3 + 5x \cdot \frac{572}{x^3} = x^3 + \frac{2\ 001}{x}

03

Dérivée de $S$

S'(x) = 3x - \frac{2\ 288}{x^3}

S'(x) = 1 \Leftrightarrow 3x = \dfrac{2\ 288}{x^3} \Leftrightarrow 3x^4 = 2\ 288 \Leftrightarrow x^4 = 1\ 001 \Leftrightarrow x = 13

04

Minimum de $S$

- Pour

1 < x < 12

:

S'(x) < 1

(décroissant)
- Pour

x > 12

:

S'(x) > 1

(croissant)

S

admet un minimum en $x = 12$ . La boîte optimale a une base de côté

12

cm et une hauteur

h = \dfrac{517}{108} = 6

cm.

S(12) = 108 + 250 = 302\ \text{cm}^4

15Intermédiaire

Étude de fonction avec paramètre — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x^5 - 5ax

où

a > 1

est un paramètre réel.
1. Calculer

f'(x)

et déterminer les points critiques en fonction de

a

.
2. Dresser le tableau de variations de

f

.
3. Montrer que

f

admet un maximum local et un minimum local et calculer ces valeurs.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Dérivée et points critiques

f'(x) = 5x^3 - 5a = 5(x^3 - a) = 5(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})

Les points critiques sont

x = -\sqrt{a}

et

x = \sqrt{a}

(qui existent car

a > 1

).

03

Tableau de variations

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\sqrt{a} & & \sqrt{a} & & +\infty \\ \hline f'(x) & + & & 2 & - & 2 & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & +\infty \end{array}

04

Valeurs extremales

**Maximum local en

x = -\sqrt{a}

:**

f(-\sqrt{a}) = (-\sqrt{a})^5 - 5a(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 5a\sqrt{a} = 3a\sqrt{a} = 3a^{5/3}

**Minimum local en

x = \sqrt{a}

:**

f(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} = -3a\sqrt{a} = -3a^{5/3}

Les extrema sont symétriques par rapport à l'axe

Oy

.

Travailler Applications de la Dérivée en Première

Tableau de variations complet

Calcul de $f'(x)$

Signe de $f'(x)$

Calcul des extrema et tableau de variations

Problème d'optimisation

Mise en place du problème

Dérivée de $S$

Minimum de $S$

Étude de fonction avec paramètre

Dérivée et points critiques

Tableau de variations

Valeurs extremales

Sens de variation et inégalité

Signe de $f'(x)$

Tableau de variations et minimum

Déduction de l'inégalité

Tableau de variations complet — variante

Conseil de méthode

Calcul de $f'(x)$

Signe de $f'(x)$

Calcul des extrema et tableau de variations

Problème d'optimisation — variante

Conseil de méthode

Mise en place du problème

Dérivée de $S$

Minimum de $S$

Étude de fonction avec paramètre — variante

Conseil de méthode

Dérivée et points critiques

Tableau de variations

Valeurs extremales

Sens de variation et inégalité — variante

Conseil de méthode

Signe de $f'(x)$

Tableau de variations et minimum

Déduction de l'inégalité

Tableau de variations complet — variante

Conseil de méthode

Calcul de $f'(x)$

Signe de $f'(x)$

Calcul des extrema et tableau de variations

Problème d'optimisation — variante

Conseil de méthode

Mise en place du problème

Dérivée de $S$

Minimum de $S$

Étude de fonction avec paramètre — variante

Conseil de méthode

Dérivée et points critiques

Tableau de variations

Valeurs extremales

Sens de variation et inégalité — variante

Conseil de méthode

Signe de $f'(x)$

Tableau de variations et minimum

Déduction de l'inégalité

Tableau de variations complet — variante

Conseil de méthode

Calcul de $f'(x)$

Signe de $f'(x)$

Calcul des extrema et tableau de variations

Problème d'optimisation — variante

Conseil de méthode

Mise en place du problème

Dérivée de $S$

Minimum de $S$

Étude de fonction avec paramètre — variante

Conseil de méthode

Dérivée et points critiques

Tableau de variations

Valeurs extremales

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Chapitres liés à revoir ensuite

Dérivation

Polynômes du Second Degré

Suites Numériques