Dérivation — Exercices Corrigés Première | Mathématiques by Kaizen Market

1Intermédiaire

Règles de dérivation (produit et quotient)

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1.

f(x) = (3x^2 - 1)(2x + 5)

2.

g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x - 3}

Correction détaillée

01

Dérivée de $f$ — règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$

Posons

u = 3x^2 - 1

et

v = 2x + 5

. Alors

u' = 6x

et

v' = 2

.

f'(x) = 6x(2x+5) + (3x^2-1) \cdot 2

f'(x) = 12x^2 + 30x + 6x^2 - 2 = \mathbf{18x^2 + 30x - 2}

02

Dérivée de $g$ — règle du quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Posons

u = x^2 + 1

et

v = 2x - 3

. Alors

u' = 2x

et

v' = 2

.

g'(x) = \frac{2x(2x-3) - (x^2+1) \cdot 2}{(2x-3)^2} = \frac{4x^2 - 6x - 2x^2 - 2}{(2x-3)^2}

g'(x) = \frac{2x^2 - 6x - 2}{(2x-3)^2} = \frac{2(x^2 - 3x - 1)}{(2x-3)^2}

03

Domaine de dérivabilité

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

.

g

est dérivable sur

\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{3}{2}\right\}

(dénominateur non nul).

2Facile

Équation de la tangente en un point

Énoncé

Soit

f(x) = x^3 - 3x + 2

.
1. Calculer

f'(x)

.
2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

x_0 = 2

.

Correction détaillée

01

Calcul de $f'(x)$

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)

f'

s'annule en

x = 1

et

x = -1

.

02

Valeurs en $x_0 = 2$

f(2) = 8 - 6 + 2 = 4 \quad \text{(point de tangence)}

f'(2) = 3 \times 4 - 3 = 9 \quad \text{(pente de la tangente)}

03

Équation de la tangente

La tangente en

(2, 4)

de pente

9

a pour équation

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

:

y = 9(x - 2) + 4 = 9x - 18 + 4

\mathbf{y = 9x - 14}

3Intermédiaire

Dérivée d'une fonction composée

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité :
1.

h(x) = (x^2 + 3x - 1)^4

2.

k(x) = \sqrt{4x - 3}

Correction détaillée

01

Dérivée de $h$ — règle de composition $(u^n)' = n u^{n-1} u'$

Posons

u = x^2 + 3x - 1

, donc

u' = 2x + 3

. Avec

n = 4

:

h'(x) = 4(x^2 + 3x - 1)^3 \cdot (2x + 3)

h

est dérivable sur

\mathbb{R}

.

02

Dérivée de $k$ — règle $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Posons

u = 4x - 3

, donc

u' = 4

.

k

est définie pour

u \geq 0

, soit

x \geq \dfrac{3}{4}

, et dérivable pour

x > \dfrac{3}{4}

:

k'(x) = \frac{4}{2\sqrt{4x-3}} = \frac{2}{\sqrt{4x-3}}

03

Vérification des signes et domaines

Pour

h

:

h'(x)

s'annule en

x = -\dfrac{3}{2}

et lorsque

x^2 + 3x - 1 = 0

. Pour

k

:

k'(x) > 0

sur

\left]\dfrac{3}{4}, +\infty\right[

, donc

k

est strictement croissante sur son domaine de définition.

4Difficile

Taux de variation et nombre dérivé par la définition

Énoncé

Soit

f(x) = x^2 - 2x

.
1. Calculer le taux de variation de

f

entre

x = 1

et

x = 1 + h

(avec

h \neq 0

).
2. En déduire

f'(1)

par passage à la limite.
3. Vérifier ce résultat par la formule de dérivation usuelle.

Correction détaillée

01

Calcul du taux de variation

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 2(1+h) - (1 - 2)}{h}

(1+h)^2 - 2(1+h) = 1 + 2h + h^2 - 2 - 2h = h^2 - 1

\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{h^2 - 1 - (-1)}{h} = \frac{h^2}{h} = h

02

Passage à la limite — nombre dérivé

f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0

Le nombre dérivé de

f

en

x = 1

est

f'(1) = 0

. Cela signifie que la tangente en

x = 1

est horizontale.

03

Vérification par la formule usuelle

f'(x) = 2x - 2 \implies f'(1) = 2 \times 1 - 2 = 0 \checkmark

Le point

(1, f(1)) = (1, -1)

est le minimum de la parabole, ce qui est cohérent avec une pente nulle.