MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Première

Suites Numériques

Suites arithmétiques, géométriques et leurs sommes

1Facile

Suite arithmétique — terme général et somme

Énoncé

La suite (un)(u_n) est arithmétique avec u0=7u_0 = 7 et u5=27u_5 = 27.
1. Trouver la raison rr.
2. Donner la formule du terme général unu_n.
3. Calculer S=u0+u1+⋯+u10S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}.

Correction détaillée

01

Calcul de la raison

Pour une suite arithmétique : un=u0+nru_n = u_0 + nr. Donc u5=u0+5ru_5 = u_0 + 5r :
27=7+5r  ⟹  5r=20  ⟹  r=427 = 7 + 5r \implies 5r = 20 \implies r = 4
02

Terme général

un=u0+n⋅r=7+4nu_n = u_0 + n \cdot r = 7 + 4n
Vérification : u5=7+20=27u_5 = 7 + 20 = 27 ✓
03

Somme des 11 premiers termes ($n = 0$ à $10$)

La somme de n+1n+1 termes consécutifs d'une suite arithmétique est :
S=(n+1)⋅u0+un2S = (n+1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2}
u10=7+40=47u_{10} = 7 + 40 = 47. Avec n+1=11n + 1 = 11 termes :
S=11×7+472=11×27=297S = 11 \times \frac{7 + 47}{2} = 11 \times 27 = \mathbf{297}
2Intermédiaire

Suite géométrique — terme général et convergence

Énoncé

La suite (vn)(v_n) est géométrique avec v1=6v_1 = 6 et v4=627v_4 = \dfrac{6}{27}.
1. Trouver la raison qq.
2. Exprimer vnv_n en fonction de nn.
3. La suite converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?

Correction détaillée

01

Calcul de la raison

Pour une suite géométrique : vn=v1⋅qn−1v_n = v_1 \cdot q^{n-1}. Donc v4=v1⋅q3v_4 = v_1 \cdot q^3 :
627=6⋅q3  ⟹  q3=127  ⟹  q=13\frac{6}{27} = 6 \cdot q^3 \implies q^3 = \frac{1}{27} \implies q = \frac{1}{3}
02

Terme général

vn=6⋅(13)n−1=6⋅33n=183n=23n−1v_n = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 6 \cdot \frac{3}{3^n} = \frac{18}{3^n} = \frac{2}{3^{n-1}}
Ou de façon équivalente : vn=6⋅3−(n−1)v_n = 6 \cdot 3^{-(n-1)}.
03

Convergence

Comme ∣q∣=13<1|q| = \dfrac{1}{3} < 1, on a lim⁡n→+∞qn−1=0\lim_{n \to +\infty} q^{n-1} = 0. Donc :
lim⁡n→+∞vn=6×0=0\lim_{n \to +\infty} v_n = 6 \times 0 = 0
La suite converge vers 00. Interprétation : les termes se rapprochent de zéro de plus en plus.
3Intermédiaire

Suite définie par récurrence

Énoncé

On définit la suite (wn)(w_n) par w0=2w_0 = 2 et wn+1=3wn−4w_{n+1} = 3w_n - 4 pour tout n≥0n \geq 0.
1. Calculer w1w_1, w2w_2 et w3w_3.
2. On pose zn=wn−2z_n = w_n - 2. Montrer que (zn)(z_n) est géométrique et en déduire wnw_n.
3. Déterminer lim⁡n→+∞wn\lim_{n \to +\infty} w_n.

Correction détaillée

01

Premiers termes de la suite

w1=3×2−4=2w_1 = 3 \times 2 - 4 = 2
w2=3×2−4=2w_2 = 3 \times 2 - 4 = 2
w3=3×2−4=2w_3 = 3 \times 2 - 4 = 2
La suite semble stationnaire. Vérifions cela avec le changement de variable.
02

Changement de variable — suite géométrique

Posons zn=wn−2z_n = w_n - 2. Alors :
zn+1=wn+1−2=(3wn−4)−2=3wn−6=3(wn−2)=3znz_{n+1} = w_{n+1} - 2 = (3w_n - 4) - 2 = 3w_n - 6 = 3(w_n - 2) = 3z_n
Donc (zn)(z_n) est géométrique de raison q=3q = 3 et de premier terme z0=w0−2=0z_0 = w_0 - 2 = 0.
zn=z0⋅3n=0⋅3n=0  ⟹  wn=zn+2=2z_n = z_0 \cdot 3^n = 0 \cdot 3^n = 0 \implies w_n = z_n + 2 = \mathbf{2}
La suite est constante : wn=2w_n = 2 pour tout nn.
03

Limite de la suite

Puisque wn=2w_n = 2 pour tout n≥0n \geq 0, la suite est constante et converge trivialement :
lim⁡n→+∞wn=2\lim_{n \to +\infty} w_n = 2
Interprétation : 22 est le point fixe de f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 (solution de x=3x−4⇔x=2x = 3x - 4 \Leftrightarrow x = 2).
4Difficile

Somme d'une suite géométrique et application financière

Énoncé

Un placement bancaire rapporte 2%2\% par an. On place 1 0001\,000 € chaque début d'année pendant 1010 ans.
1. Exprimer le capital CkC_k apporté par le versement de la kk-ième année (versée au début de l'année kk, kk allant de 11 à 1010) à la fin des 1010 ans.
2. Montrer que le capital total SS est la somme d'une suite géométrique et calculer SS.

Correction détaillée

01

Capital produit par chaque versement

Le versement effectué au début de l'année kk bénéficie de 10−k+1=11−k10 - k + 1 = 11 - k années de capitalisation.
Ck=1000×(1,02)11−kC_k = 1000 \times (1{,}02)^{11-k}
Par exemple : C1=1000×(1,02)10C_1 = 1000 \times (1{,}02)^{10}, C10=1000×(1,02)1C_{10} = 1000 \times (1{,}02)^1.
02

Identification de la suite géométrique

S=∑k=110Ck=1000∑k=110(1,02)11−k=1000[(1,02)10+(1,02)9+⋯+(1,02)1]S = \sum_{k=1}^{10} C_k = 1000 \sum_{k=1}^{10} (1{,}02)^{11-k} = 1000 \left[(1{,}02)^{10} + (1{,}02)^9 + \cdots + (1{,}02)^1\right]
Il s'agit de la somme de 1010 termes d'une suite géométrique de premier terme a=1,02a = 1{,}02, de raison q=1,02q = 1{,}02 et de dernier terme 1,02101{,}02^{10}.
03

Calcul de la somme totale

La somme d'une suite géométrique de nn termes : Sn=a⋅qn−1q−1S_n = a \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}.
S=1000×1,02×(1,02)10−11,02−1=1000×1,02×(1,02)10−10,02S = 1000 \times 1{,}02 \times \frac{(1{,}02)^{10} - 1}{1{,}02 - 1} = 1000 \times 1{,}02 \times \frac{(1{,}02)^{10} - 1}{0{,}02}
(1,02)10≈1,2190(1{,}02)^{10} \approx 1{,}2190. Donc :
S≈1000×1,02×0,21900,02≈1000×1,02×10,95≈11 169 €S \approx 1000 \times 1{,}02 \times \frac{0{,}2190}{0{,}02} \approx 1000 \times 1{,}02 \times 10{,}95 \approx \mathbf{11\,169}\text{ €}