MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 09 · Première

Trigonométrie

Cosinus, sinus, cercle trigonométrique et résolution d'équations

1Facile

Valeurs remarquables et cercle trigonométrique

Énoncé

Sans calculatrice, calculer :
1. cos⁡(5π6)\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) et sin⁡(5π6)\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)
2. tan⁡(π3)\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
3. La valeur exacte de cos⁡2(π4)+sin⁡2(π4)\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Correction détaillée

01

Utilisation des angles de référence

5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}. Par symétrie du cercle (2e2^e quadrant) :
cos⁡(5π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(5π6)=+sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = +\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}
02

Calcul de $\tan(\pi/3)$

tan⁡(π3)=sin⁡(π/3)cos⁡(π/3)=3/21/2=3\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}
03

Identité fondamentale

cos⁡2(π4)+sin⁡2(π4)=(22)2+(22)2=12+12=1\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
C'est la relation fondamentale de la trigonométrie : cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 pour tout xx.
2Intermédiaire

Résoudre des équations trigonométriques

Énoncé

Résoudre sur [0,2π[[0, 2\pi[ les équations :
1. sin⁡(x)=32\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
2. cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \dfrac{1}{2}

Correction détaillée

01

Résolution de $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On cherche x∈[0,2π[x \in [0, 2\pi[ tel que sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
On sait que sin⁡(π3)=32\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Par symétrie du cercle (sin positif dans les quadrants 1 et 2) :
x1=π3x2=π−π3=2π3x_1 = \frac{\pi}{3} \qquad x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
02

Résolution de $\cos(2x) = \dfrac{1}{2}$

Posons θ=2x\theta = 2x. On cherche θ∈[0,4π[\theta \in [0, 4\pi[ tel que cos⁡θ=12\cos \theta = \dfrac{1}{2}.
cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}. Les solutions sont :
θ=±π3+2kπ,k∈Z\theta = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Sur [0,4π[[0, 4\pi[: θ∈{π3,5π3,7π3,11π3}\theta \in \left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{7\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{3}\right\}
03

Retour à $x = \theta/2$

x∈{π6, 5π6, 7π6, 11π6}x \in \left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\right\}
3Intermédiaire

Formules de transformations trigonométriques

Énoncé

On admet les formules d'addition :
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
1. En déduire les formules de duplication : cos⁡(2a)\cos(2a) et sin⁡(2a)\sin(2a).
2. Calculer cos⁡(7π12)\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) en décomposant 7π12=π4+π3\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}.
3. Montrer que sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}.

Correction détaillée

01

Formules de duplication (cas $a = b$)

cos⁡(2a)=cos⁡(a+a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a
sin⁡(2a)=sin⁡(a+a)=sin⁡acos⁡a+cos⁡asin⁡a=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = \sin(a+a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 2\sin a \cos a
02

Calcul de $\cos(7\pi/12)$

cos⁡(π4+π3)=cos⁡π4cos⁡π3−sin⁡π4sin⁡π3\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}
=22⋅12−22⋅32=24−64=2−64= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
03

Démonstration de la formule de linéarisation

De la formule de duplication cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x, on tire :
2sin⁡2x=1−cos⁡(2x)  ⟹  sin⁡2x=1−cos⁡(2x)22\sin^2 x = 1 - \cos(2x) \implies \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
De même : cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}. Ces formules permettent de linéariser les expressions trigonométriques.
4Difficile

Modélisation par une fonction sinusoïdale

Énoncé

La température TT (en °C) dans une ville est modélisée par :
T(t)=10cos⁡(πt6)+15T(t) = 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 15
où tt est le mois de l'année (t=0t = 0 en janvier, t=6t = 6 en juillet).
1. Calculer T(0)T(0), T(6)T(6) et T(3)T(3).
2. Trouver les mois où T(t)≥20T(t) \geq 20 °C.
3. Quelle est la température moyenne annuelle ?

Correction détaillée

01

Valeurs particulières

T(0)=10cos⁡(0)+15=10×1+15=25 °CT(0) = 10\cos(0) + 15 = 10 \times 1 + 15 = 25\text{ °C}
T(6)=10cos⁡(π)+15=10×(−1)+15=5 °CT(6) = 10\cos(\pi) + 15 = 10 \times (-1) + 15 = 5\text{ °C}
T(3)=10cos⁡(π2)+15=10×0+15=15 °CT(3) = 10\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 15 = 10 \times 0 + 15 = 15\text{ °C}
Janvier : 25 °C, juillet : 5 °C, avril : 15 °C (modèle hémisphère sud !)
02

Résolution de $T(t) \geq 20$

10cos⁡(πt6)+15≥20  ⟹  cos⁡(πt6)≥1210\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 15 \geq 20 \implies \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq \frac{1}{2}
cos⁡θ≥12⇔θ∈[−π3+2kπ, π3+2kπ]\cos\theta \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \theta \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right].
Donc πt6∈[−π3,π3]\frac{\pi t}{6} \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] (sur une période), soit t∈[−2,2]t \in [-2, 2].
Sur [0,12[[0, 12[: T(t)≥20T(t) \geq 20 pour t∈[0,2]∪[10,12[t \in [0, 2] \cup [10, 12[ (novembre, décembre, janvier, février).
03

Température moyenne annuelle

La valeur moyenne de cos⁡\cos sur une période entière est nulle. Donc sur [0,12][0, 12] :
Tˉ=112∫012T(t) dt=112∫012[10cos⁡(πt6)+15]dt\bar{T} = \frac{1}{12}\int_0^{12} T(t)\,dt = \frac{1}{12}\int_0^{12}\left[10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 15\right]dt
Le terme en cosinus a une intégrale nulle sur une période complète. Donc :
Tˉ=112×15×12=15 °C\bar{T} = \frac{1}{12} \times 15 \times 12 = \mathbf{15\text{ °C}}
La température moyenne est la valeur centrale du modèle sinusoïdal.