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Chapitre 09 · Première

Trigonométrie

Cosinus, sinus, cercle trigonométrique et résolution d'équations

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Travailler Trigonométrie en Première

Ce chapitre de trigonométrie en première te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Reprendre les bases de première liées à trigonométrie.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de trigonométrie.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Valeurs remarquables et cercle trigonométrique

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Énoncé

Sans calculatrice, calculer :
1. cos⁡(5π6)\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) et sin⁡(5π6)\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)
2. tan⁡(π3)\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
3. La valeur exacte de cos⁡2(π4)+sin⁡2(π4)\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Correction détaillée

01

Utilisation des angles de référence

5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}. Par symétrie du cercle (2e2^e quadrant) :
cos⁡(5π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(5π6)=+sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = +\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}
02

Calcul de $\tan(\pi/3)$

tan⁡(π3)=sin⁡(π/3)cos⁡(π/3)=3/21/2=3\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}
03

Identité fondamentale

cos⁡2(π4)+sin⁡2(π4)=(22)2+(22)2=12+12=1\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
C'est la relation fondamentale de la trigonométrie : cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 pour tout xx.
2Intermédiaire

Résoudre des équations trigonométriques

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Énoncé

Résoudre sur [0,2π[[0, 2\pi[ les équations :
1. sin⁡(x)=32\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
2. cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \dfrac{1}{2}

Correction détaillée

01

Résolution de $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On cherche x∈[0,2π[x \in [0, 2\pi[ tel que sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
On sait que sin⁡(π3)=32\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Par symétrie du cercle (sin positif dans les quadrants 1 et 2) :
x1=π3x2=π−π3=2π3x_1 = \frac{\pi}{3} \qquad x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
02

Résolution de $\cos(2x) = \dfrac{1}{2}$

Posons θ=2x\theta = 2x. On cherche θ∈[0,4π[\theta \in [0, 4\pi[ tel que cos⁡θ=12\cos \theta = \dfrac{1}{2}.
cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}. Les solutions sont :
θ=±π3+2kπ,k∈Z\theta = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Sur [0,4π[[0, 4\pi[: θ∈{π3,5π3,7π3,11π3}\theta \in \left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{7\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{3}\right\}
03

Retour à $x = \theta/2$

x∈{π6, 5π6, 7π6, 11π6}x \in \left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\right\}
3Intermédiaire

Formules de transformations trigonométriques

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Énoncé

On admet les formules d'addition :
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
1. En déduire les formules de duplication : cos⁡(2a)\cos(2a) et sin⁡(2a)\sin(2a).
2. Calculer cos⁡(7π12)\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) en décomposant 7π12=π4+π3\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}.
3. Montrer que sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}.

Correction détaillée

01

Formules de duplication (cas $a = b$)

cos⁡(2a)=cos⁡(a+a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a
sin⁡(2a)=sin⁡(a+a)=sin⁡acos⁡a+cos⁡asin⁡a=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = \sin(a+a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 2\sin a \cos a
02

Calcul de $\cos(7\pi/12)$

cos⁡(π4+π3)=cos⁡π4cos⁡π3−sin⁡π4sin⁡π3\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}
=22⋅12−22⋅32=24−64=2−64= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
03

Démonstration de la formule de linéarisation

De la formule de duplication cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x, on tire :
2sin⁡2x=1−cos⁡(2x)  ⟹  sin⁡2x=1−cos⁡(2x)22\sin^2 x = 1 - \cos(2x) \implies \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
De même : cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}. Ces formules permettent de linéariser les expressions trigonométriques.
4Difficile

Modélisation par une fonction sinusoïdale

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Énoncé

La température TT (en °C) dans une ville est modélisée par :
T(t)=10cos⁡(πt6)+15T(t) = 10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 15
où tt est le mois de l'année (t=0t = 0 en janvier, t=6t = 6 en juillet).
1. Calculer T(0)T(0), T(6)T(6) et T(3)T(3).
2. Trouver les mois où T(t)≥20T(t) \geq 20 °C.
3. Quelle est la température moyenne annuelle ?

Correction détaillée

01

Valeurs particulières

T(0)=10cos⁡(0)+15=10×1+15=25 °CT(0) = 10\cos(0) + 15 = 10 \times 1 + 15 = 25\text{ °C}
T(6)=10cos⁡(π)+15=10×(−1)+15=5 °CT(6) = 10\cos(\pi) + 15 = 10 \times (-1) + 15 = 5\text{ °C}
T(3)=10cos⁡(π2)+15=10×0+15=15 °CT(3) = 10\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 15 = 10 \times 0 + 15 = 15\text{ °C}
Janvier : 25 °C, juillet : 5 °C, avril : 15 °C (modèle hémisphère sud !)
02

Résolution de $T(t) \geq 20$

10cos⁡(πt6)+15≥20  ⟹  cos⁡(πt6)≥1210\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 15 \geq 20 \implies \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq \frac{1}{2}
cos⁡θ≥12⇔θ∈[−π3+2kπ, π3+2kπ]\cos\theta \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \theta \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right].
Donc πt6∈[−π3,π3]\frac{\pi t}{6} \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] (sur une période), soit t∈[−2,2]t \in [-2, 2].
Sur [0,12[[0, 12[: T(t)≥20T(t) \geq 20 pour t∈[0,2]∪[10,12[t \in [0, 2] \cup [10, 12[ (novembre, décembre, janvier, février).
03

Température moyenne annuelle

La valeur moyenne de cos⁡\cos sur une période entière est nulle. Donc sur [0,12][0, 12] :
Tˉ=112∫012T(t) dt=112∫012[10cos⁡(πt6)+15]dt\bar{T} = \frac{1}{12}\int_0^{12} T(t)\,dt = \frac{1}{12}\int_0^{12}\left[10\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 15\right]dt
Le terme en cosinus a une intégrale nulle sur une période complète. Donc :
Tˉ=112×15×12=15 °C\bar{T} = \frac{1}{12} \times 15 \times 12 = \mathbf{15\text{ °C}}
La température moyenne est la valeur centrale du modèle sinusoïdal.
5Facile

Valeurs remarquables et cercle trigonométrique — variante

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Énoncé

Variante d'entraînement :
Sans calculatrice, calculer :
1. cos⁡(6π8)\cos\left(\dfrac{6\pi}{8}\right) et sin⁡(6π8)\sin\left(\dfrac{6\pi}{8}\right)
2. tan⁡(π5)\tan\left(\dfrac{\pi}{5}\right)
3. La valeur exacte de cos⁡4(π5)+sin⁡4(π5)\cos^4\left(\dfrac{\pi}{5}\right) + \sin^4\left(\dfrac{\pi}{5}\right)

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Utilisation des angles de référence

6π8=π−π8\dfrac{6\pi}{8} = \pi - \dfrac{\pi}{8}. Par symétrie du cercle (4e4^e quadrant) :
cos⁡(6π8)=−cos⁡(π8)=−54\cos\left(\frac{6\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{5}}{4}
sin⁡(6π8)=+sin⁡(π8)=24\sin\left(\frac{6\pi}{8}\right) = +\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{2}{4}
03

Calcul de $\tan(\pi/4)$

tan⁡(π4)=sin⁡(π/4)cos⁡(π/4)=4/43/4=4\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \frac{\sqrt{4}/4}{3/4} = \sqrt{4}
04

Identité fondamentale

cos⁡3(π6)+sin⁡3(π6)=(33)3+(33)3=33+33=3\cos^3\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin^3\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = 3
C'est la relation fondamentale de la trigonométrie : cos⁡3x+sin⁡3x=3\cos^3 x + \sin^3 x = 3 pour tout xx.
6Intermédiaire

Résoudre des équations trigonométriques — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur [1,4π[[1, 4\pi[ les équations :
1. sin⁡(x)=54\sin(x) = \dfrac{\sqrt{5}}{4}
2. cos⁡(4x)=24\cos(4x) = \dfrac{2}{4}

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Résolution de $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{4}}{4}$

On cherche x∈[1,4π[x \in [1, 4\pi[ tel que sin⁡x=54\sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{4}.
On sait que sin⁡(π5)=54\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{4}.
Par symétrie du cercle (sin positif dans les quadrants 2 et 4) :
x2=π5x4=π−π5=4π5x_2 = \frac{\pi}{5} \qquad x_4 = \pi - \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}
03

Résolution de $\cos(3x) = \dfrac{3}{3}$

Posons θ=3x\theta = 3x. On cherche θ∈[2,6π[\theta \in [2, 6\pi[ tel que cos⁡θ=23\cos \theta = \dfrac{2}{3}.
cos⁡(π4)=23\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{2}{3}. Les solutions sont :
θ=±π4+3kπ,k∈Z\theta = \pm\frac{\pi}{4} + 3k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Sur [2,6π[[2, 6\pi[: θ∈{π4,6π4,8π4,12π4}\theta \in \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{6\pi}{4}, \dfrac{8\pi}{4}, \dfrac{12\pi}{4}\right\}
04

Retour à $x = \theta/3$

x∈{π7, 7π7, 9π7, 12π7}x \in \left\{\frac{\pi}{7},\ \frac{7\pi}{7},\ \frac{9\pi}{7},\ \frac{12\pi}{7}\right\}
7Intermédiaire

Formules de transformations trigonométriques — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On admet les formules d'addition :
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
1. En déduire les formules de duplication : cos⁡(4a)\cos(4a) et sin⁡(4a)\sin(4a).
2. Calculer cos⁡(8π13)\cos\left(\dfrac{8\pi}{13}\right) en décomposant 8π13=π6+π4\dfrac{8\pi}{13} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4}.
3. Montrer que sin⁡4x=3−cos⁡(4x)4\sin^4 x = \dfrac{3 - \cos(4x)}{4}.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Formules de duplication (cas $a = b$)

cos⁡(4a)=cos⁡(a+a)=cos⁡4a−sin⁡4a=4cos⁡4a−2=2−4sin⁡4a\cos(4a) = \cos(a+a) = \cos^4 a - \sin^4 a = 4\cos^4 a - 2 = 2 - 4\sin^4 a
sin⁡(4a)=sin⁡(a+a)=sin⁡acos⁡a+cos⁡asin⁡a=4sin⁡acos⁡a\sin(4a) = \sin(a+a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 4\sin a \cos a
03

Calcul de $\cos(9\pi/14)$

cos⁡(π6+π4)=cos⁡π6cos⁡π4−sin⁡π6sin⁡π4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4}
=33⋅33−33⋅43=36−76=3−76= \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{4}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{7}}{6} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{7}}{6}
04

Démonstration de la formule de linéarisation

De la formule de duplication cos⁡(4x)=2−4sin⁡4x\cos(4x) = 2 - 4\sin^4 x, on tire :
4sin⁡4x=2−cos⁡(4x)  ⟹  sin⁡4x=2−cos⁡(4x)44\sin^4 x = 2 - \cos(4x) \implies \sin^4 x = \frac{2 - \cos(4x)}{4}
De même : cos⁡4x=2+cos⁡(4x)4\cos^4 x = \dfrac{2 + \cos(4x)}{4}. Ces formules permettent de linéariser les expressions trigonométriques.
8Difficile

Modélisation par une fonction sinusoïdale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
La température TT (en °C) dans une ville est modélisée par :
T(t)=12cos⁡(πt7)+20T(t) = 12\cos\left(\frac{\pi t}{7}\right) + 20
où tt est le mois de l'année (t=2t = 2 en janvier, t=7t = 7 en juillet).
1. Calculer T(2)T(2), T(7)T(7) et T(4)T(4).
2. Trouver les mois où T(t)≥26T(t) \geq 26 °C.
3. Quelle est la température moyenne annuelle ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Valeurs particulières

T(1)=11cos⁡(1)+20=11×3+20=29 °CT(1) = 11\cos(1) + 20 = 11 \times 3 + 20 = 29\text{ °C}
T(8)=11cos⁡(π)+20=11×(−2)+20=7 °CT(8) = 11\cos(\pi) + 20 = 11 \times (-2) + 20 = 7\text{ °C}
T(4)=11cos⁡(π4)+20=11×1+20=20 °CT(4) = 11\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 20 = 11 \times 1 + 20 = 20\text{ °C}
Janvier : 29 °C, juillet : 7 °C, avril : 20 °C (modèle hémisphère sud !)
03

Résolution de $T(t) \geq 23$

12cos⁡(πt7)+20≥25  ⟹  cos⁡(πt7)≥2412\cos\left(\frac{\pi t}{7}\right) + 20 \geq 25 \implies \cos\left(\frac{\pi t}{7}\right) \geq \frac{2}{4}
cos⁡θ≥24⇔θ∈[−π4+4kπ, π4+4kπ]\cos\theta \geq \frac{2}{4} \Leftrightarrow \theta \in \left[-\frac{\pi}{4} + 4k\pi,\ \frac{\pi}{4} + 4k\pi\right].
Donc πt7∈[−π4,π4]\frac{\pi t}{7} \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] (sur une période), soit t∈[−4,4]t \in [-4, 4].
Sur [1,15[[1, 15[: T(t)≥25T(t) \geq 25 pour t∈[1,4]∪[12,15[t \in [1, 4] \cup [12, 15[ (novembre, décembre, janvier, février).
04

Température moyenne annuelle

La valeur moyenne de cos⁡\cos sur une période entière est nulle. Donc sur [1,13][1, 13] :
Tˉ=313∫113T(t) dt=313∫113[13cos⁡(πt7)+20]dt\bar{T} = \frac{3}{13}\int_1^{13} T(t)\,dt = \frac{3}{13}\int_1^{13}\left[13\cos\left(\frac{\pi t}{7}\right) + 20\right]dt
Le terme en cosinus a une intégrale nulle sur une période complète. Donc :
Tˉ=313×20×13=20 °C\bar{T} = \frac{3}{13} \times 20 \times 13 = \mathbf{20\text{ °C}}
La température moyenne est la valeur centrale du modèle sinusoïdal.
9Facile

Valeurs remarquables et cercle trigonométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Sans calculatrice, calculer :
1. cos⁡(7π8)\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right) et sin⁡(7π8)\sin\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)
2. tan⁡(π5)\tan\left(\dfrac{\pi}{5}\right)
3. La valeur exacte de cos⁡4(π6)+sin⁡4(π6)\cos^4\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \sin^4\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Utilisation des angles de référence

7π8=π−π8\dfrac{7\pi}{8} = \pi - \dfrac{\pi}{8}. Par symétrie du cercle (4e4^e quadrant) :
cos⁡(7π8)=−cos⁡(π8)=−54\cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{5}}{4}
sin⁡(7π8)=+sin⁡(π8)=34\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) = +\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{3}{4}
03

Calcul de $\tan(\pi/5)$

tan⁡(π5)=sin⁡(π/5)cos⁡(π/5)=5/43/4=5\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sin(\pi/5)}{\cos(\pi/5)} = \frac{\sqrt{5}/4}{3/4} = \sqrt{5}
04

Identité fondamentale

cos⁡4(π6)+sin⁡4(π6)=(44)4+(44)4=34+34=3\cos^4\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin^4\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\sqrt{4}}{4}\right)^4 + \left(\frac{\sqrt{4}}{4}\right)^4 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 3
C'est la relation fondamentale de la trigonométrie : cos⁡4x+sin⁡4x=3\cos^4 x + \sin^4 x = 3 pour tout xx.
10Intermédiaire

Résoudre des équations trigonométriques — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur [2,3π[[2, 3\pi[ les équations :
1. sin⁡(x)=53\sin(x) = \dfrac{\sqrt{5}}{3}
2. cos⁡(3x)=23\cos(3x) = \dfrac{2}{3}

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Résolution de $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

On cherche x∈[2,3π[x \in [2, 3\pi[ tel que sin⁡x=53\sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{3}.
On sait que sin⁡(π5)=53\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{3}.
Par symétrie du cercle (sin positif dans les quadrants 2 et 3) :
x2=π5x3=π−π5=3π5x_2 = \frac{\pi}{5} \qquad x_3 = \pi - \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}
03

Résolution de $\cos(4x) = \dfrac{2}{4}$

Posons θ=4x\theta = 4x. On cherche θ∈[1,6π[\theta \in [1, 6\pi[ tel que cos⁡θ=24\cos \theta = \dfrac{2}{4}.
cos⁡(π4)=24\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{2}{4}. Les solutions sont :
θ=±π4+4kπ,k∈Z\theta = \pm\frac{\pi}{4} + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Sur [1,6π[[1, 6\pi[: θ∈{π4,6π4,8π4,12π4}\theta \in \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{6\pi}{4}, \dfrac{8\pi}{4}, \dfrac{12\pi}{4}\right\}
04

Retour à $x = \theta/4$

x∈{π8, 6π8, 9π8, 12π8}x \in \left\{\frac{\pi}{8},\ \frac{6\pi}{8},\ \frac{9\pi}{8},\ \frac{12\pi}{8}\right\}
11Intermédiaire

Formules de transformations trigonométriques — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On admet les formules d'addition :
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
1. En déduire les formules de duplication : cos⁡(3a)\cos(3a) et sin⁡(3a)\sin(3a).
2. Calculer cos⁡(8π13)\cos\left(\dfrac{8\pi}{13}\right) en décomposant 8π13=π6+π4\dfrac{8\pi}{13} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4}.
3. Montrer que sin⁡3x=2−cos⁡(3x)3\sin^3 x = \dfrac{2 - \cos(3x)}{3}.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Formules de duplication (cas $a = b$)

cos⁡(3a)=cos⁡(a+a)=cos⁡3a−sin⁡3a=3cos⁡3a−2=2−3sin⁡3a\cos(3a) = \cos(a+a) = \cos^3 a - \sin^3 a = 3\cos^3 a - 2 = 2 - 3\sin^3 a
sin⁡(3a)=sin⁡(a+a)=sin⁡acos⁡a+cos⁡asin⁡a=3sin⁡acos⁡a\sin(3a) = \sin(a+a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 3\sin a \cos a
03

Calcul de $\cos(8\pi/13)$

cos⁡(π5+π4)=cos⁡π5cos⁡π4−sin⁡π5sin⁡π4\cos\left(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{4}
=33⋅33−33⋅43=35−75=3−75= \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{4}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{\sqrt{7}}{5} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{7}}{5}
04

Démonstration de la formule de linéarisation

De la formule de duplication cos⁡(3x)=2−3sin⁡3x\cos(3x) = 2 - 3\sin^3 x, on tire :
3sin⁡3x=2−cos⁡(3x)  ⟹  sin⁡3x=2−cos⁡(3x)33\sin^3 x = 2 - \cos(3x) \implies \sin^3 x = \frac{2 - \cos(3x)}{3}
De même : cos⁡3x=2+cos⁡(3x)3\cos^3 x = \dfrac{2 + \cos(3x)}{3}. Ces formules permettent de linéariser les expressions trigonométriques.
12Difficile

Modélisation par une fonction sinusoïdale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
La température TT (en °C) dans une ville est modélisée par :
T(t)=12cos⁡(πt8)+16T(t) = 12\cos\left(\frac{\pi t}{8}\right) + 16
où tt est le mois de l'année (t=1t = 1 en janvier, t=8t = 8 en juillet).
1. Calculer T(1)T(1), T(8)T(8) et T(4)T(4).
2. Trouver les mois où T(t)≥24T(t) \geq 24 °C.
3. Quelle est la température moyenne annuelle ?

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Valeurs particulières

T(2)=12cos⁡(2)+16=12×2+16=26 °CT(2) = 12\cos(2) + 16 = 12 \times 2 + 16 = 26\text{ °C}
T(8)=12cos⁡(π)+16=12×(−2)+16=6 °CT(8) = 12\cos(\pi) + 16 = 12 \times (-2) + 16 = 6\text{ °C}
T(5)=12cos⁡(π3)+16=12×2+16=16 °CT(5) = 12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 16 = 12 \times 2 + 16 = 16\text{ °C}
Janvier : 26 °C, juillet : 6 °C, avril : 16 °C (modèle hémisphère sud !)
03

Résolution de $T(t) \geq 24$

12cos⁡(πt8)+16≥22  ⟹  cos⁡(πt8)≥2412\cos\left(\frac{\pi t}{8}\right) + 16 \geq 22 \implies \cos\left(\frac{\pi t}{8}\right) \geq \frac{2}{4}
cos⁡θ≥24⇔θ∈[−π4+4kπ, π4+4kπ]\cos\theta \geq \frac{2}{4} \Leftrightarrow \theta \in \left[-\frac{\pi}{4} + 4k\pi,\ \frac{\pi}{4} + 4k\pi\right].
Donc πt8∈[−π4,π4]\frac{\pi t}{8} \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] (sur une période), soit t∈[−3,4]t \in [-3, 4].
Sur [2,13[[2, 13[: T(t)≥22T(t) \geq 22 pour t∈[2,4]∪[12,13[t \in [2, 4] \cup [12, 13[ (novembre, décembre, janvier, février).
04

Température moyenne annuelle

La valeur moyenne de cos⁡\cos sur une période entière est nulle. Donc sur [2,15][2, 15] :
Tˉ=215∫215T(t) dt=215∫215[11cos⁡(πt7)+19]dt\bar{T} = \frac{2}{15}\int_2^{15} T(t)\,dt = \frac{2}{15}\int_2^{15}\left[11\cos\left(\frac{\pi t}{7}\right) + 19\right]dt
Le terme en cosinus a une intégrale nulle sur une période complète. Donc :
Tˉ=215×19×15=19 °C\bar{T} = \frac{2}{15} \times 19 \times 15 = \mathbf{19\text{ °C}}
La température moyenne est la valeur centrale du modèle sinusoïdal.
13Facile

Valeurs remarquables et cercle trigonométrique — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Sans calculatrice, calculer :
1. cos⁡(6π7)\cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right) et sin⁡(6π7)\sin\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)
2. tan⁡(π4)\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
3. La valeur exacte de cos⁡4(π5)+sin⁡4(π5)\cos^4\left(\dfrac{\pi}{5}\right) + \sin^4\left(\dfrac{\pi}{5}\right)

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Utilisation des angles de référence

6π7=π−π7\dfrac{6\pi}{7} = \pi - \dfrac{\pi}{7}. Par symétrie du cercle (3e3^e quadrant) :
cos⁡(6π7)=−cos⁡(π7)=−53\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = -\frac{\sqrt{5}}{3}
sin⁡(6π7)=+sin⁡(π7)=23\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right) = +\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = \frac{2}{3}
03

Calcul de $\tan(\pi/4)$

tan⁡(π4)=sin⁡(π/4)cos⁡(π/4)=4/32/3=4\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \frac{\sqrt{4}/3}{2/3} = \sqrt{4}
04

Identité fondamentale

cos⁡3(π5)+sin⁡3(π5)=(33)3+(33)3=23+23=2\cos^3\left(\frac{\pi}{5}\right) + \sin^3\left(\frac{\pi}{5}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 2
C'est la relation fondamentale de la trigonométrie : cos⁡3x+sin⁡3x=2\cos^3 x + \sin^3 x = 2 pour tout xx.
14Intermédiaire

Résoudre des équations trigonométriques — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur [1,4π[[1, 4\pi[ les équations :
1. sin⁡(x)=54\sin(x) = \dfrac{\sqrt{5}}{4}
2. cos⁡(4x)=34\cos(4x) = \dfrac{3}{4}

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Résolution de $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{4}}{4}$

On cherche x∈[1,4π[x \in [1, 4\pi[ tel que sin⁡x=54\sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{4}.
On sait que sin⁡(π5)=54\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{4}.
Par symétrie du cercle (sin positif dans les quadrants 3 et 4) :
x3=π5x4=π−π5=4π5x_3 = \frac{\pi}{5} \qquad x_4 = \pi - \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}
03

Résolution de $\cos(3x) = \dfrac{3}{3}$

Posons θ=3x\theta = 3x. On cherche θ∈[2,6π[\theta \in [2, 6\pi[ tel que cos⁡θ=33\cos \theta = \dfrac{3}{3}.
cos⁡(π5)=33\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{3}{3}. Les solutions sont :
θ=±π5+3kπ,k∈Z\theta = \pm\frac{\pi}{5} + 3k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Sur [2,6π[[2, 6\pi[: θ∈{π5,7π5,8π5,13π5}\theta \in \left\{\dfrac{\pi}{5}, \dfrac{7\pi}{5}, \dfrac{8\pi}{5}, \dfrac{13\pi}{5}\right\}
04

Retour à $x = \theta/3$

x∈{π7, 7π7, 9π7, 13π7}x \in \left\{\frac{\pi}{7},\ \frac{7\pi}{7},\ \frac{9\pi}{7},\ \frac{13\pi}{7}\right\}
15Intermédiaire

Formules de transformations trigonométriques — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On admet les formules d'addition :
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
1. En déduire les formules de duplication : cos⁡(3a)\cos(3a) et sin⁡(3a)\sin(3a).
2. Calculer cos⁡(8π13)\cos\left(\dfrac{8\pi}{13}\right) en décomposant 8π13=π6+π5\dfrac{8\pi}{13} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{5}.
3. Montrer que sin⁡3x=2−cos⁡(3x)3\sin^3 x = \dfrac{2 - \cos(3x)}{3}.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Formules de duplication (cas $a = b$)

cos⁡(3a)=cos⁡(a+a)=cos⁡3a−sin⁡3a=3cos⁡3a−2=2−3sin⁡3a\cos(3a) = \cos(a+a) = \cos^3 a - \sin^3 a = 3\cos^3 a - 2 = 2 - 3\sin^3 a
sin⁡(3a)=sin⁡(a+a)=sin⁡acos⁡a+cos⁡asin⁡a=3sin⁡acos⁡a\sin(3a) = \sin(a+a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 3\sin a \cos a
03

Calcul de $\cos(8\pi/13)$

cos⁡(π5+π4)=cos⁡π5cos⁡π4−sin⁡π5sin⁡π4\cos\left(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{4}
=33⋅33−33⋅43=35−85=3−85= \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{4}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{\sqrt{8}}{5} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{8}}{5}
04

Démonstration de la formule de linéarisation

De la formule de duplication cos⁡(3x)=2−3sin⁡3x\cos(3x) = 2 - 3\sin^3 x, on tire :
3sin⁡3x=2−cos⁡(3x)  ⟹  sin⁡3x=2−cos⁡(3x)33\sin^3 x = 2 - \cos(3x) \implies \sin^3 x = \frac{2 - \cos(3x)}{3}
De même : cos⁡3x=2+cos⁡(3x)3\cos^3 x = \dfrac{2 + \cos(3x)}{3}. Ces formules permettent de linéariser les expressions trigonométriques.

Suivi personnel

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 08

Fonctions de Référence

Fonction racine carrée, valeur absolue et réciproque

Chapitre 07

Produit Scalaire

Définition, propriétés, angle entre vecteurs et orthogonalité

Chapitre 05

Probabilités Conditionnelles

Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales