MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 10 · Première

Composition et Fonctions Avancées

Fonctions composées, bijections et réciproques

1Intermédiaire

Composition de fonctions

Énoncé

Soient f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 et g(x)=x2−3g(x) = x^2 - 3.
1. Calculer (g∘f)(x)(g \circ f)(x) et (f∘g)(x)(f \circ g)(x).
2. Montrer que g∘f≠f∘gg \circ f \neq f \circ g.

Correction détaillée

01

Calcul de $(g \circ f)(x)$

(g∘f)(x)=g(f(x))=g(2x+1)(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1). On substitue 2x+12x+1 dans gg :
(g∘f)(x)=(2x+1)2−3=4x2+4x+1−3=4x2+4x−2(g \circ f)(x) = (2x+1)^2 - 3 = 4x^2 + 4x + 1 - 3 = \mathbf{4x^2 + 4x - 2}
02

Calcul de $(f \circ g)(x)$

(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2−3)(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 3). On substitue x2−3x^2 - 3 dans ff :
(f∘g)(x)=2(x2−3)+1=2x2−6+1=2x2−5(f \circ g)(x) = 2(x^2 - 3) + 1 = 2x^2 - 6 + 1 = \mathbf{2x^2 - 5}
03

Comparaison

g∘f=4x2+4x−2g \circ f = 4x^2 + 4x - 2 et f∘g=2x2−5f \circ g = 2x^2 - 5. Ces expressions sont différentes (par exemple en x=0x = 0 : g∘fg \circ f vaut −2-2 et f∘gf \circ g vaut −5-5).
La composition n'est pas commutative : g∘f≠f∘gg \circ f \neq f \circ g.
2Difficile

Bijection et fonction réciproque

Énoncé

Soit f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 définie sur R\mathbb{R}.
1. Montrer que ff est une bijection de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}.
2. Déterminer la fonction réciproque f−1f^{-1}.
3. Vérifier que f−1∘f=Idf^{-1} \circ f = \text{Id}.

Correction détaillée

01

Bijectivité de $f$

f′(x)=3>0f'(x) = 3 > 0 pour tout xx, donc ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}, donc injective. De plus lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty et lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty, donc ff est surjective sur R\mathbb{R}. ff est bijective.
02

Calcul de $f^{-1}$

On résout y=3x−5y = 3x - 5 en xx :
y+5=3x  ⟹  x=y+53y + 5 = 3x \implies x = \frac{y+5}{3}
Donc f−1(x)=x+53f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}.
03

Vérification

(f−1∘f)(x)=f−1(f(x))=f−1(3x−5)=(3x−5)+53=3x3=x(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x-5) = \frac{(3x-5)+5}{3} = \frac{3x}{3} = x
On retrouve bien la fonction identité. ✓
3Intermédiaire

Composition et domaines de définition

Énoncé

Soient f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1} et g(x)=x2+2xg(x) = x^2 + 2x.
1. Déterminer les domaines de définition DfD_f et DgD_g.
2. Calculer (f∘g)(x)(f \circ g)(x) et déterminer son domaine de définition Df∘gD_{f \circ g}.
3. Calculer (g∘f)(x)(g \circ f)(x) et simplifier.

Correction détaillée

01

Domaines de définition

DfD_f : x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1, donc Df=[1,+∞[D_f = [1, +\infty[.
DgD_g : gg est un polynôme, donc Dg=RD_g = \mathbb{R}.
02

Calcul de $(f \circ g)(x)$

(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2+2x)=x2+2x−1(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 2x) = \sqrt{x^2 + 2x - 1}.
Le domaine exige x2+2x−1≥0x^2 + 2x - 1 \geq 0. Racines : x=−2±82=−1±2x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.
Df∘g=]−∞, −1−2]∪[−1+2, +∞[D_{f \circ g} = ]-\infty,\ -1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2},\ +\infty[
03

Calcul de $(g \circ f)(x)$

(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x−1)=(x−1)2+2x−1=(x−1)+2x−1(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x-1}) = (\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1}.
Définie sur Df=[1,+∞[D_f = [1, +\infty[.
Si on pose t=x−1≥0t = \sqrt{x-1} \geq 0 :
(g∘f)(x)=t2+2t=t(t+2)≥0(g \circ f)(x) = t^2 + 2t = t(t+2) \geq 0
Donc (g∘f)(x)≥0(g \circ f)(x) \geq 0 pour tout x≥1x \geq 1.
4Intermédiaire

Fonctions paires, impaires et symétries

Énoncé

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer si elle est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre :
1. f(x)=x4−3x2+1f(x) = x^4 - 3x^2 + 1
2. g(x)=x3−xg(x) = x^3 - x
3. h(x)=x2+2x−1h(x) = x^2 + 2x - 1
En déduire une propriété géométrique de la courbe représentative de chaque fonction.

Correction détaillée

01

Test de parité de $f$

f(−x)=(−x)4−3(−x)2+1=x4−3x2+1=f(x)f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x).
ff est paire (tous les exposants sont pairs).
Conséquence géométrique : la courbe de ff est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (OyOy).
02

Test d'imparité de $g$

g(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−g(x)g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x).
gg est impaire (tous les exposants sont impairs).
Conséquence géométrique : la courbe de gg est symétrique par rapport à l'origine O(0,0)O(0,0).
03

Test pour $h$

h(−x)=(−x)2+2(−x)−1=x2−2x−1h(-x) = (-x)^2 + 2(-x) - 1 = x^2 - 2x - 1.
h(−x)≠h(x)h(-x) \neq h(x) (car −2x≠2x-2x \neq 2x) et h(−x)≠−h(x)h(-x) \neq -h(x) (car −h(x)=−x2−2x+1≠x2−2x−1-h(x) = -x^2 - 2x + 1 \neq x^2 - 2x - 1).
hh n'est ni paire ni impaire. La courbe de hh n'a pas de symétrie par rapport à OyOy ni à OO, mais elle admet un axe de symétrie en x=−1x = -1 (sommet de la parabole).