MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 04 · Première

Cours

Second Degré

Trinôme, discriminant, factorisations et parabole

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Le trinôme du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c (avec a≠0a \neq 0) est omniprésent en mathématiques et en physique. Sa courbe représentative est une parabole. En Première, on apprend à résoudre ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 grâce au discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac, à factoriser le trinôme et à étudier le signe de l'expression en fonction de Δ\Delta.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de second degré.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Forme canonique et sommet de la parabole

Tout trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c peut s'écrire sous forme canonique :
f(x)=a(x+b2a)2−b2−4ac4a=a(x−α)2+βf(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a(x - \alpha)^2 + \beta
Où α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} est l'abscisse du sommet de la parabole, et β=f(α)=−Δ4a\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a} est l'ordonnée du sommet.

L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale x=αx = \alpha. Le sommet S(α,β)S(\alpha, \beta) est le minimum de la parabole si a>0a > 0, et le maximum si a<0a < 0.

Définition

Forme canonique

La forme canonique d'un trinôme est a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta, obtenue par complétion du carré. Elle permet de lire immédiatement les coordonnées du sommet de la parabole.

Définition

Sommet de la parabole

Le sommet de la parabole Cf\mathcal{C}_f a pour coordonnées (−b2a, f ⁣(−b2a))\left(-\dfrac{b}{2a},\ f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right). C'est le point extrême (minimum si a>0a>0, maximum si a<0a<0).
Exemple 1— Forme canonique et sommet
Mettre f(x)=2x2−8x+5f(x) = 2x^2 - 8x + 5 sous forme canonique et donner le sommet de la parabole.

Solution

α=−b2a=−−84=2\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{4} = 2.

f(2)=2×4−16+5=−3f(2) = 2 \times 4 - 16 + 5 = -3, donc β=−3\beta = -3.

Forme canonique : f(x)=2(x−2)2−3f(x) = 2(x - 2)^2 - 3.

Sommet : S(2, −3)S(2,\ -3). Comme a=2>0a = 2 > 0, c'est un minimum.
  • Abscisse du sommet : α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}.
  • Forme canonique : a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta avec β=f(α)\beta = f(\alpha).
  • a>0a > 0 → parabole ouverte vers le haut (minimum) ; a<0a < 0 → vers le bas (maximum).

2Discriminant et résolution de $ax^2 + bx + c = 0$

Le discriminant est Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.

- Si Δ>0\Delta > 0 : deux racines réelles distinctes x1=−b−Δ2ax_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
- Si Δ=0\Delta = 0 : une racine double x0=−b2a=αx_0 = -\dfrac{b}{2a} = \alpha.
- Si Δ<0\Delta < 0 : pas de racine réelle (pas d'intersection avec l'axe des abscisses).

Factorisation : si Δ≥0\Delta \geq 0, on peut écrire ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).

Définition

Discriminant

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Il détermine le nombre de racines réelles du trinôme. Son signe est lié à la position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses.

Définition

Relations de Viète

Si x1x_1 et x2x_2 sont les racines du trinôme ax2+bx+cax^2 + bx + c, alors x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} et x1×x2=cax_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}. Utile pour vérifier les racines.
Exemple 1— Résolution par le discriminant
Résoudre 3x2−7x+2=03x^2 - 7x + 2 = 0.

Solution

a=3a = 3, b=−7b = -7, c=2c = 2.
Δ=49−24=25>0\Delta = 49 - 24 = 25 > 0, Δ=5\sqrt{\Delta} = 5.
x1=7−56=26=13,x2=7+56=126=2x_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2
Factorisation : 3x2−7x+2=3(x−13)(x−2)3x^2 - 7x + 2 = 3\left(x - \dfrac{1}{3}\right)(x - 2).
  • Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac ; selon le signe : 2 racines, 1 racine double ou 0 racine réelle.
  • Formule des racines : x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
  • Relations de Viète : x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} et x1x2=cax_1 x_2 = \frac{c}{a}.

3Signe du trinôme

Le signe de ax2+bx+cax^2 + bx + c suit une règle simple selon Δ\Delta :

| Cas | Signe |
|---|---|
| Δ>0\Delta > 0 | Signe de aa à l'extérieur des racines, signe de −a-a entre les racines |
| Δ=0\Delta = 0 | Signe de aa sauf en x0x_0 où f(x0)=0f(x_0) = 0 |
| Δ<0\Delta < 0 | Signe de aa partout |

Résumé mnémotechnique : « le trinôme est du signe de aa, sauf entre ses racines ».
Exemple 1— Résoudre une inéquation du second degré
Résoudre x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \leq 0.

Solution

Δ=1+24=25\Delta = 1 + 24 = 25, Δ=5\sqrt{\Delta} = 5.
x1=1−52=−2x_1 = \dfrac{1-5}{2} = -2, x2=1+52=3x_2 = \dfrac{1+5}{2} = 3.

Comme a=1>0a = 1 > 0, le trinôme est négatif entre ses racines.

Solution : −2≤x≤3\mathbf{-2 \leq x \leq 3}.
  • Le trinôme est du signe de aa en dehors des racines (si Δ>0\Delta > 0).
  • Le trinôme est du signe de aa partout si Δ<0\Delta < 0.
  • Pour une inéquation : tableau de signes avec les racines.

★ À retenir

  • 1
    Forme canonique : a(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \beta avec α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}.
  • 2
    Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac : Δ>0\Delta > 0 → 2 racines ; Δ=0\Delta = 0 → 1 racine double ; Δ<0\Delta < 0 → 0 racine réelle.
  • 3
    Racines : x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
  • 4
    Signe du trinôme : signe de aa sauf entre les racines.
  • 5
    Relations de Viète : x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x1x2=cax_1 x_2 = \frac{c}{a}.

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Applications de la Dérivée

Étude de variations, extrema et optimisation

Chapitre 05

Probabilités Conditionnelles

Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales

Chapitre 02

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Règles de dérivation, tangente et étude locale