MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 03 · Première

Cours

Applications de la Dérivée

Variations, extrema et optimisation

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La dérivée est le principal outil pour étudier les variations d'une fonction : le signe de f′f' indique si ff est croissante ou décroissante. Aux points où f′=0f' = 0, la fonction peut atteindre un extremum (maximum ou minimum local). Ces techniques permettent de résoudre de nombreux problèmes d'optimisation en physique, économie ou géométrie.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
  • Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Points de vigilance

  • Confondre image et antécédent.
  • Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

1Lien entre dérivée et variations

Théorème fondamental : soit ff dérivable sur un intervalle II.
- Si f′(x)>0f'(x) > 0 pour tout x∈Ix \in I, alors ff est strictement croissante sur II.
- Si f′(x)<0f'(x) < 0 pour tout x∈Ix \in I, alors ff est strictement décroissante sur II.
- Si f′(x)=0f'(x) = 0 pour tout x∈Ix \in I, alors ff est constante sur II.

Extremum local : si f′f' s'annule en aa et change de signe, alors ff admet un extremum en aa.
- f′:−→0→+f' : - \to 0 \to + : minimum local en aa.
- f′:+→0→−f' : + \to 0 \to - : maximum local en aa.

Définition

Tableau de variations

Le tableau de variations résume, sur chaque sous-intervalle, le signe de f′f' et la monotonie de ff (flèches ↗\nearrow ou ↘\searrow). Aux annulations de f′f', on inscrit les valeurs de ff.

Définition

Extremum local

Un extremum local est un maximum local (f(a)≥f(x)f(a) \geq f(x) au voisinage de aa) ou un minimum local (f(a)≤f(x)f(a) \leq f(x) au voisinage de aa). Il existe si f′(a)=0f'(a) = 0 et si f′f' change de signe en aa.

Définition

Extremum global

Un extremum global (sur un segment [a,b][a, b]) est la plus grande (ou plus petite) valeur prise par ff sur tout [a,b][a, b]. On le trouve en comparant les valeurs de ff en ses extrema locaux et aux bornes aa et bb.
Exemple 1— Tableau de variations complet
Étudier les variations de f(x)=x3−3x+2f(x) = x^3 - 3x + 2 sur R\mathbb{R}.

Solution

f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1).

f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 ou x=1x = 1.

- Pour x<−1x < -1 : f′(x)>0f'(x) > 0 → ff croissante.
- Pour −1<x<1-1 < x < 1 : f′(x)<0f'(x) < 0 → ff décroissante.
- Pour x>1x > 1 : f′(x)>0f'(x) > 0 → ff croissante.

f(−1)=−1+3+2=4f(-1) = -1+3+2 = 4 (maximum local), f(1)=1−3+2=0f(1) = 1-3+2 = 0 (minimum local).
  • f′>0⇒ff' > 0 \Rightarrow f croissante ; f′<0⇒ff' < 0 \Rightarrow f décroissante.
  • Extremum local ↔ f′f' s'annule et change de signe.
  • Sur [a,b][a,b], comparer f(a)f(a), f(b)f(b) et les extrema locaux pour trouver le maximum/minimum global.

2Problèmes d'optimisation

Pour résoudre un problème d'optimisation :
1. Modéliser la quantité à optimiser sous la forme d'une fonction f(x)f(x), avec x∈Ix \in I.
2. Dériver ff et résoudre f′(x)=0f'(x) = 0 sur II.
3. Dresser le tableau de variations pour identifier le maximum ou le minimum.
4. Conclure en répondant à la question posée.
Exemple 1— Optimisation géométrique
On découpe dans un carré de côté 10 cm des carrés aux quatre coins de côté xx pour former une boîte sans couvercle. Trouver xx qui maximise le volume.

Solution

Le volume de la boîte est V(x)=x(10−2x)2V(x) = x(10 - 2x)^2 pour x∈]0,5[x \in ]0, 5[.

V(x)=x(100−40x+4x2)=4x3−40x2+100xV(x) = x(100 - 40x + 4x^2) = 4x^3 - 40x^2 + 100x

V′(x)=12x2−80x+100=4(3x2−20x+25)=4(3x−5)(x−5)V'(x) = 12x^2 - 80x + 100 = 4(3x^2 - 20x + 25) = 4(3x - 5)(x - 5)

V′(x)=0V'(x) = 0 sur ]0,5[]0, 5[ : x=53x = \dfrac{5}{3} (car x=5x = 5 est hors de l'intervalle ouvert).

V′V' : +→0→−+ \to 0 \to - → maximum en x=53x = \dfrac{5}{3}.

V(53)=53×(203)2=53×4009=200027≈74,1 cm3V\left(\dfrac{5}{3}\right) = \dfrac{5}{3} \times \left(\dfrac{20}{3}\right)^2 = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{400}{9} = \dfrac{2000}{27} \approx 74{,}1 \text{ cm}^3.

⚠ Attention

Vérifier que les valeurs de xx trouvées ont un sens dans le contexte du problème (longueur positive, probabilité entre 0 et 1, etc.).
  • Modéliser, dériver, annuler, dresser le tableau de variations.
  • Ne pas oublier de vérifier l'appartenance à l'intervalle physique du problème.
  • Comparer aussi aux valeurs aux bornes si l'intervalle est fermé.

★ À retenir

  • 1
    Signe de f′f' → sens de variation de ff.
  • 2
    f′(a)=0f'(a) = 0 et changement de signe → extremum local en aa.
  • 3
    Pour optimiser : modéliser, dériver, tableau de variations, conclure.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Dérivation

Règles de dérivation, tangente et étude locale

Chapitre 04

Polynômes du Second Degré

Forme canonique, discriminant, signe et factorisation

Chapitre 01

Suites Numériques

Suites arithmétiques, géométriques et leurs sommes