Chapitre 02 · Première

Cours

Dérivation

Règles de dérivation, tangente et étude locale

La dérivée d'une fonction mesure son taux de variation instantané : c'est la « vitesse » à laquelle la fonction change en un point. Géométriquement, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ . En Première, on apprend les règles opératoires (somme, produit, quotient, composée) qui permettent de dériver efficacement n'importe quelle fonction usuelle.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de dérivation.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé de

f

a

est la limite du taux de variation lorsque l'incrément tend vers

0

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Si cette limite existe,

f

est dérivable en

a

.

L'équation de la tangente à la courbe

\mathcal{C}_f

au point d'abscisse

a

est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Définition

Taux de variation

Le taux de variation de

f

entre

a

a+h

est

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

. C'est la pente de la droite sécante passant par les points de la courbe d'abscisses

a

a+h

Définition

Nombre dérivé

Le nombre dérivé

f'(a)

est la limite du taux de variation quand

h \to 0

. Il représente la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse

a

Définition

Fonction dérivée

La fonction dérivée

f'

(ou

\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

) associe à chaque

x

le nombre dérivé

f'(x)

, lorsqu'il existe.

Exemple 1— Calcul du nombre dérivé par la définition

Calculer

f'(2)

pour

f(x) = x^2 + 3x

Solution

f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}

f(2+h) = (2+h)^2 + 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 + 6 + 3h = 10 + 7h + h^2

f(2) = 4 + 6 = 10

f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{10 + 7h + h^2 - 10}{h} = \lim_{h \to 0} (7 + h) = \mathbf{7}

Exemple 2— Équation de la tangente

Donner l'équation de la tangente à

f(x) = x^3 - 2x

au point d'abscisse

1

Solution

f(1) = 1 - 2 = -1

f'(x) = 3x^2 - 2

donc

f'(1) = 3 - 2 = 1

.

Tangente en

x = 1

y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 1 \cdot (x - 1) + (-1) = \mathbf{x - 2}

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Si $f'(a) > 0$ , la fonction est localement croissante en $a$ .

2Règles de dérivation

On ne recalcule jamais les dérivées par la définition en pratique — on utilise des règles opératoires.

| Fonction | Dérivée |
|---|---|
|

k

(constante) |

0

|
|

x^n

(

n \in \mathbb{Z}

) |

nx^{n-1}

|
|

\sqrt{x}

\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

|
|

e^x

e^x

|
|

\ln x

\dfrac{1}{x}

|
|

\sin x

\cos x

|
|

\cos x

-\sin x

|

Somme :

(u + v)' = u' + v'

.

Produit :

(uv)' = u'v + uv'

.

Quotient :

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

(avec

v \neq 0

).

Composée :

(u \circ v)' = v' \cdot (u' \circ v)

, par exemple

(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'

Définition

Règle du produit

f = uv

, alors

f' = u'v + uv'

. Attention :

(uv)' \neq u'v'

. On pense à « dériver le premier, garder le second, puis garder le premier, dériver le second ».

Définition

Règle du quotient

f = \dfrac{u}{v}

avec

v \neq 0

, alors

f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

. Le dénominateur est toujours

v^2

, et le signe est moins au numérateur.

Définition

Règle de la chaîne (composée)

f = g \circ h

(i.e.

f(x) = g(h(x))

), alors

f'(x) = h'(x) \cdot g'(h(x))

. Cas important :

(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'

(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Exemple 1— Règle du produit

Dériver

f(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)

Solution

On pose

u = 2x - 1

v = x^2 + 3

, donc

u' = 2

v' = 2x

f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 + 3) + (2x-1)(2x)

= 2x^2 + 6 + 4x^2 - 2x = \mathbf{6x^2 - 2x + 6}

Exemple 2— Règle du quotient

Dériver

g(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}

(sur

x \neq 2

Solution

u = 3x+1

v = x-2

u' = 3

v' = 1

g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(x-2) - (3x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{3x - 6 - 3x - 1}{(x-2)^2} = \mathbf{\frac{-7}{(x-2)^2}}

Exemple 3— Règle de la composée

Dériver

h(x) = \sqrt{2x^2 - 5}

Solution

On applique

(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

avec

u = 2x^2 - 5

u' = 4x

h'(x) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 - 5}} = \mathbf{\frac{2x}{\sqrt{2x^2 - 5}}}

(définie pour

x^2 > \dfrac{5}{2}

, i.e.

x > \sqrt{\dfrac{5}{2}}

x < -\sqrt{\dfrac{5}{2}}

Mémoriser les dérivées des fonctions usuelles : $x^n$ , $\sqrt{x}$ , $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ .
Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ .
Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Composée : $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ et $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ .

★ À retenir

1
Nombre dérivé : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
2
Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
3
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(e^x)' = e^x$ .
4
Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ . Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
5
Composée : $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ .

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Chapitre 01

Dérivation

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1Nombre dérivé et tangente

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★ À retenir

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