MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Première

Cours

Suites Numériques

Suites arithmétiques, géométriques et leurs sommes

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Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, indexée par les entiers naturels. En Première, on étudie deux familles fondamentales : les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même quantité) et les suites géométriques (on multiplie toujours par le même facteur). Maîtriser leurs formules de terme général et de somme est indispensable pour modéliser des situations de croissance, d'emprunt ou de remboursement.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de suites numériques.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Définitions et modes de définition

Une suite (un)n≥0(u_n)_{n \geq 0} (ou n≥1n \geq 1) peut être définie de deux manières :

Terme général explicite : on donne directement unu_n en fonction de nn. Exemple : un=3n+2u_n = 3n + 2.

Relation de récurrence : on donne u0u_0 (ou u1u_1) et une formule reliant un+1u_{n+1} à unu_n. Exemple : u0=1u_0 = 1 et un+1=2un+1u_{n+1} = 2u_n + 1.

La variation d'une suite est donnée par le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n (suite arithmétique) ou par le quotient un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} (suite géométrique).

Définition

Suite arithmétique

Une suite (un)(u_n) est arithmétique de raison rr si pour tout entier nn : un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r. Le terme général est un=u0+nru_n = u_0 + nr (ou un=up+(n−p)ru_n = u_p + (n-p)r). Si r>0r > 0 la suite est croissante, si r<0r < 0 elle est décroissante, si r=0r = 0 elle est constante.

Définition

Suite géométrique

Une suite (un)(u_n) est géométrique de raison q≠0q \neq 0 si pour tout entier nn : un+1=q⋅unu_{n+1} = q \cdot u_n. Le terme général est un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n (ou un=up⋅qn−pu_n = u_p \cdot q^{n-p}). Si q>1q > 1 et u0>0u_0 > 0, la suite est croissante.

Définition

Suite définie par récurrence

Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne le premier terme u0u_0 et une relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n). Pour calculer les termes, on applique ff successivement : u1=f(u0)u_1 = f(u_0), u2=f(u1)u_2 = f(u_1), etc.
Exemple 1— Identifier et caractériser une suite arithmétique
La suite (un)(u_n) vérifie u0=5u_0 = 5 et un+1=un−3u_{n+1} = u_n - 3. Donner le terme général, puis calculer u10u_{10}.

Solution

La suite est arithmétique car on ajoute une constante r=−3r = -3 à chaque étape.

Terme général : un=u0+nr=5+n×(−3)=5−3nu_n = u_0 + nr = 5 + n \times (-3) = 5 - 3n.

Application : u10=5−3×10=5−30=−25u_{10} = 5 - 3 \times 10 = 5 - 30 = \mathbf{-25}.
Exemple 2— Identifier et caractériser une suite géométrique
La suite (vn)(v_n) vérifie v1=4v_1 = 4 et vn+1=32 vnv_{n+1} = \dfrac{3}{2}\,v_n. Donner le terme général, puis calculer v5v_5.

Solution

La suite est géométrique car on multiplie par q=32q = \dfrac{3}{2} à chaque étape.

Terme général (à partir de n=1n = 1) : vn=v1⋅qn−1=4⋅(32)n−1v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}.

Application : v5=4⋅(32)4=4⋅8116=32416=814v_5 = 4 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = 4 \cdot \dfrac{81}{16} = \dfrac{324}{16} = \mathbf{\dfrac{81}{4}}.
  • Suite arithmétique : un+1−un=ru_{n+1} - u_n = r constant ; terme général un=u0+nru_n = u_0 + nr.
  • Suite géométrique : un+1un=q\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q constant ; terme général un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n.
  • Pour déterminer le type, calculer les différences ou quotients de termes consécutifs.

2Sommes des termes

Calculer la somme des nn premiers termes est une compétence essentielle, notamment pour les problèmes financiers.

Suite arithmétique : la somme de n+1n+1 termes consécutifs (de u0u_0 à unu_n) est :
S=(n+1)⋅u0+un2=(nombre de termes)×premier+dernier2S = (n+1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2} = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}

Suite géométrique : si q≠1q \neq 1, la somme de n+1n+1 termes (de u0u_0 à unu_n) est :
S=u0⋅1−qn+11−qS = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Mémo utile : 1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

Définition

Somme d'une suite arithmétique

La somme de n+1n+1 termes d'une suite arithmétique (de u0u_0 à unu_n) vaut (n+1)⋅u0+un2(n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}. On multiplie le nombre de termes par la demi-somme du premier et du dernier terme.

Définition

Somme d'une suite géométrique

La somme de n+1n+1 termes d'une suite géométrique de raison q≠1q \neq 1 (de u0u_0 à unu_n) vaut u0⋅1−qn+11−qu_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. Si q=1q = 1, tous les termes sont égaux et S=(n+1)⋅u0S = (n+1) \cdot u_0.
Exemple 1— Somme d'une suite arithmétique
Calculer S=3+7+11+⋯+99S = 3 + 7 + 11 + \cdots + 99.

Solution

La suite est arithmétique avec u0=3u_0 = 3, r=4r = 4. On cherche nn tel que un=99u_n = 99 :
99=3+4n  ⟹  n=2499 = 3 + 4n \implies n = 24
Il y a 2525 termes (de n=0n = 0 à n=24n = 24).
S=25×3+992=25×51=1275S = 25 \times \frac{3 + 99}{2} = 25 \times 51 = \mathbf{1275}
Exemple 2— Somme d'une suite géométrique
Calculer S=1+2+4+⋯+210S = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10}.

Solution

Suite géométrique avec u0=1u_0 = 1, q=2q = 2, n=10n = 10 (11 termes).
S=1⋅1−2111−2=1−2048−1=2047S = 1 \cdot \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \frac{1 - 2048}{-1} = \mathbf{2047}
  • Somme arithmétique : (nb de termes) ×\times (premier + dernier) / 2.
  • Somme géométrique : u0⋅1−qn+11−qu_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} pour q≠1q \neq 1.
  • Compter le nombre de termes avec soin : de u0u_0 à unu_n, il y a n+1n+1 termes.

3Limite et comportement asymptotique

On dit qu'une suite (un)(u_n) converge vers ℓ\ell si unu_n se rapproche de ℓ\ell quand n→+∞n \to +\infty. On note lim⁡n→+∞un=ℓ\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell.

Une suite diverge si elle n'admet pas de limite finie (elle peut tendre vers +∞+\infty ou −∞-\infty, ou osciller).

Suite géométrique : si ∣q∣<1|q| < 1, alors qn→0q^n \to 0 et un→0u_n \to 0. Si ∣q∣>1|q| > 1, la suite diverge. Si q=1q = 1, la suite est constante. Si q=−1q = -1, elle oscille.

Suite arithmétique : si r≠0r \neq 0, la suite diverge (vers ±∞\pm\infty).
Exemple 1— Limite d'une suite géométrique
Soit un=5⋅(23)nu_n = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n. Déterminer la limite de (un)(u_n).

Solution

La suite est géométrique de raison q=23q = \dfrac{2}{3}.

Puisque ∣q∣=23<1|q| = \dfrac{2}{3} < 1, on a (23)n→n→+∞0\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.

Donc lim⁡n→+∞un=5×0=0\lim_{n \to +\infty} u_n = 5 \times 0 = \mathbf{0}. La suite converge vers 00.
  • Si ∣q∣<1|q| < 1, la suite géométrique converge vers 00.
  • Si ∣q∣>1|q| > 1, la suite géométrique diverge.
  • Toute suite arithmétique de raison r≠0r \neq 0 diverge.

★ À retenir

  • 1
    Suite arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n = u_0 + nr.
  • 2
    Suite géométrique de raison qq : un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n.
  • 3
    Somme arithmétique : (n+1)⋅u0+un2(n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}.
  • 4
    Somme géométrique : u0⋅1−qn+11−qu_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} (q≠1q \neq 1).
  • 5
    Suite géométrique : converge ⇔\Leftrightarrow ∣q∣<1|q| < 1 (limite = 0).

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Dérivation

Règles de dérivation, tangente et étude locale

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Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales

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