Chapitre 07 · Première

Cours

Produit Scalaire

Définition, propriétés et applications géométriques

Le produit scalaire est une opération sur les vecteurs qui donne un nombre réel. Il permet de calculer des angles, de vérifier l'orthogonalité et de résoudre des problèmes géométriques (médiatrice, cercle, trigonométrie). C'est un outil puissant qui relie l'algèbre linéaire à la géométrie euclidienne.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de produit scalaire.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Définitions du produit scalaire

Soient

\vec{u}

\vec{v}

deux vecteurs. Le produit scalaire

\vec{u} \cdot \vec{v}

peut être défini de plusieurs façons équivalentes :

Définition géométrique :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos \theta

où

\theta

est l'angle entre les vecteurs (

0 \leq \theta \leq \pi

).

Définition par les normes :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)

Définition en coordonnées (dans un repère orthonormé) :
Si

\vec{u} = (x_1, y_1)

\vec{v} = (x_2, y_2)

, alors

\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2

.

En termes de points :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\| \cdot \cos(\hat{A})

Définition

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls

\vec{u}

\vec{v}

sont orthogonaux si et seulement si

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

(ce qui correspond à

\theta = 90°

). En coordonnées :

x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0

Définition

Norme d'un vecteur

La norme de

\vec{u} = (x, y)

est

\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}

. C'est la longueur du vecteur. On a

\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}

Définition

Projection orthogonale

H

est le pied de la perpendiculaire de

C

sur

(AB)

, alors

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH

(avec signe :

+

si même sens,

-

sinon).

Exemple 1— Calcul du produit scalaire en coordonnées

Soient

A(1, 2)

B(4, 6)

C(-1, 5)

. Calculer

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

puis l'angle

\hat{A} = \angle BAC

Solution

\overrightarrow{AB} = (3, 4)

\overrightarrow{AC} = (-2, 3)

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times (-2) + 4 \times 3 = -6 + 12 = 6

\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9 + 16} = 5

\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

\cos(\hat{A}) = \frac{6}{5\sqrt{13}} = \frac{6}{5\sqrt{13}} \approx \frac{6}{18{,}03} \approx 0{,}333

\hat{A} \approx 70{,}6°

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2$ .
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2$ .

2Propriétés et identités remarquables

Le produit scalaire est symétrique, bilinéaire et positif :
-

\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}

(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})

(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}

\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0

Identités remarquables vectorielles :

\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2

\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2

(\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2

Exemple 1— Application : médiatrice d'un segment

Soit

A(1, 0)

B(5, 2)

. Déterminer l'équation de la médiatrice de

[AB]

Solution

La médiatrice de

[AB]

est l'ensemble des points

M(x, y)

équidistants de

A

B

MA^2 = MB^2 \Leftrightarrow (x-1)^2 + y^2 = (x-5)^2 + (y-2)^2

Développons :

x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4y + 4

-2x + 1 = -10x + 29 - 4y

8x + 4y - 28 = 0

\mathbf{2x + y - 7 = 0}

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire.
$\|\vec{u} \pm \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \pm 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ .
Médiatrice de $[AB]$ : lieu des points $M$ tels que $MA = MB$ , soit $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ à développer ou $MA^2 = MB^2$ .

★ À retenir

1
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2$ .
2
Orthogonalité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
3
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ .
4
Médiatrice de $[AB]$ : $MA = MB$ $\Leftrightarrow$ $MA^2 = MB^2$ .

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Chapitre 08

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Fonctions de Référence

Probabilités Conditionnelles

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