eˣ

Chapitre 08 · Première

Cours

Fonctions de Référence

Exponentielle, logarithme et puissances

Les fonctions de référence sont les briques élémentaires de l'analyse. En Première, on étudie plus précisément la fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ et son inverse le logarithme naturel $x \mapsto \ln x$ , ainsi que les fonctions puissances et racines. Ces fonctions interviennent dans la modélisation de la croissance, la décroissance radioactive, la physique et l'économie.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Points de vigilance

Confondre image et antécédent.
Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

1Fonction exponentielle

La fonction exponentielle

f(x) = e^x

est définie sur

\mathbb{R}

. Elle est l'unique fonction dérivable telle que

f' = f

f(0) = 1

. Ses propriétés fondamentales :

- Domaine :

\mathbb{R}

, image :

]0, +\infty[

.
- Croissance : strictement croissante sur

\mathbb{R}

.
- Dérivée :

(e^x)' = e^x

.
- Limites :

\lim_{x \to -\infty} e^x = 0

\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty

.
- Propriétés algébriques :

e^{a+b} = e^a \cdot e^b

e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}

(e^a)^n = e^{na}

Définition

Nombre $e$

e \approx 2{,}718

est la base de l'exponentielle naturelle. C'est la valeur

e^1

. La croissance des bactéries, la décroissance radioactive, les intérêts composés continus : tout passe par

e

Définition

Propriétés de $e^x$

e^x > 0

pour tout

x \in \mathbb{R}

. On a

e^0 = 1

e^x e^y = e^{x+y}

\dfrac{e^x}{e^y} = e^{x-y}

(e^x)^n = e^{nx}

Exemple 1— Résolution d'une équation avec exponentielle

Résoudre

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0

Solution

On pose

X = e^x > 0

. L'équation devient

X^2 - 3X + 2 = 0

\Delta = 9 - 8 = 1

, donc

X_1 = 1

X_2 = 2

.

-

e^x = 1 \Rightarrow x = 0

e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2

Solution :

\mathbf{x = 0}

\mathbf{x = \ln 2}

$(e^x)' = e^x$ et $e^x > 0$ pour tout $x$ .
$e^{a+b} = e^a e^b$ , $e^{-a} = 1/e^a$ .
Pour résoudre $e^f = e^g$ , on peut écrire $f = g$ (injectivité).

2Fonction logarithme naturel

Le logarithme naturel (ou népérien)

\ln

est la fonction réciproque de

e^x

\ln(e^x) = x

pour tout

x \in \mathbb{R}

, et

e^{\ln x} = x

pour tout

x > 0

.

- Domaine :

]0, +\infty[

, image :

\mathbb{R}

.
- Dérivée :

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

pour

x > 0

.
- Limites :

\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty

\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty

.
- Propriétés algébriques :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b

\ln(a^n) = n\ln a

Définition

Logarithme naturel

\ln x

est l'unique réel tel que

e^{\ln x} = x

. Donc

\ln

\exp

sont inverses l'une de l'autre. On a

\ln 1 = 0

\ln e = 1

Définition

Propriétés de $\ln$

\ln(ab) = \ln a + \ln b

\ln(a/b) = \ln a - \ln b

\ln(a^r) = r \ln a

pour

a, b > 0

. Ces propriétés transforment produits en sommes.

Exemple 1— Résolution d'une équation logarithmique

Résoudre

\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln 3

Solution

Conditions d'existence :

x+1 > 0

x-1 > 0

, donc

x > 1

\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln\bigl[(x+1)(x-1)\bigr] = \ln(x^2 - 1)

\ln(x^2-1) = \ln 3 \Rightarrow x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Avec

x > 1

, la solution est

\mathbf{x = 2}

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ .
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ .
$\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $e^{\ln x} = x$ et $\ln(e^x) = x$ .

★ À retenir

1
$(e^x)' = e^x$ ; $e^{a+b} = e^a e^b$ ; $e^x > 0$ toujours.
2
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ .
3
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ .
4
$\ln$ et $\exp$ sont inverses : $e^{\ln x} = x$ et $\ln(e^x) = x$ .

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Chapitre 07

Fonctions de Référence

Comment utiliser ce cours efficacement

1Fonction exponentielle

2Fonction logarithme naturel

★ À retenir

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Trigonométrie

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