MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 09 · Première

Cours

Trigonométrie

Cercle trigonométrique, formules et équations

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En Première, la trigonométrie dépasse le triangle rectangle : on étend cos⁡\cos et sin⁡\sin à tous les réels grâce au cercle trigonométrique. On apprend les formules d'addition, les valeurs exactes pour les angles remarquables et on résout des équations trigonométriques. Ces outils sont fondamentaux pour la physique (ondes, oscillations) et l'analyse.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de trigonométrie.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Cercle trigonométrique et angles orientés

On place sur le cercle unité les points M(cos⁡θ,sin⁡θ)M(\cos\theta, \sin\theta) pour tout réel θ\theta. L'angle θ\theta est mesuré en radians depuis l'axe des abscisses, dans le sens direct (anti-horaire).

Valeurs exactes fondamentales :

| θ\theta | 00 | π6\dfrac{\pi}{6} | π4\dfrac{\pi}{4} | π3\dfrac{\pi}{3} | π2\dfrac{\pi}{2} |
|---|---|---|---|---|---|
| cos⁡θ\cos\theta | 11 | 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} | 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} | 12\dfrac{1}{2} | 00 |
| sin⁡θ\sin\theta | 00 | 12\dfrac{1}{2} | 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} | 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} | 11 |

Identité fondamentale : cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.

Définition

Radian

Le radian est l'unité d'angle du Système International. π\pi radians =180°= 180°. Conversion : x°=xπ180x° = \dfrac{x \pi}{180} rad. Les angles courants : 30°=π630° = \dfrac{\pi}{6}, 45°=π445° = \dfrac{\pi}{4}, 60°=π360° = \dfrac{\pi}{3}, 90°=π290° = \dfrac{\pi}{2}.

Définition

Périodicité

cos⁡\cos et sin⁡\sin sont 2π2\pi-périodiques : cos⁡(θ+2kπ)=cos⁡θ\cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta et sin⁡(θ+2kπ)=sin⁡θ\sin(\theta + 2k\pi) = \sin\theta pour tout entier kk. La tangente tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} est π\pi-périodique.

Définition

Parité

cos⁡\cos est paire : cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta. sin⁡\sin est impaire : sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta. Utile pour simplifier des expressions.
Exemple 1— Calcul d'une valeur exacte
Calculer cos⁡7π6\cos\dfrac{7\pi}{6} sans calculatrice.

Solution

7π6=π+π6\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}.

En utilisant cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha :
cos⁡7π6=−cos⁡π6=−32\cos\frac{7\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
  • cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
  • Périodicité : cos⁡\cos et sin⁡\sin de période 2π2\pi.
  • cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta (paire) ; sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta (impaire).
  • cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta ; sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta.

2Formules d'addition et équations

Formules d'addition :
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Cas particuliers importants :
cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a
sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = 2\sin a \cos a

Résolution des équations :
- cos⁡θ=cos⁡α⇔θ=α+2kπ\cos\theta = \cos\alpha \Leftrightarrow \theta = \alpha + 2k\pi ou θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
- sin⁡θ=sin⁡α⇔θ=α+2kπ\sin\theta = \sin\alpha \Leftrightarrow \theta = \alpha + 2k\pi ou θ=π−α+2kπ\theta = \pi - \alpha + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Exemple 1— Résolution d'une équation trigonométrique
Résoudre cos⁡θ=12\cos\theta = \dfrac{1}{2} sur [0,2π][0, 2\pi].

Solution

cos⁡θ=12=cos⁡π3\cos\theta = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}.

Solutions générales : θ=π3+2kπ\theta = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi ou θ=−π3+2kπ\theta = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Sur [0,2π][0, 2\pi] : θ1=π3\theta_1 = \dfrac{\pi}{3} et θ2=2π−π3=5π3\theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}.

Solution : θ∈{π3, 5π3}\mathbf{\theta \in \left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\right\}}.
Exemple 2— Application des formules d'addition
Calculer cos⁡75°\cos 75° à l'aide des formules d'addition.

Solution

75°=45°+30°75° = 45° + 30°.
cos⁡75°=cos⁡(45°+30°)=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30°
=22×32−22×12=64−24=6−24= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \mathbf{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}
  • Formules d'addition : cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b.
  • Formules double angle : cos⁡2a=2cos⁡2a−1\cos 2a = 2\cos^2 a - 1, sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2\sin a \cos a.
  • Solutions de cos⁡θ=k\cos\theta = k : deux familles de solutions (symétrie par rapport à l'axe OxOx).

★ À retenir

  • 1
    cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 (identité fondamentale).
  • 2
    Valeurs exactes : cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, cos⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • 3
    cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b ; sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b.
  • 4
    cos⁡2a=2cos⁡2a−1\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 ; sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2\sin a \cos a.
  • 5
    cos⁡θ=cos⁡α\cos\theta = \cos\alpha : solutions θ=±α+2kπ\theta = \pm\alpha + 2k\pi.

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Chapitre 08

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Fonction racine carrée, valeur absolue et réciproque

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Formule de Bayes, événements indépendants et probabilités totales