g∘f

Chapitre 10 · Première

Cours

Fonctions Composées

Composition, dérivée composée et étude de fonctions

La composition de fonctions consiste à appliquer successivement deux fonctions : $g \circ f$ signifie « d'abord $f$ , ensuite $g$ ». C'est un outil fondamental pour construire des fonctions complexes à partir de fonctions simples, et pour les dériver via la règle de la chaîne. En Première, on applique systématiquement la dérivée des fonctions composées pour étudier des fonctions impliquant $e^u$ , $\ln u$ , $u^n$ ou $\sqrt{u}$ .

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Points de vigilance

Confondre image et antécédent.
Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

1Définition et domaine de $g \circ f$

Soient

f : D_f \to \mathbb{R}

g : D_g \to \mathbb{R}

. La composée

g \circ f

est définie par :

(g \circ f)(x) = g(f(x))

Le domaine de

g \circ f

est l'ensemble des

x \in D_f

tels que

f(x) \in D_g

.

Attention : en général

g \circ f \neq f \circ g

(la composition n'est pas commutative).

Définition

Composition $g \circ f$

(g \circ f)(x) = g(f(x))

: on applique

f

en premier, puis

g

au résultat. La « machine »

g \circ f

prend

x

, calcule

f(x)

, puis calcule

g

de ce résultat.

Définition

Fonction réciproque

f

est bijective, sa fonction réciproque

f^{-1}

vérifie

f^{-1} \circ f = \text{Id}

. Exemples :

\exp

\ln

sont réciproques (

\ln(e^x) = x

e^{\ln x} = x

Exemple 1— Identifier et calculer une composée

Soient

f(x) = 2x - 1

g(x) = x^2 + 3

. Calculer

(g \circ f)(x)

(f \circ g)(x)

Solution

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = (2x-1)^2 + 3 = 4x^2 - 4x + 1 + 3 = \mathbf{4x^2 - 4x + 4}

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2+3) = 2(x^2+3) - 1 = \mathbf{2x^2 + 5}

On constate bien que

g \circ f \neq f \circ g

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : on applique $f$ en premier.
La composition n'est pas commutative en général.
Le domaine de $g \circ f$ : $\{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$ .

2Dérivée d'une fonction composée (règle de la chaîne)

f = g \circ h

(i.e.

f(x) = g(h(x))

), et si

h

est dérivable en

x

g

est dérivable en

h(x)

, alors :

f'(x) = h'(x) \cdot g'(h(x))

Applications directes (les plus fréquentes en Première) :

|

f(x)

f'(x)

|
|---|---|
|

(u(x))^n

n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n-1}

|
|

\sqrt{u(x)}

\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

|
|

e^{u(x)}

u'(x) \cdot e^{u(x)}

|
|

\ln(u(x))

\dfrac{u'(x)}{u(x)}

|
|

\sin(u(x))

u'(x) \cdot \cos(u(x))

|
|

\cos(u(x))

-u'(x) \cdot \sin(u(x))

Exemple 1— Dérivée d'une composée avec $e^u$

Dériver

f(x) = e^{3x^2 - 1}

Solution

On utilise

(e^u)' = u' \cdot e^u

avec

u = 3x^2 - 1

u' = 6x

f'(x) = 6x \cdot e^{3x^2 - 1}

Exemple 2— Dérivée d'une composée avec $\ln u$

Dériver

g(x) = \ln(x^2 + 4)

Solution

On utilise

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

avec

u = x^2 + 4

u' = 2x

g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 4}

(domaine :

\mathbb{R}

car

x^2 + 4 > 0

toujours).

Exemple 3— Étude complète d'une fonction composée

Étudier les variations de

h(x) = x e^{-x}

sur

\mathbb{R}

Solution

On dérive par la règle du produit :

u = x

v = e^{-x}

u' = 1

v' = -e^{-x}

h'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)

Comme

e^{-x} > 0

toujours, le signe de

h'(x)

est celui de

(1-x)

:
-

h'(x) > 0

pour

x < 1

→

h

croissante.
-

h'(x) < 0

pour

x > 1

→

h

décroissante.

Maximum en

x = 1

h(1) = 1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e}

⚠ Attention

Ne pas oublier de multiplier par

u'(x)

(la dérivée de la fonction intérieure). C'est l'erreur la plus fréquente avec la règle de la chaîne.

Règle de la chaîne : $(g(u(x)))' = u'(x) \cdot g'(u(x))$ .
$(e^u)' = u' e^u$ ; $(\ln u)' = u'/u$ .
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$ ; $(\sqrt{u})' = u'/(2\sqrt{u})$ .
Toujours multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.

★ À retenir

1
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ; composition non commutative.
2
Règle de la chaîne : $(g(u))' = u' \cdot g'(u)$ .
3
$(e^u)' = u'e^u$ ; $(\ln u)' = u'/u$ .
4
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$ ; $(\sqrt{u})' = u'/(2\sqrt{u})$ .

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Chapitre 09

Fonctions Composées

Comment utiliser ce cours efficacement

1Définition et domaine de $g \circ f$

2Dérivée d'une fonction composée (règle de la chaîne)

★ À retenir

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