MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 06 · Troisième

Cours

Trigonométrie

Sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle

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La trigonométrie établit des relations entre les angles et les côtés d'un triangle rectangle. Les trois rapports trigonométriques — sinus, cosinus et tangente — permettent de calculer un côté ou un angle à partir d'informations partielles. Ce sont des outils indispensables en géométrie, en physique et dans de nombreuses applications techniques.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de trigonométrie.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Les rapports trigonométriques

Dans un triangle rectangle en CC, pour l'angle aigu A^\hat{A} :

cos⁡(A^)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse=ACAB\cos(\hat{A}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB}

sin⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse=BCAB\sin(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AB}

tan⁡(A^)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=BCAC\tan(\hat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AC}

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
- Sin = Opposé / Hypoténuse
- Cos = Adjacent / Hypoténuse
- Tan = Opposé / Adjacent

Pour calculer un angle dont on connaît le rapport, on utilise les fonctions réciproques : arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos, arctan⁡\arctan (touches sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1}, tan⁡−1\tan^{-1} de la calculatrice).

Définition

Côté adjacent

Le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui forme cet angle avec l'hypoténuse (c'est l'un des deux côtés de l'angle, mais pas l'hypoténuse).

Définition

Côté opposé

Le côté opposé à un angle aigu est le côté qui ne touche pas cet angle (il est en face de lui).

Définition

Hypoténuse

L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle, opposé à l'angle droit. Elle apparaît au dénominateur du sinus et du cosinus.
Exemple 1— Calculer un côté avec le cosinus
Dans un triangle rectangle en BB, A^=35°\hat{A} = 35° et AB=10AB = 10 cm. Calculer ACAC.

Solution

ABAB est l'hypoténuse, ACAC est le côté adjacent à A^\hat{A} (car BB est l'angle droit, donc ACAC est en face de BB... attendez : si l'angle droit est en BB, l'hypoténuse est ACAC).

*Correction :* angle droit en BB, donc l'hypoténuse est ACAC. A^=35°\hat{A} = 35°, ABAB est adjacent à AA, BCBC est opposé à AA.

cos⁡(35°)=ABAC⇒AC=ABcos⁡(35°)=10cos⁡(35°)≈100,819≈12,2 cm\cos(35°) = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AC = \frac{AB}{\cos(35°)} = \frac{10}{\cos(35°)} \approx \frac{10}{0{,}819} \approx \mathbf{12{,}2 \text{ cm}}
Exemple 2— Calculer un angle avec la tangente
Dans un triangle rectangle en CC, BC=5BC = 5 et AC=8AC = 8. Calculer A^\hat{A}.

Solution

BCBC est opposé à A^\hat{A}, ACAC est adjacent à A^\hat{A}.
tan⁡(A^)=BCAC=58=0,625\tan(\hat{A}) = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{8} = 0{,}625
A^=arctan⁡(0,625)≈32°\hat{A} = \arctan(0{,}625) \approx \mathbf{32°}
  • SOH-CAH-TOA : mémorise les trois rapports.
  • Pour calculer un angle : utiliser arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos ou arctan⁡\arctan à la calculatrice.
  • Bien identifier l'angle droit pour nommer correctement hypoténuse, adjacent, opposé.

2Valeurs remarquables et propriétés

Certaines valeurs d'angles donnent des rapports trigonométriques exacts à connaître :

| Angle | sin⁡\sin | cos⁡\cos | tan⁡\tan |
|-------|--------|--------|--------|
| 30°30° | 12\frac{1}{2} | 32\frac{\sqrt{3}}{2} | 13\frac{1}{\sqrt{3}} |
| 45°45° | 22\frac{\sqrt{2}}{2} | 22\frac{\sqrt{2}}{2} | 11 |
| 60°60° | 32\frac{\sqrt{3}}{2} | 12\frac{1}{2} | 3\sqrt{3} |

Propriété complémentaire : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°90°). Donc sin⁡(A^)=cos⁡(B^)\sin(\hat{A}) = \cos(\hat{B}) et cos⁡(A^)=sin⁡(B^)\cos(\hat{A}) = \sin(\hat{B}).

Relation fondamentale : cos⁡2(A^)+sin⁡2(A^)=1\cos^2(\hat{A}) + \sin^2(\hat{A}) = 1 (découle de Pythagore).
Exemple 1— Utiliser les complémentaires
Dans un triangle rectangle, A^=40°\hat{A} = 40°. Que vaut B^\hat{B} ? Vérifier que sin⁡(40°)=cos⁡(50°)\sin(40°) = \cos(50°).

Solution

A^+B^=90°\hat{A} + \hat{B} = 90° donc B^=50°\hat{B} = 50°.

sin⁡(40°)≈0,643\sin(40°) \approx 0{,}643 et cos⁡(50°)≈0,643\cos(50°) \approx 0{,}643 ✓

Les angles de 40°40° et 50°50° sont complémentaires : sin de l'un = cos de l'autre.
  • sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1 : relation de Pythagore trigonométrique.
  • Angles complémentaires : sin⁡(α)=cos⁡(90°−α)\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha).
  • Valeurs à connaître : sin⁡(30°)=12\sin(30°) = \frac{1}{2}, cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}, tan⁡(45°)=1\tan(45°) = 1.

★ À retenir

  • 1
    cos⁡(A^)=adjhyp\cos(\hat{A}) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, sin⁡(A^)=opphyp\sin(\hat{A}) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, tan⁡(A^)=oppadj\tan(\hat{A}) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}.
  • 2
    SOH-CAH-TOA : mémotech pour ne pas confondre.
  • 3
    Pour trouver un angle : arccos⁡\arccos, arcsin⁡\arcsin ou arctan⁡\arctan sur la calculatrice.
  • 4
    cos⁡2(A^)+sin⁡2(A^)=1\cos^2(\hat{A}) + \sin^2(\hat{A}) = 1.

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Problèmes combinant les deux théorèmes

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