MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Troisième

Cours

Statistiques et Probabilités

Indicateurs statistiques et calcul de probabilités

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Les statistiques permettent de décrire et d'analyser une série de données numériques à l'aide d'indicateurs synthétiques. Les probabilités quantifient la chance qu'un événement se produise. Ces deux domaines sont liés : les probabilités permettent de modéliser des phénomènes aléatoires, et les statistiques permettent d'estimer des probabilités à partir de données réelles.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
  • Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

  • Confondre événement contraire et événement impossible.
  • Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Indicateurs statistiques

Pour décrire une série statistique, on utilise plusieurs indicateurs :

Indicateurs de position :
- Moyenne : xˉ=somme des valeurseffectif total\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}
- Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales.
- Mode : valeur la plus fréquente.

Indicateurs de dispersion :
- Étendue : différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
- Quartiles : Q1Q_1 (1er quartile) et Q3Q_3 (3ème quartile) divisent la série en quatre quarts.
- Écart interquartile : Q3−Q1Q_3 - Q_1, mesure la dispersion de la moitié centrale des données.

La moyenne pondérée s'utilise lorsque les valeurs ont des effectifs différents :
xˉ=∑ni⋅xi∑ni\bar{x} = \frac{\sum n_i \cdot x_i}{\sum n_i}

Définition

Médiane

La médiane est la valeur du milieu d'une série ordonnée. Si l'effectif est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales. 50% des données sont inférieures ou égales à la médiane.

Définition

Quartiles

Le premier quartile Q1Q_1 est la valeur telle que 25% des données lui sont inférieures. Le troisième quartile Q3Q_3 est la valeur telle que 75% des données lui sont inférieures. La médiane est le deuxième quartile Q2Q_2.

Définition

Écart interquartile

L'écart interquartile Q3−Q1Q_3 - Q_1 mesure la dispersion des 50% des données centrales. Plus il est petit, plus les données sont concentrées autour de la médiane.
Exemple 1— Calculer moyenne, médiane et quartiles
Série ordonnée : 3,5,7,8,9,12,15,18,20,243, 5, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 20, 24. Calculer xˉ\bar{x}, la médiane, Q1Q_1, Q3Q_3 et l'écart interquartile.

Solution

Moyenne : xˉ=3+5+7+8+9+12+15+18+20+2410=12110=12,1\bar{x} = \dfrac{3+5+7+8+9+12+15+18+20+24}{10} = \dfrac{121}{10} = 12{,}1

Médiane (10 valeurs) : moyenne des 5ème et 6ème : 9+122=10,5\dfrac{9+12}{2} = 10{,}5

Q1Q_1 : médiane des 5 premières valeurs (3,5,7,8,93, 5, 7, 8, 9) = 77

Q3Q_3 : médiane des 5 dernières valeurs (12,15,18,20,2412, 15, 18, 20, 24) = 1818

Écart interquartile : Q3−Q1=18−7=11Q_3 - Q_1 = 18 - 7 = 11
  • Toujours ordonner la série avant de chercher médiane et quartiles.
  • Médiane : valeur du milieu (effectif impair) ou moyenne des deux du milieu (effectif pair).
  • La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane l'est moins.

2Probabilités

La probabilité d'un événement est un nombre entre 00 et 11 qui mesure sa chance de réalisation.

Probabilité classique (équiprobabilité) :
P(A)=nombre de cas favorables aˋ Anombre total de cas possiblesP(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à } A}{\text{nombre total de cas possibles}}

Ceci n'est valable que si toutes les issues sont équiprobables.

Propriétés :
- 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1
- P(Ω)=1P(\Omega) = 1 (événement certain)
- P(∅)=0P(\varnothing) = 0 (événement impossible)
- P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A) (événement contraire)
- Si AA et BB sont incompatibles : P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Pour des événements quelconques : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

Définition

Événement

Un événement est un sous-ensemble de l'univers Ω\Omega (ensemble des issues possibles). On dit qu'un événement est réalisé si l'issue de l'expérience appartient à cet ensemble.

Définition

Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : A∩B=∅A \cap B = \varnothing. Dans ce cas, P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).

Définition

Événement contraire

L'événement contraire Aˉ\bar{A} de AA est l'événement «AA ne se réalise pas». On a P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A). C'est très utile quand il est plus facile de calculer la probabilité du contraire.
Exemple 1— Probabilité classique
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?

Solution

Il y a 88 cœurs dans un jeu de 32 cartes.
P(cœur)=832=14=0,25P(\text{cœur}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25
Exemple 2— Utiliser l'événement contraire
On lance un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 66 en deux lancers ?

Solution

Il est plus facile de calculer la probabilité de ne jamais obtenir 66.

P(pas de 6 en un lancer)=56P(\text{pas de 6 en un lancer}) = \frac{5}{6}

P(pas de 6 en deux lancers)=56×56=2536P(\text{pas de 6 en deux lancers}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

P(au moins un 6)=1−2536=1136≈0,306P(\text{au moins un 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}306
  • Équiprobabilité : P(A)=cas favorablescas totauxP(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas totaux}}.
  • Événement contraire : P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
  • Événements incompatibles : P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).

★ À retenir

  • 1
    Médiane : valeur centrale d'une série ordonnée.
  • 2
    Q1Q_1, Q3Q_3 : quartiles ; écart interquartile =Q3−Q1= Q_3 - Q_1.
  • 3
    Probabilité : entre 00 et 11, équiprobabilité : cas favorables / cas totaux.
  • 4
    Contraire : P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

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