MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 08 · Troisième

Calculs Numériques Avancés

Racines carrées, puissances négatives et calcul exact

📖 Voir le cours

Réviser efficacement

Travailler Calculs Numériques Avancés en Troisième

Ce chapitre de calculs numériques avancés en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Reprendre les bases de 3ème liées à calculs numériques avancés.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de calculs numériques avancés.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Simplifier des expressions avec des racines

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes :
1. A=48A = \sqrt{48}
2. B=75−27B = \sqrt{75} - \sqrt{27}
3. C=(5+2)(5−2)C = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})

Correction détaillée

01

Simplification de $A$

48=16×348 = 16 \times 3, donc :
A=16×3=16×3=43A = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}
02

Simplification de $B$

75=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} et 27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}.
B=53−33=23B = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
03

Calcul de $C$ — identité remarquable

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 avec a=5a = \sqrt{5} et b=2b = \sqrt{2} :
C=(5)2−(2)2=5−2=3C = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3
2Intermédiaire

Calculs avec des puissances négatives

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer sans calculatrice :
1. A=2−3A = 2^{-3}
2. B=(32)−2B = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}
3. C=10−4×5×106C = 10^{-4} \times 5 \times 10^6

Correction détaillée

01

Puissance négative $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

A=2−3=123=18A = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
02

Fraction à puissance négative

B=(32)−2=(23)2=49B = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
03

Calcul de $C$

C=5×10−4×106=5×10−4+6=5×102=500C = 5 \times 10^{-4} \times 10^6 = 5 \times 10^{-4+6} = 5 \times 10^2 = 500
3Intermédiaire

Notation scientifique — conversions et opérations

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Écrire en notation scientifique et effectuer les calculs :
1. A=0,000 045A = 0{,}000\ 045
2. B=3,6×105+7,2×104B = 3{,}6 \times 10^5 + 7{,}2 \times 10^4
3. C=8,4×1092,1×103C = \dfrac{8{,}4 \times 10^9}{2{,}1 \times 10^3}

Correction détaillée

01

Écriture en notation scientifique de $A$

On déplace la virgule jusqu'à obtenir un chiffre entre 1 et 10 :
0,000 045=4,5×10−50{,}000\ 045 = 4{,}5 \times 10^{-5}
(5 décimales vers la droite → exposant −5-5)
02

Addition $B$ — même puissance de 10

On met au même exposant : 7,2×104=0,72×1057{,}2 \times 10^4 = 0{,}72 \times 10^5.
B=3,6×105+0,72×105=(3,6+0,72)×105=4,32×105B = 3{,}6 \times 10^5 + 0{,}72 \times 10^5 = (3{,}6 + 0{,}72) \times 10^5 = 4{,}32 \times 10^5
03

Division $C$

C=8,42,1×109103=4×109−3=4×106C = \frac{8{,}4}{2{,}1} \times \frac{10^9}{10^3} = 4 \times 10^{9-3} = 4 \times 10^6
4Difficile

Rationner un dénominateur et simplifier

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer en donnant une écriture sous la forme a+bca + b\sqrt{c} :
1. A=63A = \dfrac{6}{\sqrt{3}}
2. B=42−2B = \dfrac{4}{2 - \sqrt{2}}
3. C=(6+2)2C = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2

Correction détaillée

01

Rationalisation de $A$

On multiplie le numérateur et le dénominateur par 3\sqrt{3} :
A=63×33=633=23A = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
02

Rationalisation de $B$ — conjugué

On multiplie par le conjugué 2+22 + \sqrt{2} :
B=4(2+2)(2−2)(2+2)=4(2+2)4−2=4(2+2)2=2(2+2)=4+22B = \frac{4(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{2} = 2(2 + \sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}
03

Développement de $C$

(6+2)2=(6)2+2×6×2+(2)2(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2
=6+212+2= 6 + 2\sqrt{12} + 2
=8+24×3= 8 + 2\sqrt{4 \times 3}
=8+2×23= 8 + 2 \times 2\sqrt{3}
C=8+43C = 8 + 4\sqrt{3}
5Facile

Puissances de 10 et ordres de grandeur

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

La distance Terre–Lune est d'environ 384 000384\ 000 km. La distance Terre–Soleil est d'environ 149 600 000149\ 600\ 000 km.
1. Exprimer ces deux distances en notation scientifique (en km).
2. Calculer le rapport Terre–Soleil sur Terre–Lune.
3. Exprimer la distance Terre–Soleil en mètres en notation scientifique.

Correction détaillée

01

Notation scientifique des distances

384 000=3,84×105384\ 000 = 3{,}84 \times 10^5 km.
149 600 000=1,496×108149\ 600\ 000 = 1{,}496 \times 10^8 km.
On déplace la virgule jusqu'à obtenir un chiffre entre 1 et 10, et on compte les déplacements pour l'exposant.
02

Rapport des deux distances

Terre–SoleilTerre–Lune=1,496×1083,84×105=1,4963,84×108−5≈0,3896×103≈389,6\frac{\text{Terre–Soleil}}{\text{Terre–Lune}} = \frac{1{,}496 \times 10^8}{3{,}84 \times 10^5} = \frac{1{,}496}{3{,}84} \times 10^{8-5} \approx 0{,}3896 \times 10^3 \approx 389{,}6
Le Soleil est environ 390 fois plus éloigné que la Lune.
03

Distance Terre–Soleil en mètres

11 km =103= 10^3 m, donc :
1,496×108 km=1,496×108×103 m=1,496×1011 m1{,}496 \times 10^8 \text{ km} = 1{,}496 \times 10^8 \times 10^3 \text{ m} = 1{,}496 \times 10^{11} \text{ m}
Soit environ 150150 milliards de mètres, ou 150150 millions de km.
6Facile

Racines carrées exactes

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer :
1. 144\sqrt{144}
2. 0,81\sqrt{0{,}81}
3. 225\sqrt{225}

Correction détaillée

01

Première racine

144=12\sqrt{144} = 12
02

Deuxième racine

0,81=0,9\sqrt{0{,}81} = 0{,}9
03

Troisième racine

225=15\sqrt{225} = 15
7Facile

Produit et quotient de puissances

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Simplifier :
1. 103×10510^3 \times 10^5
2. 107÷10210^7 \div 10^2
3. 3×104×2×1033 \times 10^4 \times 2 \times 10^3

Correction détaillée

01

Produit de puissances de même base

103×105=103+5=10810^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8
02

Quotient de puissances

107÷102=107−2=10510^7 \div 10^2 = 10^{7-2} = 10^5
03

Produit complet

3×104×2×103=6×1073 \times 10^4 \times 2 \times 10^3 = 6 \times 10^{7}
8Facile

Écriture scientifique de grands nombres

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Écrire en notation scientifique :
1. 5 600 0005\ 600\ 000
2. 0,000720{,}00072
3. 48 90048\ 900

Correction détaillée

01

Premier nombre

5 600 000=5,6×1065\ 600\ 000 = 5{,}6 \times 10^6
02

Deuxième nombre

0,00072=7,2×10−40{,}00072 = 7{,}2 \times 10^{-4}
03

Troisième nombre

48 900=4,89×10448\ 900 = 4{,}89 \times 10^4
9Intermédiaire

Comparer des nombres en notation scientifique

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Comparer les nombres suivants :
1. 3,2×1053{,}2 \times 10^5 et 2,9×1062{,}9 \times 10^6
2. 7,1×10−37{,}1 \times 10^{-3} et 6,9×10−36{,}9 \times 10^{-3}

Correction détaillée

01

Premier couple

On compare d'abord les exposants : 10610^6 est plus grand que 10510^5.
Donc :
2,9×106>3,2×1052{,}9 \times 10^6 > 3{,}2 \times 10^5
02

Deuxième couple

Les exposants sont identiques, on compare donc les mantisses.
03

Conclusion

Comme 7,1>6,97{,}1 > 6{,}9, on a :
7,1×10−3>6,9×10−37{,}1 \times 10^{-3} > 6{,}9 \times 10^{-3}
10Intermédiaire

Carrés et racines

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

1. Calculer (32)2(3\sqrt{2})^2.
2. Calculer (25)2(2\sqrt{5})^2.
3. Simplifier 98\sqrt{98}.

Correction détaillée

01

Premier carré

(32)2=32×(2)2=9×2=18(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times (\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18
02

Deuxième carré

(25)2=4×5=20(2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20
03

Simplification de $\sqrt{98}$

98=49×2=72\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}
11Intermédiaire

Calcul exact avec racines

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer :
1. 23+532\sqrt{3} + 5\sqrt{3}
2. 65−56\sqrt{5} - \sqrt{5}
3. 12+27\sqrt{12} + \sqrt{27}

Correction détaillée

01

Somme de racines semblables

23+53=732\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}
02

Différence de racines semblables

65−5=556\sqrt{5} - \sqrt{5} = 5\sqrt{5}
03

Simplification avant addition

12=23et27=33\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \quad \text{et} \quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
Donc 12+27=53\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3}
12Intermédiaire

Puissances négatives et fractions

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer :
1. 5−25^{-2}
2. (10−3)−1(10^{-3})^{-1}
3. 23×2−52^3 \times 2^{-5}

Correction détaillée

01

Première expression

5−2=152=1255^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}
02

Deuxième expression

(10−3)−1=103=1000(10^{-3})^{-1} = 10^3 = 1000
03

Troisième expression

23×2−5=2−2=142^3 \times 2^{-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}
13Intermédiaire

Ordre de grandeur

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Donner un ordre de grandeur du résultat :
1. 398×21398 \times 21
2. 0,049×10200{,}049 \times 1020

Correction détaillée

01

Premier produit

On arrondit 398≈400398 \approx 400 et 21≈2021 \approx 20.
Donc 398×21≈400×20=8000398 \times 21 \approx 400 \times 20 = 8000
02

Deuxième produit

On arrondit 0,049≈0,050{,}049 \approx 0{,}05 et 1020≈10001020 \approx 1000.
Donc 0,049×1020≈0,05×1000=500{,}049 \times 1020 \approx 0{,}05 \times 1000 = 50
03

Conclusion

Les ordres de grandeur sont environ 80008000 et 5050.
14Intermédiaire

Division en notation scientifique

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer en notation scientifique :
1. 6×1073×102\dfrac{6 \times 10^7}{3 \times 10^2}
2. 9,6×10−43,2×10−1\dfrac{9{,}6 \times 10^{-4}}{3{,}2 \times 10^{-1}}

Correction détaillée

01

Première division

6×1073×102=63×107−2=2×105\frac{6 \times 10^7}{3 \times 10^2} = \frac{6}{3} \times 10^{7-2} = 2 \times 10^5
02

Deuxième division

9,6×10−43,2×10−1=9,63,2×10−4−(−1)=3×10−3\frac{9{,}6 \times 10^{-4}}{3{,}2 \times 10^{-1}} = \frac{9{,}6}{3{,}2} \times 10^{-4-(-1)} = 3 \times 10^{-3}
03

Conclusion

Les résultats sont 2×1052 \times 10^5 et 3×10−33 \times 10^{-3}.
15Difficile

Expression mixte avec racines et puissances

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer :
A=505+2×102×10−3A = \frac{\sqrt{50}}{5} + 2 \times 10^2 \times 10^{-3}

Correction détaillée

01

Première partie

50=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}
Donc 505=2\frac{\sqrt{50}}{5} = \sqrt{2}
02

Deuxième partie

2×102×10−3=2×10−1=0,22 \times 10^2 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-1} = 0{,}2
03

Résultat

A=2+0,2A = \sqrt{2} + 0{,}2

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 07

Statistiques et Probabilités

Médiane, quartiles, diagramme en boîte et probabilités

Chapitre 09

Géométrie dans l'Espace

Solides, sections et représentation en perspective

Chapitre 06

Trigonométrie Avancée

Applications dans des situations géométriques complexes