MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 08 · Troisième

Calculs Numériques Avancés

Racines carrées, puissances négatives et calcul exact

1Intermédiaire

Simplifier des expressions avec des racines

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes :
1. A=48A = \sqrt{48}
2. B=75−27B = \sqrt{75} - \sqrt{27}
3. C=(5+2)(5−2)C = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})

Correction détaillée

01

Simplification de $A$

48=16×348 = 16 \times 3, donc :
A=16×3=16×3=43A = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}
02

Simplification de $B$

75=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} et 27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}.
B=53−33=23B = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
03

Calcul de $C$ — identité remarquable

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 avec a=5a = \sqrt{5} et b=2b = \sqrt{2} :
C=(5)2−(2)2=5−2=3C = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3
2Intermédiaire

Calculs avec des puissances négatives

Énoncé

Calculer sans calculatrice :
1. A=2−3A = 2^{-3}
2. B=(32)−2B = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}
3. C=10−4×5×106C = 10^{-4} \times 5 \times 10^6

Correction détaillée

01

Puissance négative $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

A=2−3=123=18A = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
02

Fraction à puissance négative

B=(32)−2=(23)2=49B = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
03

Calcul de $C$

C=5×10−4×106=5×10−4+6=5×102=500C = 5 \times 10^{-4} \times 10^6 = 5 \times 10^{-4+6} = 5 \times 10^2 = 500
3Intermédiaire

Notation scientifique — conversions et opérations

Énoncé

Écrire en notation scientifique et effectuer les calculs :
1. A=0,000 045A = 0{,}000\ 045
2. B=3,6×105+7,2×104B = 3{,}6 \times 10^5 + 7{,}2 \times 10^4
3. C=8,4×1092,1×103C = \dfrac{8{,}4 \times 10^9}{2{,}1 \times 10^3}

Correction détaillée

01

Écriture en notation scientifique de $A$

On déplace la virgule jusqu'à obtenir un chiffre entre 1 et 10 :
0,000 045=4,5×10−50{,}000\ 045 = 4{,}5 \times 10^{-5}
(5 décimales vers la droite → exposant −5-5)
02

Addition $B$ — même puissance de 10

On met au même exposant : 7,2×104=0,72×1057{,}2 \times 10^4 = 0{,}72 \times 10^5.
B=3,6×105+0,72×105=(3,6+0,72)×105=4,32×105B = 3{,}6 \times 10^5 + 0{,}72 \times 10^5 = (3{,}6 + 0{,}72) \times 10^5 = 4{,}32 \times 10^5
03

Division $C$

C=8,42,1×109103=4×109−3=4×106C = \frac{8{,}4}{2{,}1} \times \frac{10^9}{10^3} = 4 \times 10^{9-3} = 4 \times 10^6
4Difficile

Rationner un dénominateur et simplifier

Énoncé

Calculer en donnant une écriture sous la forme a+bca + b\sqrt{c} :
1. A=63A = \dfrac{6}{\sqrt{3}}
2. B=42−2B = \dfrac{4}{2 - \sqrt{2}}
3. C=(6+2)2C = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2

Correction détaillée

01

Rationalisation de $A$

On multiplie le numérateur et le dénominateur par 3\sqrt{3} :
A=63×33=633=23A = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
02

Rationalisation de $B$ — conjugué

On multiplie par le conjugué 2+22 + \sqrt{2} :
B=4(2+2)(2−2)(2+2)=4(2+2)4−2=4(2+2)2=2(2+2)=4+22B = \frac{4(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{2} = 2(2 + \sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}
03

Développement de $C$

(6+2)2=(6)2+2×6×2+(2)2(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2
=6+212+2= 6 + 2\sqrt{12} + 2
=8+24×3= 8 + 2\sqrt{4 \times 3}
=8+2×23= 8 + 2 \times 2\sqrt{3}
C=8+43C = 8 + 4\sqrt{3}