a×10ⁿ

Chapitre 08 · Troisième

Cours

Notation Scientifique et Calculs

Puissances de 10, écriture scientifique et racines carrées

La notation scientifique permet d'écrire des nombres très grands ou très petits de façon compacte et lisible. Elle est universellement utilisée en sciences (astronomie, biologie, chimie...). Maîtriser les puissances de 10 et les calculs avec des racines carrées est essentiel pour manipuler ces écritures avec aisance.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de notation scientifique et calculs.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Puissances et leurs propriétés

Pour tout réel

a \neq 0

et tous entiers

m, n

:

-

a^n \times a^m = a^{n+m}

(même base : on additionne les exposants)
-

\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

(même base : on soustrait les exposants)
-

(a^n)^m = a^{n \times m}

(puissance d'une puissance : on multiplie)
-

(a \times b)^n = a^n \times b^n

(distributivité de la puissance)
-

a^0 = 1

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

a^1 = a

Ces règles s'appliquent aussi aux puissances de

10

10^3 \times 10^{-5} = 10^{-2}

Définition

Puissance d'un nombre

a^n

(lire «

a

exposant

n

») signifie que l'on multiplie

a

par lui-même

n

fois.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

: un exposant négatif indique l'inverse.

Définition

Puissance de 10

10^n

déplace la virgule de

n

rangs vers la droite si

n > 0

, ou vers la gauche si

n < 0

. Par exemple,

10^3 = 1000

10^{-3} = 0{,}001

Exemple 1— Simplifier une expression avec des puissances

Simplifier

\dfrac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4}

Solution

\frac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^3}{3^4} = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3}

Même base et multiplication : on additionne les exposants.
Même base et division : on soustrait les exposants.
Puissance négative : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .

2Notation scientifique

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est de la forme :

a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leq a < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}

Convertir en notation scientifique :
- Identifier la virgule et la déplacer pour obtenir un nombre entre 1 et 10.
- Le nombre de déplacements donne

|n|

, le sens donne le signe de

n

.

Exemples :
-

45\,800 = 4{,}58 \times 10^4

0{,}00307 = 3{,}07 \times 10^{-3}

Calculs en notation scientifique :
Pour multiplier : multiplier les parties

a

et additionner les exposants.
Pour additionner : mettre au même exposant d'abord.

Définition

Notation scientifique

La notation scientifique est une façon d'écrire un nombre comme

a \times 10^n

avec

1 \leq a < 10

. Elle permet d'exprimer facilement de très grands nombres (comme la distance Terre-Soleil :

1{,}5 \times 10^{11}

m) ou de très petits (un atome :

10^{-10}

m).

Exemple 1— Convertir en notation scientifique

Écrire

0{,}000045

en notation scientifique.

Solution

On déplace la virgule de 5 rangs vers la droite pour obtenir

4{,}5

(qui est bien entre

1

10

0{,}000045 = 4{,}5 \times 10^{-5}

Exemple 2— Multiplication en notation scientifique

Calculer

(3{,}2 \times 10^4) \times (2{,}5 \times 10^3)

Solution

On multiplie les parties

a

et on additionne les exposants :

(3{,}2 \times 2{,}5) \times 10^{4+3} = 8 \times 10^7

Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ .
Multiplication : $(a \times 10^p)(b \times 10^q) = (ab) \times 10^{p+q}$ .
Addition : mettre les deux nombres au même exposant de 10 avant d'additionner.

3Racines carrées

La racine carrée de

a \geq 0

est le nombre positif

x

tel que

x^2 = a

. On note

x = \sqrt{a}

.

Propriétés :
-

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

(pour

a, b \geq 0

)
-

\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

(pour

a \geq 0

b > 0

)
-

(\sqrt{a})^2 = a

\sqrt{a^2} = |a|

(valeur absolue)

Simplification : on cherche à «sortir» les facteurs carrés parfaits du radical.
Exemple :

\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}

Exemple 1— Simplifier une racine carrée

Simplifier

\sqrt{180}

Solution

On factorise

180 = 4 \times 9 \times 5 = 36 \times 5

\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}

Exemple 2— Calculer avec des racines

Calculer

\sqrt{3} \times \sqrt{12}

Solution

\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6

⚠ Attention

\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

! Par exemple,

\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ : simplifier en cherchant des carrés parfaits.
$\sqrt{a^2} = a$ pour $a \geq 0$ .
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$ .

★ À retenir

1
Puissances : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$ .
2
Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ .
3
Racine carrée : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ ; chercher les carrés parfaits pour simplifier.
4
$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : erreur classique à éviter.

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Chapitre 07

Notation Scientifique et Calculs

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2Notation scientifique

3Racines carrées

★ À retenir

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