V=⅓Bh

Chapitre 09 · Troisième

Cours

Géométrie dans l'Espace

Solides, sections planes, volumes et aires

La géométrie dans l'espace étudie les solides (formes à trois dimensions), leurs propriétés, leurs sections par des plans et leurs mesures. Calculer des volumes et des aires de surfaces est une compétence pratique essentielle, utilisée en architecture, en ingénierie et dans la vie quotidienne. En 3ème, on aborde les solides classiques et les pyramides, cônes, sphères.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de géométrie dans l'espace.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Solides usuels et leurs propriétés

Les principaux solides de l'espace étudiés en 3ème :

Prismes et cylindres :
- Prisme droit : deux bases identiques et parallèles reliées par des rectangles.
- Cylindre : prisme à base circulaire.

Pyramides et cônes :
- Pyramide : base polygonale et un sommet relié à tous les sommets de la base.
- Cône : pyramide à base circulaire.

Sphère : ensemble des points à égale distance (rayon) d'un centre.

Une section d'un solide par un plan est l'intersection du solide avec ce plan. Pour une pyramide coupée par un plan parallèle à la base, la section est semblable à la base (théorème de Thalès dans l'espace).

Définition

Arête

Une arête est un segment qui forme le bord d'une face d'un solide, là où deux faces se rejoignent.

Définition

Section plane

Une section plane d'un solide est la figure obtenue en coupant le solide par un plan. La forme de la section dépend de l'orientation du plan par rapport au solide.

Définition

Patron

Un patron d'un solide est une figure plane que l'on peut replier pour reconstituer le solide. Il permet de calculer l'aire totale en décomposant la surface en faces planes.

Exemple 1— Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Une pyramide de hauteur

H = 12

cm et de base carrée de côté

L = 6

cm est coupée par un plan parallèle à la base à une hauteur

h = 4

cm du sommet. Quel est le côté du carré de la section ?

Solution

Le plan est à

h = 4

cm du sommet, soit à

H - h = 8

cm de la base. Par le théorème de Thalès appliqué aux arêtes latérales :

\frac{\ell}{L} = \frac{h}{H} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

\ell = \frac{6}{3} = \mathbf{2 \text{ cm}}

Pyramide coupée par un plan parallèle à la base → section semblable à la base.
Le rapport de similitude est égal au rapport des distances au sommet.
Un prisme a deux bases identiques et parallèles ; une pyramide a un seul sommet.

2Volumes et aires

Formules de volumes :

| Solide | Volume |
|--------|--------|
| Prisme/Cylindre |

V = B \times h

|
| Pyramide/Cône |

V = \dfrac{1}{3} \times B \times h

|
| Sphère |

V = \dfrac{4}{3} \pi r^3

|

où

B

est l'aire de la base,

h

la hauteur et

r

le rayon.

Formules d'aires latérales et totales :
- Cylindre :

A_{\text{lat}} = 2\pi r h

;

A_{\text{totale}} = 2\pi r h + 2\pi r^2

- Sphère :

A = 4\pi r^2

- Cône :

A_{\text{lat}} = \pi r \ell

(où

\ell

est l'apothème = longueur d'une génératrice)

Exemple 1— Volume d'un cône

Un cône a une base de rayon

r = 5

cm et une hauteur

h = 9

cm. Calculer son volume.

Solution

V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 9 = \frac{1}{3} \times 225\pi = 75\pi \approx \mathbf{235{,}6 \text{ cm}^3}

Exemple 2— Volume d'une sphère

Calculer le volume d'une sphère de rayon

r = 3

cm.

Solution

V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi \approx \mathbf{113{,}1 \text{ cm}^3}

Exemple 3— Aire totale d'un cylindre

Un cylindre a un rayon

r = 4

cm et une hauteur

h = 10

cm. Calculer son aire totale.

Solution

A_{\text{totale}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi \times 4 \times 10 + 2\pi \times 4^2 = 80\pi + 32\pi = 112\pi \approx \mathbf{351{,}9 \text{ cm}^2}

⚠ Attention

\frac{1}{3}

dans le volume de la pyramide et du cône est souvent oublié. Contrairement au prisme et au cylindre, les pyramides et cônes ne sont PAS des solides à bases parallèles reliées par des faces rectangulaires.

Pyramide et cône : volume = $\frac{1}{3}$ × base × hauteur.
Sphère : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ et $A = 4\pi r^2$ .
Bien distinguer volume (cm³) et aire (cm²).

★ À retenir

1
Prisme/Cylindre : $V = B \times h$ .
2
Pyramide/Cône : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ .
3
Sphère : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ et $A = 4\pi r^2$ .
4
Section parallèle à la base d'une pyramide : semblable à la base, rapport = distance au sommet / hauteur totale.

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Exercices — Géométrie dans l'Espace

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Chapitre 08

Géométrie dans l'Espace

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1Solides usuels et leurs propriétés

2Volumes et aires

★ À retenir

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