Géométrie dans l'Espace — Exercices Corrigés Troisième

1Intermédiaire

Volume d'une sphère et d'un cône

Énoncé

1. Calculer le volume d'une sphère de rayon

6

cm.
2. Une glace est composée d'un cône de rayon

3

cm et hauteur

10

cm surmonté d'une boule de rayon

3

cm. Calculer le volume total.

Correction détaillée

01

Volume de la sphère ($r = 6$ cm)

V_\text{sphère} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = \frac{4}{3} \times 216\pi = 288\pi \approx 904{,}8 \text{ cm}^3

02

Volume du cône de la glace

V_\text{cône} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi \text{ cm}^3

03

Volume total de la glace

V_\text{boule} = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3

V_\text{total} = 30\pi + 36\pi = 66\pi \approx 207{,}3 \text{ cm}^3

2Difficile

Section d'un solide par un plan

Énoncé

Un cube

ABCDEFGH

a pour arête

6

cm. On coupe le cube par le plan passant par

A

,

F

et

H

.
1. Quelle est la nature de la section ?
2. Calculer le périmètre de cette section.

Correction détaillée

01

Identification des points

Dans le cube,

A

,

F

et

H

sont des sommets non adjacents. On peut montrer que

AF = FH = HA = 6\sqrt{2}

cm (diagonales de faces carrées).

02

Calcul de $AF$

A

et

F

sont des extrémités d'une diagonale de face. Dans un carré de côté

6

cm :

AF = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm}

De même pour

FH

et

HA

.

03

Nature et périmètre

Les trois côtés sont égaux : la section est un triangle équilatéral de côté

6\sqrt{2}

cm.

P = 3 \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}5 \text{ cm}

3Intermédiaire

Aire totale et volume d'un cylindre et d'un prisme

Énoncé

1. Un cylindre a un rayon de

4

cm et une hauteur de

9

cm. Calculer son volume et son aire totale.
2. Un prisme droit à base triangulaire a une base rectangle de

5

cm

\times

12

cm et une hauteur de

8

cm. Calculer son volume.

Correction détaillée

01

Volume et aire du cylindre

V_\text{cylindre} = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 9 = 144\pi \approx 452{,}4 \text{ cm}^3

Aire latérale :

A_L = 2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 9 = 72\pi

.
Aire des deux bases :

A_B = 2\pi r^2 = 2\pi \times 16 = 32\pi

.

A_\text{totale} = 72\pi + 32\pi = 104\pi \approx 326{,}7 \text{ cm}^2

02

Identification du prisme

Le prisme a une base triangulaire rectangle de cathètes

5

cm et

12

cm.
Aire de la base triangulaire :

A_\text{base} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \text{ cm}^2

03

Volume du prisme

V_\text{prisme} = A_\text{base} \times h = 30 \times 8 = 240 \text{ cm}^3

L'hypoténuse de la base vaut

\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13

cm (triangle 5-12-13, triple pythagoricien).

4Difficile

Patron d'un cône et calcul de l'aire latérale

Énoncé

Un cône de révolution a un rayon de base

r = 5

cm et une hauteur

h = 12

cm.
1. Calculer la longueur de la génératrice

g

(apothème).
2. Calculer l'aire latérale du cône.
3. Calculer l'aire totale et le volume du cône.

Correction détaillée

01

Calcul de la génératrice $g$

La génératrice, le rayon et la hauteur forment un triangle rectangle :

g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}

02

Aire latérale du cône

L'aire latérale d'un cône est :

A_L = \pi r g = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi \approx 204{,}2 \text{ cm}^2

03

Aire totale et volume

Aire de la base :

A_B = \pi r^2 = 25\pi

.

A_\text{totale} = 65\pi + 25\pi = 90\pi \approx 282{,}7 \text{ cm}^2

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 25\pi \times 12 = 100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^3