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Chapitre 09 · Troisième

Géométrie dans l'Espace

Solides, sections et représentation en perspective

Réviser efficacement

Travailler Géométrie dans l'Espace en Troisième

Ce chapitre de géométrie dans l'espace en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours complet Voir le programme du niveau Méthodologie de révision

Prérequis

Reprendre les bases de 3ème liées à géométrie dans l'espace.
Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

Maîtriser les méthodes essentielles de géométrie dans l'espace.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Volume d'une sphère et d'un cône

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Énoncé

1. Calculer le volume d'une sphère de rayon

6

cm.
2. Une glace est composée d'un cône de rayon

3

cm et hauteur

10

cm surmonté d'une boule de rayon

3

cm. Calculer le volume total.

Correction détaillée

Volume de la sphère ($r = 6$ cm)

V_\text{sphère} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = \frac{4}{3} \times 216\pi = 288\pi \approx 904{,}8 \text{ cm}^3

Volume du cône de la glace

V_\text{cône} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi \text{ cm}^3

Volume total de la glace

V_\text{boule} = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3

V_\text{total} = 30\pi + 36\pi = 66\pi \approx 207{,}3 \text{ cm}^3

2Difficile

Section d'un solide par un plan

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Énoncé

Un cube

ABCDEFGH

a pour arête

6

cm. On coupe le cube par le plan passant par

A

F

H

.
1. Quelle est la nature de la section ?
2. Calculer le périmètre de cette section.

Correction détaillée

Identification des points

Dans le cube,

A

F

H

sont des sommets non adjacents. On peut montrer que

AF = FH = HA = 6\sqrt{2}

cm (diagonales de faces carrées).

Calcul de $AF$

A

F

sont des extrémités d'une diagonale de face. Dans un carré de côté

6

cm :

AF = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm}

De même pour

FH

HA

Nature et périmètre

Les trois côtés sont égaux : la section est un triangle équilatéral de côté

6\sqrt{2}

cm.

P = 3 \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}5 \text{ cm}

3Intermédiaire

Aire totale et volume d'un cylindre et d'un prisme

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Énoncé

1. Un cylindre a un rayon de

4

cm et une hauteur de

9

cm. Calculer son volume et son aire totale.
2. Un prisme droit à base triangulaire a une base rectangle de

5

\times

12

cm et une hauteur de

8

cm. Calculer son volume.

Correction détaillée

Volume et aire du cylindre

V_\text{cylindre} = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 9 = 144\pi \approx 452{,}4 \text{ cm}^3

Aire latérale :

A_L = 2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 9 = 72\pi

.
Aire des deux bases :

A_B = 2\pi r^2 = 2\pi \times 16 = 32\pi

A_\text{totale} = 72\pi + 32\pi = 104\pi \approx 326{,}7 \text{ cm}^2

Identification du prisme

Le prisme a une base triangulaire rectangle de cathètes

5

cm et

12

cm.
Aire de la base triangulaire :

A_\text{base} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \text{ cm}^2

Volume du prisme

V_\text{prisme} = A_\text{base} \times h = 30 \times 8 = 240 \text{ cm}^3

L'hypoténuse de la base vaut

\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13

cm (triangle 5-12-13, triple pythagoricien).

4Difficile

Patron d'un cône et calcul de l'aire latérale

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Énoncé

Un cône de révolution a un rayon de base

r = 5

cm et une hauteur

h = 12

cm.
1. Calculer la longueur de la génératrice

g

(apothème).
2. Calculer l'aire latérale du cône.
3. Calculer l'aire totale et le volume du cône.

Correction détaillée

Calcul de la génératrice $g$

La génératrice, le rayon et la hauteur forment un triangle rectangle :

g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}

Aire latérale du cône

L'aire latérale d'un cône est :

A_L = \pi r g = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi \approx 204{,}2 \text{ cm}^2

Aire totale et volume

Aire de la base :

A_B = \pi r^2 = 25\pi

A_\text{totale} = 65\pi + 25\pi = 90\pi \approx 282{,}7 \text{ cm}^2

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 25\pi \times 12 = 100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^3

5Intermédiaire

Agrandissement et réduction d'un solide

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Énoncé

Une maquette d'une pyramide à base carrée a une base de côté

4

cm et une hauteur de

6

cm.
On souhaite construire la vraie pyramide avec un rapport d'agrandissement

k = 50

.
1. Calculer les dimensions réelles de la pyramide.
2. Comparer les volumes de la maquette et de la vraie pyramide.
3. Calculer le volume de la vraie pyramide en

\text{m}^3

Correction détaillée

Dimensions réelles après agrandissement

Avec un rapport

k = 50

, chaque longueur est multipliée par

50

:
- Côté de la base :

4 \times 50 = 200

= 2

m
- Hauteur :

6 \times 50 = 300

= 3

m
La vraie pyramide a une base de

2

m de côté et une hauteur de

3

Rapport des volumes

Lorsqu'on agrandit avec un rapport

k

, les volumes sont multipliés par

k^3

\frac{V_\text{réelle}}{V_\text{maquette}} = k^3 = 50^3 = 125\ 000

La vraie pyramide a un volume

125\ 000

fois plus grand que la maquette.

Volume de la vraie pyramide

V_\text{maquette} = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 6 = \frac{1}{3} \times 16 \times 6 = 32 \text{ cm}^3

V_\text{réelle} = 32 \times 125\ 000 = 4\ 000\ 000 \text{ cm}^3

Conversion :

1 \text{ m}^3 = 10^6 \text{ cm}^3

, donc :

V_\text{réelle} = 4\ 000\ 000 \div 10^6 = 4 \text{ m}^3

On peut vérifier directement :

V = \dfrac{1}{3} \times 2^2 \times 3 = \dfrac{1}{3} \times 4 \times 3 = 4 \text{ m}^3

✓

6Facile

Volume d'un pavé droit

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Énoncé

Un pavé droit mesure

8

cm de long,

5

cm de large et

3

cm de haut.
1. Calculer son volume.
2. Calculer son aire totale.

Correction détaillée

Volume

V = 8 \times 5 \times 3 = 120 \text{ cm}^3

Aire totale

A = 2(8 \times 5 + 8 \times 3 + 5 \times 3) = 2(40 + 24 + 15) = 158 \text{ cm}^2

Conclusion

Le pavé droit a un volume de

120

cm³ et une aire totale de

158

cm².

7Facile

Volume d'une pyramide

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Énoncé

Une pyramide a une base carrée de côté

6

cm et une hauteur de

10

cm.
Calculer son volume.

Correction détaillée

Aire de la base

A_{\text{base}} = 6^2 = 36 \text{ cm}^2

Formule du volume

V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h

Calcul

V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120 \text{ cm}^3

8Intermédiaire

Cylindre de révolution

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Énoncé

Un cylindre a pour rayon

3

cm et pour hauteur

15

cm.
1. Calculer son volume.
2. Calculer son aire latérale.

Correction détaillée

Volume

V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 15 = 135\pi \text{ cm}^3

Aire latérale

A_L = 2\pi rh = 2\pi \times 3 \times 15 = 90\pi \text{ cm}^2

Valeurs approchées

V \approx 424{,}1 \text{ cm}^3 \quad \text{et} \quad A_L \approx 282{,}7 \text{ cm}^2

9Intermédiaire

Sphère

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Énoncé

Calculer le volume d'une sphère de rayon

4

cm.

Correction détaillée

Formule

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Application

V = \frac{4}{3}\pi \times 4^3 = \frac{256}{3}\pi \text{ cm}^3

Valeur approchée

V \approx 268{,}1 \text{ cm}^3

10Facile

Section parallèle à la base d'un cylindre

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Énoncé

On coupe un cylindre par un plan parallèle à sa base.
Quelle est la nature de la section obtenue ?

Correction détaillée

Observation

Dans un cylindre, les bases sont des disques.

Section parallèle

Un plan parallèle à la base coupe le cylindre suivant une figure de même nature que la base.

Conclusion

La section est donc un cercle.

11Facile

Conversion de volume

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Énoncé

Convertir :
1.

2{,}5 \ \text{dm}^3

\text{cm}^3

7500 \ \text{cm}^3

en litres

Correction détaillée

Première conversion

Comme

1 \ \text{dm}^3 = 1000 \ \text{cm}^3

2{,}5 \ \text{dm}^3 = 2500 \ \text{cm}^3

Deuxième conversion

Comme

1

litre

= 1 \ \text{dm}^3 = 1000 \ \text{cm}^3

7500 \ \text{cm}^3 = 7{,}5 \ \text{L}

Conclusion

On obtient

2500 \ \text{cm}^3

7{,}5

12Intermédiaire

Agrandissement d'un cube

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Énoncé

Une arête de cube passe de

2

cm à

8

cm.
1. Quel est le coefficient d'agrandissement ?
2. Par combien est multiplié le volume ?

Correction détaillée

Coefficient d'agrandissement

k = \frac{8}{2} = 4

Rapport des volumes

Les volumes sont multipliés par

k^3

4^3 = 64

Conclusion

Le volume est multiplié par 64.

13Intermédiaire

Cône de révolution

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Énoncé

Un cône a un rayon de base

4

cm et une hauteur de

9

cm.
Calculer son volume.

Correction détaillée

Formule

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Calcul

V = \frac{1}{3}\pi \times 4^2 \times 9 = 48\pi \text{ cm}^3

Valeur approchée

V \approx 150{,}8 \text{ cm}^3

14Intermédiaire

Section d'un cube par un plan parallèle à une face

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Énoncé

On coupe un cube par un plan parallèle à une face.
Quelle est la nature de la section ?

Correction détaillée

Forme des faces du cube

Toutes les faces d'un cube sont des carrés.

Effet d'un plan parallèle

Un plan parallèle à une face d'un solide donne une section de même forme que cette face.

Conclusion

La section obtenue est donc un carré.

15Difficile

Problème de contenance

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Énoncé

Un réservoir cylindrique a un rayon intérieur de

0{,}5

m et une hauteur de

1{,}8

m.
1. Calculer son volume en

\text{m}^3

.
2. Convertir ce volume en litres.

Correction détaillée

Volume du cylindre

V = \pi r^2 h = \pi \times 0{,}5^2 \times 1{,}8 = 0{,}45\pi \text{ m}^3

Valeur approchée

V \approx 1{,}41 \text{ m}^3

Conversion en litres

Comme

1 \text{ m}^3 = 1000

1{,}41 \text{ m}^3 \approx 1410 \text{ L}

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 08

Travailler Géométrie dans l'Espace en Troisième

Volume d'une sphère et d'un cône

Volume de la sphère ($r = 6$ cm)

Volume du cône de la glace

Volume total de la glace

Section d'un solide par un plan

Identification des points

Calcul de $AF$

Nature et périmètre

Aire totale et volume d'un cylindre et d'un prisme

Volume et aire du cylindre

Identification du prisme

Volume du prisme

Patron d'un cône et calcul de l'aire latérale

Calcul de la génératrice $g$

Aire latérale du cône

Aire totale et volume

Agrandissement et réduction d'un solide

Dimensions réelles après agrandissement

Rapport des volumes

Volume de la vraie pyramide

Volume d'un pavé droit

Volume

Aire totale

Conclusion

Volume d'une pyramide

Aire de la base

Formule du volume

Calcul

Cylindre de révolution

Volume

Aire latérale

Valeurs approchées

Sphère

Formule

Application

Valeur approchée

Section parallèle à la base d'un cylindre

Observation

Section parallèle

Conclusion

Conversion de volume

Première conversion

Deuxième conversion

Conclusion

Agrandissement d'un cube

Coefficient d'agrandissement

Rapport des volumes

Conclusion

Cône de révolution

Formule

Calcul

Valeur approchée

Section d'un cube par un plan parallèle à une face

Forme des faces du cube

Effet d'un plan parallèle

Conclusion

Problème de contenance

Volume du cylindre

Valeur approchée

Conversion en litres

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Chapitres liés à revoir ensuite

Calculs Numériques Avancés

Statistiques et Probabilités

Trigonométrie Avancée