MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 06 · Troisième

Trigonométrie Avancée

Applications dans des situations géométriques complexes

1Intermédiaire

Problème de hauteur par trigonométrie

Énoncé

On observe le sommet d'une tour depuis un point AA situé à 5050 m de la base. L'angle de visée (angle d'élévation) est de 62°62°. Calculer la hauteur hh de la tour.

Correction détaillée

01

Mise en place du triangle rectangle

On forme un triangle rectangle avec :
- l'angle de 62°62° au point AA
- le côté adjacent = 5050 m (distance horizontale)
- le côté opposé = hh (hauteur de la tour)
02

Application de la tangente

tan⁡(62°)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=h50\tan(62°) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{h}{50}
h=50×tan⁡(62°)≈50×1,8807≈94,0 mh = 50 \times \tan(62°) \approx 50 \times 1{,}8807 \approx 94{,}0 \text{ m}
03

Conclusion

La hauteur de la tour est d'environ 94\mathbf{94} mètres.
2Intermédiaire

Angle d'inclinaison d'une pente

Énoncé

Une route monte de 1212 m pour 100100 m de longueur horizontale. Calculer l'angle d'inclinaison α\alpha de cette route.

Correction détaillée

01

Identification des données

Le côté opposé à α\alpha est 1212 m (dénivelé) et le côté adjacent est 100100 m (longueur horizontale).
02

Calcul par arctan

tan⁡(α)=12100=0,12\tan(\alpha) = \frac{12}{100} = 0{,}12
α=arctan⁡(0,12)≈6,8°\alpha = \arctan(0{,}12) \approx 6{,}8°
03

Interprétation

La route a une inclinaison d'environ 6,8°\mathbf{6{,}8°}, ce qui correspond à une pente de 12%12\% (notation routière : 1212 m de montée pour 100100 m de distance horizontale).
3Facile

Calcul d'un côté par le cosinus et le sinus

Énoncé

Dans un triangle rectangle PQRPQR, l'angle droit est en QQ.
On sait que P^=35°\widehat{P} = 35° et PR=14PR = 14 cm.
1. Calculer PQPQ (côté adjacent à P^\widehat{P}).
2. Calculer QRQR (côté opposé à P^\widehat{P}).
3. Vérifier avec le théorème de Pythagore.

Correction détaillée

01

Calcul de $PQ$ par le cosinus

cos⁡(35°)=PQPR=PQ14\cos(35°) = \frac{PQ}{PR} = \frac{PQ}{14}
PQ=14×cos⁡(35°)≈14×0,8192≈11,47 cmPQ = 14 \times \cos(35°) \approx 14 \times 0{,}8192 \approx 11{,}47 \text{ cm}
02

Calcul de $QR$ par le sinus

sin⁡(35°)=QRPR=QR14\sin(35°) = \frac{QR}{PR} = \frac{QR}{14}
QR=14×sin⁡(35°)≈14×0,5736≈8,03 cmQR = 14 \times \sin(35°) \approx 14 \times 0{,}5736 \approx 8{,}03 \text{ cm}
03

Vérification par Pythagore

PQ2+QR2≈11,472+8,032≈131,6+64,5≈196,1≈142=196PQ^2 + QR^2 \approx 11{,}47^2 + 8{,}03^2 \approx 131{,}6 + 64{,}5 \approx 196{,}1 \approx 14^2 = 196 ✓
Les résultats sont cohérents.
4Difficile

Problème de navigation — cap et distance

Énoncé

Un bateau part du port OO et navigue 2020 km vers le nord jusqu'au point AA, puis tourne et navigue 1515 km vers l'est jusqu'au point BB.
1. Calculer la distance directe OBOB.
2. Calculer l'angle BOA^\widehat{BOA} (cap de retour depuis BB vers OO).
3. Exprimer cet angle en degré et interpréter.

Correction détaillée

01

Distance directe $OB$ par Pythagore

Le triangle OABOAB est rectangle en AA (nord puis est = angle droit).
OB=OA2+AB2=202+152=400+225=625=25 kmOB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ km}
02

Calcul de l'angle $\widehat{AOB}$

Dans le triangle rectangle OABOAB, AOB^\widehat{AOB} est l'angle en OO :
tan⁡(AOB^)=ABOA=1520=0,75\tan(\widehat{AOB}) = \frac{AB}{OA} = \frac{15}{20} = 0{,}75
AOB^=arctan⁡(0,75)≈36,9°\widehat{AOB} = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}9°
03

Interprétation nautique

Le bateau est à 25\mathbf{25} km du port.
Il doit s'orienter à environ 36,9°\mathbf{36{,}9°} à l'ouest du sud (ou cap S 36,9° OS\ 36{,}9°\ O) pour rentrer directement au port.
En navigation, cela correspond à un cap d'environ 216,9°216{,}9° (sud-ouest).