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Chapitre 06 · Troisième

Trigonométrie Avancée

Applications dans des situations géométriques complexes

Réviser efficacement

Travailler Trigonométrie Avancée en Troisième

Ce chapitre de trigonométrie avancée en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours complet Voir le programme du niveau Méthodologie de révision

Prérequis

Reprendre les bases de 3ème liées à trigonométrie avancée.
Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

Maîtriser les méthodes essentielles de trigonométrie avancée.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Problème de hauteur par trigonométrie

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Énoncé

On observe le sommet d'une tour depuis un point

A

situé à

50

m de la base. L'angle de visée (angle d'élévation) est de

62°

. Calculer la hauteur

h

de la tour.

Correction détaillée

Mise en place du triangle rectangle

On forme un triangle rectangle avec :
- l'angle de

62°

au point

A

- le côté adjacent =

50

m (distance horizontale)
- le côté opposé =

h

(hauteur de la tour)

Application de la tangente

\tan(62°) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{h}{50}

h = 50 \times \tan(62°) \approx 50 \times 1{,}8807 \approx 94{,}0 \text{ m}

Conclusion

La hauteur de la tour est d'environ

\mathbf{94}

mètres.

2Intermédiaire

Angle d'inclinaison d'une pente

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Énoncé

Une route monte de

12

m pour

100

m de longueur horizontale. Calculer l'angle d'inclinaison

\alpha

de cette route.

Correction détaillée

Identification des données

Le côté opposé à

\alpha

est

12

m (dénivelé) et le côté adjacent est

100

m (longueur horizontale).

Calcul par arctan

\tan(\alpha) = \frac{12}{100} = 0{,}12

\alpha = \arctan(0{,}12) \approx 6{,}8°

Interprétation

La route a une inclinaison d'environ

\mathbf{6{,}8°}

, ce qui correspond à une pente de

12\%

(notation routière :

12

m de montée pour

100

m de distance horizontale).

3Facile

Calcul d'un côté par le cosinus et le sinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle

PQR

, l'angle droit est en

Q

.
On sait que

\widehat{P} = 35°

PR = 14

cm.
1. Calculer

PQ

(côté adjacent à

\widehat{P}

).
2. Calculer

QR

(côté opposé à

\widehat{P}

).
3. Vérifier avec le théorème de Pythagore.

Correction détaillée

Calcul de $PQ$ par le cosinus

\cos(35°) = \frac{PQ}{PR} = \frac{PQ}{14}

PQ = 14 \times \cos(35°) \approx 14 \times 0{,}8192 \approx 11{,}47 \text{ cm}

Calcul de $QR$ par le sinus

\sin(35°) = \frac{QR}{PR} = \frac{QR}{14}

QR = 14 \times \sin(35°) \approx 14 \times 0{,}5736 \approx 8{,}03 \text{ cm}

Vérification par Pythagore

PQ^2 + QR^2 \approx 11{,}47^2 + 8{,}03^2 \approx 131{,}6 + 64{,}5 \approx 196{,}1 \approx 14^2 = 196

✓
Les résultats sont cohérents.

4Difficile

Problème de navigation — cap et distance

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Énoncé

Un bateau part du port

O

et navigue

20

km vers le nord jusqu'au point

A

, puis tourne et navigue

15

km vers l'est jusqu'au point

B

.
1. Calculer la distance directe

OB

.
2. Calculer l'angle

\widehat{BOA}

(cap de retour depuis

B

vers

O

).
3. Exprimer cet angle en degré et interpréter.

Correction détaillée

Distance directe $OB$ par Pythagore

Le triangle

OAB

est rectangle en

A

(nord puis est = angle droit).

OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ km}

Calcul de l'angle $\widehat{AOB}$

Dans le triangle rectangle

OAB

\widehat{AOB}

est l'angle en

O

\tan(\widehat{AOB}) = \frac{AB}{OA} = \frac{15}{20} = 0{,}75

\widehat{AOB} = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}9°

Interprétation nautique

Le bateau est à

\mathbf{25}

km du port.
Il doit s'orienter à environ

\mathbf{36{,}9°}

à l'ouest du sud (ou cap

S\ 36{,}9°\ O

) pour rentrer directement au port.
En navigation, cela correspond à un cap d'environ

216{,}9°

(sud-ouest).

5Intermédiaire

Trigonométrie dans un triangle isocèle

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Énoncé

Un triangle isocèle

ABC

est tel que

AB = AC = 13

cm et

BC = 10

cm.
1. Calculer la hauteur

AH

issue de

A

sur

[BC]

.
2. Calculer l'angle

\widehat{BAH}

en degrés.
3. En déduire l'angle

\widehat{BAC}

Correction détaillée

Calcul de $AH$ par Pythagore

La hauteur dans un triangle isocèle coupe la base en son milieu, donc

BH = \dfrac{10}{2} = 5

cm.
Dans le triangle rectangle

ABH

AH^2 = AB^2 - BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

AH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}

Calcul de l'angle $\widehat{BAH}$

Dans le triangle rectangle

ABH

\widehat{AHB} = 90°

BH = 5

cm (côté opposé à

\widehat{BAH}

) et

AH = 12

cm (côté adjacent) :

\tan(\widehat{BAH}) = \frac{BH}{AH} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167

\widehat{BAH} = \arctan\left(\frac{5}{12}\right) \approx 22{,}6°

Angle $\widehat{BAC}$

Par symétrie du triangle isocèle,

\widehat{CAH} = \widehat{BAH} \approx 22{,}6°

\widehat{BAC} = \widehat{BAH} + \widehat{CAH} = 2 \times 22{,}6° = 45{,}2°

Vérification avec le cosinus :

\cos(\widehat{BAH}) = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{12}{13} \approx 0{,}923

→

\widehat{BAH} \approx 22{,}6°

✓

6Facile

Calcul d'un angle par le cosinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle

\alpha

mesure

8

cm et l'hypoténuse mesure

10

cm.
Calculer

\alpha

Correction détaillée

Écriture du cosinus

\cos(\alpha) = \frac{8}{10} = 0{,}8

Angle recherché

\alpha = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°

Conclusion

L'angle mesure environ $36{,}9°$ .

7Facile

Calcul d'un angle par le sinus

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle

\beta

mesure

5

cm et l'hypoténuse mesure

13

cm.
Calculer

\beta

Correction détaillée

Écriture du sinus

\sin(\beta) = \frac{5}{13} \approx 0{,}3846

Angle

\beta = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22{,}6°

Conclusion

On obtient un angle d'environ $22{,}6°$ .

8Intermédiaire

Échelle appuyée contre un mur

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Énoncé

Une échelle mesure

7

m et fait un angle de

65°

avec le sol.
1. Calculer la hauteur atteinte sur le mur.
2. Calculer la distance du pied de l'échelle au mur.

Correction détaillée

Hauteur atteinte

La hauteur est le côté opposé à l'angle de

65°

h = 7 \times \sin(65°) \approx 7 \times 0{,}9063 \approx 6{,}34 \text{ m}

Distance au mur

La distance au mur est le côté adjacent :

d = 7 \times \cos(65°) \approx 7 \times 0{,}4226 \approx 2{,}96 \text{ m}

Conclusion

L'échelle atteint environ

6{,}34

m de haut et son pied est à environ

2{,}96

m du mur.

9Intermédiaire

Pente d'un toit

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Énoncé

Le pan d'un toit monte de

3{,}2

m pour une avancée horizontale de

4

m.
Calculer l'angle que fait le toit avec l'horizontale.

Correction détaillée

Tangente de l'angle

\tan(\alpha) = \frac{3{,}2}{4} = 0{,}8

Calcul de l'angle

\alpha = \arctan(0{,}8) \approx 38{,}7°

Interprétation

Le toit fait un angle d'environ $38{,}7°$ avec l'horizontale.

10Intermédiaire

Retrouver l'hypoténuse

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure

28°

et le côté adjacent à cet angle mesure

12

cm.
Calculer l'hypoténuse.

Correction détaillée

Cosinus

\cos(28°) = \frac{12}{h}

Isolement de $h$

h = \frac{12}{\cos(28°)} \approx \frac{12}{0{,}8829} \approx 13{,}6 \text{ cm}

Conclusion

L'hypoténuse mesure environ $13{,}6$ cm.

11Intermédiaire

Retrouver un côté opposé

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure

18

cm et l'angle aigu considéré vaut

40°

.
Calculer le côté opposé à cet angle.

Correction détaillée

Sinus

\sin(40°) = \frac{x}{18}

Calcul

x = 18 \times \sin(40°) \approx 18 \times 0{,}6428 \approx 11{,}6 \text{ cm}

Résultat

Le côté opposé mesure environ $11{,}6$ cm.

12Difficile

Distance inaccessible

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Énoncé

Depuis un point

A

, on voit le sommet d'une falaise sous un angle de

35°

. En s'avançant de

20

m vers la falaise jusqu'au point

B

, l'angle devient

50°

.
Déterminer la hauteur de la falaise.

Correction détaillée

Notations

On note

x

la distance du point

B

au pied de la falaise et

h

la hauteur.
Alors la distance du point

A

au pied vaut

x+20

Deux relations trigonométriques

\tan(35°) = \frac{h}{x+20} \quad \text{et} \quad \tan(50°) = \frac{h}{x}

Résolution approchée

On égalise les deux expressions de

h

x\tan(50°) = (x+20)\tan(35°)

Avec

\tan(50°) \approx 1{,}192

\tan(35°) \approx 0{,}700

1{,}192x = 0{,}700x + 14 \implies 0{,}492x = 14 \implies x \approx 28{,}5

Puis

h \approx 28{,}5 \times 1{,}192 \approx 34{,}0 \text{ m}

13Facile

Triangle rectangle et angle complémentaire

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure

31°

.
1. Calculer l'autre angle aigu.
2. Si l'hypoténuse mesure

20

cm, calculer le côté adjacent à l'angle de

31°

Correction détaillée

Angle complémentaire

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

90° - 31° = 59°

Cosinus

\cos(31°) = \frac{a}{20}

Calcul

a = 20 \times \cos(31°) \approx 20 \times 0{,}8572 \approx 17{,}1 \text{ cm}

14Intermédiaire

Mesure d'une rampe

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Énoncé

Une rampe monte jusqu'à une hauteur de

0{,}9

m avec un angle de

12°

par rapport au sol.
Quelle est la longueur de la rampe ?

Correction détaillée

Choix du rapport trigonométrique

La hauteur est le côté opposé et la rampe est l'hypoténuse.
On utilise donc le sinus :

\sin(12°) = \frac{0{,}9}{L}

Calcul

L = \frac{0{,}9}{\sin(12°)} \approx \frac{0{,}9}{0{,}2079} \approx 4{,}33 \text{ m}

Conclusion

La rampe mesure environ $4{,}33$ m.

15Difficile

Triangle rectangle complet

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Énoncé

Dans un triangle rectangle

ABC

A

, on sait que

\widehat{B}=52°

AC = 9

cm.
1. Calculer

BC

.
2. Calculer

AB

.
3. Calculer l'aire du triangle.

Correction détaillée

Calcul de l'hypoténuse

Le côté

AC

est opposé à l'angle

B

\sin(52°) = \frac{AC}{BC} = \frac{9}{BC}

BC = \frac{9}{\sin(52°)} \approx 11{,}4 \text{ cm}

Calcul de $AB$

\tan(52°) = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{AB}

AB = \frac{9}{\tan(52°)} \approx 7{,}0 \text{ cm}

Aire

\mathcal{A} = \frac{AB \times AC}{2} \approx \frac{7{,}0 \times 9}{2} \approx 31{,}5 \text{ cm}^2

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 05

Travailler Trigonométrie Avancée en Troisième

Problème de hauteur par trigonométrie

Mise en place du triangle rectangle

Application de la tangente

Conclusion

Angle d'inclinaison d'une pente

Identification des données

Calcul par arctan

Interprétation

Calcul d'un côté par le cosinus et le sinus

Calcul de $PQ$ par le cosinus

Calcul de $QR$ par le sinus

Vérification par Pythagore

Problème de navigation — cap et distance

Distance directe $OB$ par Pythagore

Calcul de l'angle $\widehat{AOB}$

Interprétation nautique

Trigonométrie dans un triangle isocèle

Calcul de $AH$ par Pythagore

Calcul de l'angle $\widehat{BAH}$

Angle $\widehat{BAC}$

Calcul d'un angle par le cosinus

Écriture du cosinus

Angle recherché

Conclusion

Calcul d'un angle par le sinus

Écriture du sinus

Angle

Conclusion

Échelle appuyée contre un mur

Hauteur atteinte

Distance au mur

Conclusion

Pente d'un toit

Tangente de l'angle

Calcul de l'angle

Interprétation

Retrouver l'hypoténuse

Cosinus

Isolement de $h$

Conclusion

Retrouver un côté opposé

Sinus

Calcul

Résultat

Distance inaccessible

Notations

Deux relations trigonométriques

Résolution approchée

Triangle rectangle et angle complémentaire

Angle complémentaire

Cosinus

Calcul

Mesure d'une rampe

Choix du rapport trigonométrique

Calcul

Conclusion

Triangle rectangle complet

Calcul de l'hypoténuse

Calcul de $AB$

Aire

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Pythagore et Thalès — Applications

Statistiques et Probabilités

Systèmes d'Équations