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Chapitre 05 · Troisième

Pythagore et Thalès — Applications

Problèmes combinant les deux théorèmes

Réviser efficacement

Travailler Pythagore et Thalès — Applications en Troisième

Ce chapitre de pythagore et thalès — applications en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

Repérer précisément les données de la figure et les codages utiles.
Identifier la propriété géométrique avant de commencer les calculs.

Compétences à maîtriser

Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Erreurs fréquentes

Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
Oublier de vérifier les conditions d’application.

En contrôle ou en examen : Les chapitres de géométrie rapportent des points quand la rédaction reste rigoureuse.

1Intermédiaire

Calcul de hauteur par Pythagore

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Énoncé

Un triangle isocèle

ABC

AB = AC = 10

cm et

BC = 12

cm.
Calculer la hauteur

AH

issue de

A

sur

[BC]

Correction détaillée

Propriété du triangle isocèle

Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane. Donc

H

est le milieu de

[BC]

BH = HC = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}

Application de Pythagore dans le triangle $ABH$

ABH

est rectangle en

H

(par définition de la hauteur) :

AH^2 = AB^2 - BH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64

Conclusion

AH = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}

2Difficile

Calcul par Thalès puis Pythagore

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Énoncé

Dans un triangle

OAB

rectangle en

O

avec

OA = 6

cm et

OB = 8

cm,

M

est un point de

[OA]

tel que

OM = 3

cm.

(MN) \parallel (AB)

avec

N \in [OB]

.
1. Calculer

ON

MN

.
2. Calculer la longueur

MN

par Pythagore pour vérifier.

Correction détaillée

Calcul de $ON$ par Thalès

\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} \implies \frac{3}{6} = \frac{ON}{8} \implies ON = \frac{3 \times 8}{6} = 4 \text{ cm}

Calcul de $MN$ par Thalès

\frac{MN}{AB} = \frac{OM}{OA} = \frac{1}{2}

AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{36+64} = 10

cm (Pythagore dans

OAB

MN = \frac{AB}{2} = 5 \text{ cm}

Vérification par Pythagore dans $OMN$

OMN

est rectangle en

O

(angle droit hérité de

OAB

) avec

OM = 3

cm et

ON = 4

cm :

MN = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

✓

3Facile

Vérifier qu'un triangle est rectangle

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Énoncé

On donne un triangle

KLM

avec

KL = 9

cm,

LM = 12

cm et

KM = 15

cm.
1. Calculer

KL^2 + LM^2

KM^2

.
2. Conclure sur la nature du triangle.
3. En déduire l'aire du triangle

KLM

Correction détaillée

Calcul des carrés des côtés

KL^2 = 9^2 = 81 \quad LM^2 = 12^2 = 144 \quad KM^2 = 15^2 = 225

KL^2 + LM^2 = 81 + 144 = 225 = KM^2

Application de la réciproque de Pythagore

Comme

KL^2 + LM^2 = KM^2

, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

KLM

est rectangle en $L$ (l'angle droit est opposé au plus grand côté

KM

Calcul de l'aire

Les deux côtés de l'angle droit sont

KL = 9

cm et

LM = 12

cm :

\text{Aire} = \frac{1}{2} \times KL \times LM = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2

4Intermédiaire

Thalès — calcul de longueur dans une situation réelle

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Énoncé

Un arbre et un poteau sont alignés avec le soleil. L'arbre de hauteur inconnue

h

projette une ombre de

8

m. Un poteau de

1{,}5

m projette une ombre de

2

m au même moment.
1. Dessiner la situation et nommer les triangles.
2. Énoncer pourquoi le théorème de Thalès s'applique.
3. Calculer la hauteur

h

de l'arbre.

Correction détaillée

Schéma et triangles

On note

S

le point d'émission de la lumière (le soleil, très loin). Les rayons sont parallèles.
On forme deux triangles semblables : l'un avec le poteau (hauteur

1{,}5

m, ombre

2

m) et l'autre avec l'arbre (hauteur

h

, ombre

8

m).

Justification de l'application de Thalès

Les rayons du soleil étant parallèles, les triangles formés par chaque objet et son ombre sont semblables. On peut appliquer le théorème de Thalès (ou la proportionnalité des triangles semblables).

Calcul de $h$

\frac{h}{1{,}5} = \frac{8}{2} = 4

h = 4 \times 1{,}5 = 6 \text{ m}

L'arbre mesure 6 mètres de hauteur.

5Difficile

Thalès dans un trapèze

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Énoncé

Dans le trapèze

ABCD

(BC) \parallel (AD)

, avec

AB = 10

cm,

BC = 6

cm et

AD = 15

cm.
Les diagonales

[AC]

[BD]

se coupent en

O

.
1. Montrer que

O

divise

[AC]

[BD]

dans le même rapport.
2. Calculer

OA

OC

.
3. Calculer

OB

OD

Correction détaillée

Application du théorème de Thalès

Les droites

(BC)

(AD)

sont parallèles, et les droites

(AB)

(CD)

sont des sécantes qui se coupent en

O

.
Par le théorème de Thalès :

\frac{OB}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

O

divise chaque diagonale dans le rapport

2:5

Calcul de $OA$ et $OC$

On a

OC + OA = AC

. De plus

\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{2}{5}

, donc

OC = \dfrac{2}{5}OA

.
Pour trouver

AC

, on utilise les données du trapèze. Dans ce problème, on cherche le rapport :

OC = \frac{2}{7} \times AC \quad \text{et} \quad OA = \frac{5}{7} \times AC

car

OC : OA = 2 : 5

, donc

OC + OA = 7

parts au total.

Calcul de $OB$ et $OD$ à partir de $AB$

De même,

OB + OD = BD

OB : OD = 2 : 5

OB = \frac{2}{7} \times BD \quad \text{et} \quad OD = \frac{5}{7} \times BD

BD = 14

cm (donnée supplémentaire type brevet), alors :

OB = \frac{2}{7} \times 14 = 4 \text{ cm} \quad \text{et} \quad OD = \frac{5}{7} \times 14 = 10 \text{ cm}

Vérification :

OB + OD = 4 + 10 = 14

cm ✓ et

\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}

✓

6Facile

Calculer une hypoténuse

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit mesurent

6

cm et

8

cm.
Calculer l'hypoténuse.

Correction détaillée

Application de Pythagore

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

Extraction de la racine carrée

c = \sqrt{100} = 10

Conclusion

L'hypoténuse mesure 10 cm.

7Facile

Calculer un côté de l'angle droit

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Énoncé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure

13

cm et un côté de l'angle droit mesure

5

cm.
Calculer l'autre côté.

Correction détaillée

Pythagore

x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

Racine carrée

x = \sqrt{144} = 12

Conclusion

Le second côté de l'angle droit mesure 12 cm.

8Intermédiaire

Réciproque de Thalès

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Énoncé

Dans le triangle

ABC

, on a

M \in [AB]

N \in [AC]

AB = 12

cm,

AC = 18

cm,

AM = 8

cm et

AN = 12

cm.
Montrer que

(MN)

est parallèle à

(BC)

Correction détaillée

Calcul des rapports

\frac{AM}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

\frac{AN}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

Comparaison

Les points

M

N

sont sur les côtés

[AB]

[AC]

du triangle, et on a des rapports égaux.

Conclusion

D'après la réciproque du théorème de Thalès, on conclut que :

(MN) \parallel (BC)

9Intermédiaire

Longueur avec triangles semblables

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Énoncé

Dans le triangle

ABC

M \in [AB]

N \in [AC]

(MN) \parallel (BC)

.
On connaît

AB = 15

cm,

AM = 9

cm et

BC = 20

cm.
Calculer

MN

Correction détaillée

Thalès

\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}

Donc

\frac{9}{15} = \frac{MN}{20}

Calcul

MN = 20 \times \frac{9}{15} = 20 \times \frac{3}{5} = 12

Conclusion

La longueur

MN

vaut 12 cm.

10Intermédiaire

Diagonale d'un rectangle

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Énoncé

Un rectangle mesure

9

cm sur

12

cm.
1. Calculer la longueur de sa diagonale.
2. Calculer son aire.

Correction détaillée

Diagonale par Pythagore

d^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225

d = 15 \text{ cm}

Aire

\mathcal{A} = 9 \times 12 = 108 \text{ cm}^2

Conclusion

Le rectangle a une diagonale de

15

cm et une aire de

108

cm².

11Intermédiaire

Échelle et Thalès

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Énoncé

Sur une carte,

3

cm représentent

12

km dans la réalité.
1. Quelle distance réelle représentent

7{,}5

cm ?
2. Quelle longueur sur la carte représente

20

km ?

Correction détaillée

Proportionnalité

\frac{3}{12} = \frac{7{,}5}{x}

On a le même coefficient de proportionnalité.

Distance réelle correspondant à $7{,}5$ cm

x = \frac{12 \times 7{,}5}{3} = 30

Donc

7{,}5

cm représentent

30

km.

Longueur sur la carte pour $20$ km

\frac{3}{12} = \frac{y}{20} \implies y = \frac{3 \times 20}{12} = 5

Il faut

5

cm sur la carte.

12Intermédiaire

Nature d'un triangle

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Énoncé

Un triangle a pour côtés

7

cm,

24

cm et

25

cm.
Montrer qu'il est rectangle.

Correction détaillée

Carrés des longueurs

7^2 = 49, \quad 24^2 = 576, \quad 25^2 = 625

Comparaison

7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2

Conclusion

D'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle. L'angle droit est opposé au côté de

25

cm.

13Intermédiaire

Hauteur d'un mur avec une échelle

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Énoncé

Une échelle de

6{,}5

m est posée contre un mur. Son pied est à

2{,}5

m du mur.
À quelle hauteur arrive-t-elle ?

Correction détaillée

Triangle rectangle

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse.

Calcul par Pythagore

h^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36

Résultat

h = 6

L'échelle atteint une hauteur de 6 m.

14Difficile

Segment parallèle dans un triangle

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Énoncé

Dans le triangle

ABC

M \in [AB]

N \in [AC]

(MN) \parallel (BC)

.
On connaît

AB = 14

cm,

AC = 21

cm et

AM = 10

cm.
Calculer

AN

Correction détaillée

Application de Thalès

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}

Donc

\frac{10}{14} = \frac{AN}{21}

Calcul

AN = 21 \times \frac{10}{14} = 21 \times \frac{5}{7} = 15

Conclusion

La longueur

AN

vaut 15 cm.

15Difficile

Combinaison Thalès et Pythagore

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Énoncé

Dans un triangle rectangle

ABC

A

, on a

AB = 6

cm et

AC = 8

cm.

M

est un point de

[AB]

tel que

AM = 4{,}5

cm. La parallèle à

(BC)

passant par

M

coupe

[AC]

N

.
1. Calculer

BC

.
2. Calculer

AN

.
3. Calculer

MN

Correction détaillée

Calcul de $BC$

BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

Calcul de $AN$ par Thalès

Comme

(MN) \parallel (BC)

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

\frac{4{,}5}{6} = \frac{AN}{8} = \frac{3}{4}

Donc

AN = 8 \times \frac{3}{4} = 6 \text{ cm}

Calcul de $MN$

MN = BC \times \frac{3}{4} = 10 \times \frac{3}{4} = 7{,}5 \text{ cm}

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 04

Travailler Pythagore et Thalès — Applications en Troisième

Calcul de hauteur par Pythagore

Propriété du triangle isocèle

Application de Pythagore dans le triangle $ABH$

Conclusion

Calcul par Thalès puis Pythagore

Calcul de $ON$ par Thalès

Calcul de $MN$ par Thalès

Vérification par Pythagore dans $OMN$

Vérifier qu'un triangle est rectangle

Calcul des carrés des côtés

Application de la réciproque de Pythagore

Calcul de l'aire

Thalès — calcul de longueur dans une situation réelle

Schéma et triangles

Justification de l'application de Thalès

Calcul de $h$

Thalès dans un trapèze

Application du théorème de Thalès

Calcul de $OA$ et $OC$

Calcul de $OB$ et $OD$ à partir de $AB$

Calculer une hypoténuse

Application de Pythagore

Extraction de la racine carrée

Conclusion

Calculer un côté de l'angle droit

Pythagore

Racine carrée

Conclusion

Réciproque de Thalès

Calcul des rapports

Comparaison

Conclusion

Longueur avec triangles semblables

Thalès

Calcul

Conclusion

Diagonale d'un rectangle

Diagonale par Pythagore

Aire

Conclusion

Échelle et Thalès

Proportionnalité

Distance réelle correspondant à $7{,}5$ cm

Longueur sur la carte pour $20$ km

Nature d'un triangle

Carrés des longueurs

Comparaison

Conclusion

Hauteur d'un mur avec une échelle

Triangle rectangle

Calcul par Pythagore

Résultat

Segment parallèle dans un triangle

Application de Thalès

Calcul

Conclusion

Combinaison Thalès et Pythagore

Calcul de $BC$

Calcul de $AN$ par Thalès

Calcul de $MN$

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Systèmes d'Équations

Trigonométrie Avancée

Fonctions et Représentations