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Chapitre 05 · Troisième

Pythagore et Thalès — Applications

Problèmes combinant les deux théorèmes

1Intermédiaire

Calcul de hauteur par Pythagore

Énoncé

Un triangle isocèle ABCABC a AB=AC=10AB = AC = 10 cm et BC=12BC = 12 cm.
Calculer la hauteur AHAH issue de AA sur [BC][BC].

Correction détaillée

01

Propriété du triangle isocèle

Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane. Donc HH est le milieu de [BC][BC] :
BH=HC=122=6 cmBH = HC = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}
02

Application de Pythagore dans le triangle $ABH$

ABHABH est rectangle en HH (par définition de la hauteur) :
AH2=AB2−BH2=102−62=100−36=64AH^2 = AB^2 - BH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64
03

Conclusion

AH=64=8 cmAH = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
2Difficile

Calcul par Thalès puis Pythagore

Énoncé

Dans un triangle OABOAB rectangle en OO avec OA=6OA = 6 cm et OB=8OB = 8 cm, MM est un point de [OA][OA] tel que OM=3OM = 3 cm. (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB) avec N∈[OB]N \in [OB].
1. Calculer ONON et MNMN.
2. Calculer la longueur MNMN par Pythagore pour vérifier.

Correction détaillée

01

Calcul de $ON$ par Thalès

OMOA=ONOB  ⟹  36=ON8  ⟹  ON=3×86=4 cm\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} \implies \frac{3}{6} = \frac{ON}{8} \implies ON = \frac{3 \times 8}{6} = 4 \text{ cm}
02

Calcul de $MN$ par Thalès

MNAB=OMOA=12\frac{MN}{AB} = \frac{OM}{OA} = \frac{1}{2}
AB=OA2+OB2=36+64=10AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{36+64} = 10 cm (Pythagore dans OABOAB).
MN=AB2=5 cmMN = \frac{AB}{2} = 5 \text{ cm}
03

Vérification par Pythagore dans $OMN$

OMNOMN est rectangle en OO (angle droit hérité de OABOAB) avec OM=3OM = 3 cm et ON=4ON = 4 cm :
MN=32+42=9+16=25=5 cmMN = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} ✓
3Facile

Vérifier qu'un triangle est rectangle

Énoncé

On donne un triangle KLMKLM avec KL=9KL = 9 cm, LM=12LM = 12 cm et KM=15KM = 15 cm.
1. Calculer KL2+LM2KL^2 + LM^2 et KM2KM^2.
2. Conclure sur la nature du triangle.
3. En déduire l'aire du triangle KLMKLM.

Correction détaillée

01

Calcul des carrés des côtés

KL2=92=81LM2=122=144KM2=152=225KL^2 = 9^2 = 81 \quad LM^2 = 12^2 = 144 \quad KM^2 = 15^2 = 225
KL2+LM2=81+144=225=KM2KL^2 + LM^2 = 81 + 144 = 225 = KM^2
02

Application de la réciproque de Pythagore

Comme KL2+LM2=KM2KL^2 + LM^2 = KM^2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLMKLM est rectangle en LL (l'angle droit est opposé au plus grand côté KMKM).
03

Calcul de l'aire

Les deux côtés de l'angle droit sont KL=9KL = 9 cm et LM=12LM = 12 cm :
Aire=12×KL×LM=12×9×12=54 cm2\text{Aire} = \frac{1}{2} \times KL \times LM = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2
4Intermédiaire

Thalès — calcul de longueur dans une situation réelle

Énoncé

Un arbre et un poteau sont alignés avec le soleil. L'arbre de hauteur inconnue hh projette une ombre de 88 m. Un poteau de 1,51{,}5 m projette une ombre de 22 m au même moment.
1. Dessiner la situation et nommer les triangles.
2. Énoncer pourquoi le théorème de Thalès s'applique.
3. Calculer la hauteur hh de l'arbre.

Correction détaillée

01

Schéma et triangles

On note SS le point d'émission de la lumière (le soleil, très loin). Les rayons sont parallèles.
On forme deux triangles semblables : l'un avec le poteau (hauteur 1,51{,}5 m, ombre 22 m) et l'autre avec l'arbre (hauteur hh, ombre 88 m).
02

Justification de l'application de Thalès

Les rayons du soleil étant parallèles, les triangles formés par chaque objet et son ombre sont semblables. On peut appliquer le théorème de Thalès (ou la proportionnalité des triangles semblables).
03

Calcul de $h$

h1,5=82=4\frac{h}{1{,}5} = \frac{8}{2} = 4
h=4×1,5=6 mh = 4 \times 1{,}5 = 6 \text{ m}
L'arbre mesure 6 mètres de hauteur.