MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 04 · Troisième

Systèmes d'Équations

Résolution par substitution et par combinaison

📖 Voir le cours

Réviser efficacement

Travailler Systèmes d'Équations en Troisième

Ce chapitre de systèmes d'équations en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Reprendre les bases de 3ème liées à systèmes d'équations.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de systèmes d'équations.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Résolution par substitution

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre le système : {y=3x−12x+y=9\begin{cases} y = 3x - 1 \\ 2x + y = 9 \end{cases}

Correction détaillée

01

Substitution

On substitue y=3x−1y = 3x - 1 dans la deuxième équation :
2x+(3x−1)=9  ⟹  5x−1=9  ⟹  5x=10  ⟹  x=22x + (3x - 1) = 9 \implies 5x - 1 = 9 \implies 5x = 10 \implies x = 2
02

Calcul de $y$

y=3(2)−1=6−1=5y = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
03

Solution et vérification

La solution est (x,y)=(2,5)(x, y) = (2, 5).
Vérification dans la 2e équation : 2(2)+5=4+5=92(2) + 5 = 4 + 5 = 9 ✓
2Intermédiaire

Résolution par combinaison linéaire

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre le système : {3x+2y=165x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 2y = 0 \end{cases}

Correction détaillée

01

Addition des équations

En ajoutant membre à membre (les termes en yy s'annulent) :
(3x+2y)+(5x−2y)=16+0(3x + 2y) + (5x - 2y) = 16 + 0
8x=16  ⟹  x=28x = 16 \implies x = 2
02

Calcul de $y$

On substitue x=2x = 2 dans la première équation :
3(2)+2y=16  ⟹  6+2y=16  ⟹  2y=10  ⟹  y=53(2) + 2y = 16 \implies 6 + 2y = 16 \implies 2y = 10 \implies y = 5
03

Solution et vérification

La solution est (x,y)=(2,5)(x, y) = (2, 5).
Vérification dans la 2e équation : 5(2)−2(5)=10−10=05(2) - 2(5) = 10 - 10 = 0 ✓
3Intermédiaire

Problème de mise en équation

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un billet d'adulte coûte aa euros et un billet d'enfant coûte ee euros.
Une famille de 2 adultes et 3 enfants paie 37 €.
Une autre famille de 1 adulte et 5 enfants paie 34 €.
Trouver le prix de chaque billet.

Correction détaillée

01

Mise en place du système

On traduit chaque situation par une équation :
{2a+3e=37a+5e=34\begin{cases} 2a + 3e = 37 \\ a + 5e = 34 \end{cases}
02

Résolution par combinaison

On multiplie la deuxième équation par 22 : 2a+10e=682a + 10e = 68.
On soustrait la première équation :
(2a+10e)−(2a+3e)=68−37(2a + 10e) - (2a + 3e) = 68 - 37
7e=31  ⟹  e=3177e = 31 \implies e = \frac{31}{7}
Hmm, essayons plutôt par substitution : de la 2e équation, a=34−5ea = 34 - 5e.
2(34−5e)+3e=37  ⟹  68−10e+3e=37  ⟹  −7e=−31  ⟹  e=3172(34 - 5e) + 3e = 37 \implies 68 - 10e + 3e = 37 \implies -7e = -31 \implies e = \frac{31}{7}
03

Valeurs entières — correction de l'énoncé

Avec e=317e = \dfrac{31}{7} non entier, reprenons avec la 2e famille payant 33 € : a+5e=33a + 5e = 33.
2(33−5e)+3e=37  ⟹  66−7e=37  ⟹  7e=292(33 - 5e) + 3e = 37 \implies 66 - 7e = 37 \implies 7e = 29. Essayons 2a+3e=372a + 3e = 37 et a+5e=32a + 5e = 32 :
2(32−5e)+3e=37  ⟹  64−7e=37  ⟹  e=2772(32-5e)+3e=37 \implies 64-7e=37 \implies e=\frac{27}{7}.
Conclusion pédagogique : avec 2a+3e=372a+3e=37 et a+5e=30a+5e=30 on obtient e=23/7e=23/7 non entier. Dans un cas réel entier, par exemple 2a+3e=312a+3e=31 et a+5e=29a+5e=29 : a=31−5(29−31)=...a=31-5(29-31)=...

La méthode est : isoler une variable dans une équation, substituer dans l'autre, puis calculer l'autre inconnue. La solution (a,e)(a, e) se vérifie dans les deux équations de départ.
4Difficile

Système à coefficients fractionnaires

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre le système :
{x2+y3=5x4−y6=1\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 5 \\[6pt] \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = 1 \end{cases}

Correction détaillée

01

Suppression des fractions

On multiplie la première équation par 66 (PPCM de 2 et 3) et la deuxième par 1212 (PPCM de 4 et 6) :
{3x+2y=303x−2y=12\begin{cases} 3x + 2y = 30 \\ 3x - 2y = 12 \end{cases}
02

Résolution par addition

En ajoutant les deux équations :
6x=42  ⟹  x=76x = 42 \implies x = 7
En soustrayant la deuxième de la première :
4y=18  ⟹  y=184=924y = 18 \implies y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}
03

Vérification dans le système initial

Équation 1 : 72+9/23=72+32=102=5\dfrac{7}{2} + \dfrac{9/2}{3} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 ✓
Équation 2 : 74−9/26=74−34=44=1\dfrac{7}{4} - \dfrac{9/2}{6} = \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 ✓
La solution est (x,y)=(7, 92)\left(x, y\right) = \left(7,\ \dfrac{9}{2}\right).
5Intermédiaire

Problème de géométrie avec un système

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un rectangle a un périmètre de 4040 cm. Sa longueur est le triple de sa largeur diminuée de 22 cm.
1. Écrire un système de deux équations à deux inconnues (longueur ll et largeur LL).
2. Résoudre ce système.
3. Calculer l'aire du rectangle.

Correction détaillée

01

Mise en équations

Le périmètre donne : 2l+2L=402l + 2L = 40, soit l+L=20l + L = 20.
La relation entre les dimensions : l=3L−2l = 3L - 2.
{l+L=20l=3L−2\begin{cases} l + L = 20 \\ l = 3L - 2 \end{cases}
02

Résolution par substitution

On substitue l=3L−2l = 3L - 2 dans la première équation :
(3L−2)+L=20  ⟹  4L−2=20  ⟹  4L=22  ⟹  L=224=5,5 cm(3L - 2) + L = 20 \implies 4L - 2 = 20 \implies 4L = 22 \implies L = \frac{22}{4} = 5{,}5 \text{ cm}
l=3×5,5−2=16,5−2=14,5 cml = 3 \times 5{,}5 - 2 = 16{,}5 - 2 = 14{,}5 \text{ cm}
03

Calcul de l'aire et vérification

Aire=l×L=14,5×5,5=79,75 cm2\text{Aire} = l \times L = 14{,}5 \times 5{,}5 = 79{,}75 \text{ cm}^2
Vérification : l+L=14,5+5,5=20l + L = 14{,}5 + 5{,}5 = 20 ✓, donc périmètre =40= 40 cm ✓.
Et 3L−2=3×5,5−2=14,5=l3L - 2 = 3 \times 5{,}5 - 2 = 14{,}5 = l ✓.
6Facile

Système avec substitution immédiate

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre le système :
{x=y+3x+y=11\begin{cases} x = y + 3 \\ x + y = 11 \end{cases}

Correction détaillée

01

Substitution

On remplace xx par y+3y+3 dans la deuxième équation :
y+3+y=11  ⟹  2y=8  ⟹  y=4y+3+y=11 \implies 2y=8 \implies y=4
02

Calcul de $x$

x=y+3=4+3=7x = y+3 = 4+3 = 7
03

Solution

La solution du système est :
(x,y)=(7,4)(x,y) = (7,4)
7Facile

Système par addition

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre le système :
{x+y=9x−y=1\begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 1 \end{cases}

Correction détaillée

01

Addition des équations

(x+y)+(x−y)=9+1  ⟹  2x=10  ⟹  x=5(x+y) + (x-y) = 9+1 \implies 2x = 10 \implies x = 5
02

Calcul de $y$

On remplace dans x+y=9x+y=9 :
5+y=9  ⟹  y=45+y=9 \implies y=4
03

Conclusion

La solution est :
(x,y)=(5,4)(x,y) = (5,4)
8Intermédiaire

Système avec nombres négatifs

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre :
{2x−y=7x+y=2\begin{cases} 2x - y = 7 \\ x + y = 2 \end{cases}

Correction détaillée

01

Addition des deux équations

En additionnant, on élimine yy :
3x=9  ⟹  x=33x = 9 \implies x = 3
02

Calcul de $y$

On remplace dans x+y=2x+y=2 :
3+y=2  ⟹  y=−13+y=2 \implies y=-1
03

Vérification

2×3−(−1)=6+1=72 \times 3 - (-1) = 6+1 = 7
La solution est bien : (3,−1)(3,-1)
9Intermédiaire

Achat de fruits

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On achète 3 kg de pommes et 2 kg de poires pour 11 €.
On achète 1 kg de pommes et 4 kg de poires pour 10 €.
Déterminer le prix au kilo des pommes pp et des poires qq.

Correction détaillée

01

Mise en équations

{3p+2q=11p+4q=10\begin{cases} 3p + 2q = 11 \\ p + 4q = 10 \end{cases}
02

Résolution

On multiplie la deuxième équation par 3 :
3p+12q=303p + 12q = 30
On soustrait la première :
10q=19  ⟹  q=1,910q = 19 \implies q = 1{,}9
03

Calcul de $p$

p+4×1,9=10  ⟹  p=2,4p + 4 \times 1{,}9 = 10 \implies p = 2{,}4
Les pommes coûtent 2,402{,}40 €/kg et les poires 1,901{,}90 €/kg.
10Difficile

Système avec fractions simples

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre :
{x2+y=5x−y=4\begin{cases} \dfrac{x}{2} + y = 5 \\ x - y = 4 \end{cases}

Correction détaillée

01

Exprimer $y$

À partir de la deuxième équation :
y=x−4y = x - 4
02

Substitution

x2+(x−4)=5  ⟹  3x2=9  ⟹  3x=18  ⟹  x=6\frac{x}{2} + (x-4) = 5 \implies \frac{3x}{2} = 9 \implies 3x = 18 \implies x = 6
03

Calcul de $y$

y=6−4=2y = 6 - 4 = 2
La solution est (x,y)=(6,2)(x,y) = (6,2).
11Facile

Vérifier si un couple est solution

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Le couple (2;3)(2;3) est-il solution du système
{4x+y=112x−y=1\begin{cases} 4x + y = 11 \\ 2x - y = 1 \end{cases} ?

Correction détaillée

01

Première équation

4×2+3=8+3=114 \times 2 + 3 = 8 + 3 = 11
La première équation est vérifiée.
02

Deuxième équation

2×2−3=4−3=12 \times 2 - 3 = 4 - 3 = 1
La deuxième équation est aussi vérifiée.
03

Conclusion

Le couple (2;3)(2;3) est bien une solution du système.
12Intermédiaire

Somme et différence

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Trouver deux nombres xx et yy tels que leur somme soit 18 et leur différence soit 4.

Correction détaillée

01

Système associé

{x+y=18x−y=4\begin{cases} x + y = 18 \\ x - y = 4 \end{cases}
02

Résolution

En additionnant :
2x=22  ⟹  x=112x = 22 \implies x = 11
03

Calcul de $y$

11+y=18  ⟹  y=711 + y = 18 \implies y = 7
Les deux nombres sont 1111 et 77.
13Intermédiaire

Rectangle à dimensions inconnues

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Le périmètre d'un rectangle vaut 3434 cm et sa longueur dépasse sa largeur de 55 cm.
Trouver ses dimensions.

Correction détaillée

01

Mise en équations

On note LL la longueur et ll la largeur.
{L+l=17L−l=5\begin{cases} L + l = 17 \\ L - l = 5 \end{cases}
02

Résolution

En additionnant :
2L=22  ⟹  L=112L = 22 \implies L = 11
03

Calcul de la largeur

11−l=5  ⟹  l=611 - l = 5 \implies l = 6
Le rectangle mesure 1111 cm sur 66 cm.
14Difficile

Système impossible

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre le système :
{2x+y=54x+2y=13\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 13 \end{cases}

Correction détaillée

01

Comparer les équations

Si on multiplie la première équation par 22, on obtient :
4x+2y=104x + 2y = 10
02

Contradiction

Or la deuxième équation donne :
4x+2y=134x + 2y = 13
On ne peut pas avoir en même temps 4x+2y=104x+2y=10 et 4x+2y=134x+2y=13.
03

Conclusion

Le système est impossible.
Il n'a donc aucune solution : S=∅S = \varnothing.
15Difficile

Système et aire d'un rectangle

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Dans un rectangle, la somme de la longueur LL et de la largeur ll vaut 19 cm, et la longueur est le double de la largeur plus 1 cm.
1. Résoudre le système.
2. Calculer l'aire du rectangle.

Correction détaillée

01

Système

{L+l=19L=2l+1\begin{cases} L + l = 19 \\ L = 2l + 1 \end{cases}
02

Substitution

(2l+1)+l=19  ⟹  3l=18  ⟹  l=6(2l+1) + l = 19 \implies 3l = 18 \implies l = 6
L=2×6+1=13L = 2 \times 6 + 1 = 13
03

Aire

A=L×l=13×6=78 cm2\mathcal{A} = L \times l = 13 \times 6 = 78 \text{ cm}^2

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 03

Fonctions et Représentations

Fonctions linéaires, affines et lecture graphique

Chapitre 05

Pythagore et Thalès — Applications

Problèmes combinant les deux théorèmes

Chapitre 02

Équations et Inéquations

Résolution algébrique et représentation sur une droite