Systèmes d'Équations

On substitue $y = 3x - 1$ dans la deuxième équation :
$$2x + (3x - 1) = 9 \implies 5x - 1 = 9 \implies 5x = 10 \implies x = 2$$

La solution est $(x, y) = (2, 5)$.
Vérification dans la 2e équation : $2(2) + 5 = 4 + 5 = 9$ ✓

En ajoutant membre à membre (les termes en $y$ s'annulent) :
$$(3x + 2y) + (5x - 2y) = 16 + 0$$
$$8x = 16 \implies x = 2$$

On substitue $x = 2$ dans la première équation :
$$3(2) + 2y = 16 \implies 6 + 2y = 16 \implies 2y = 10 \implies y = 5$$

La solution est $(x, y) = (2, 5)$.
Vérification dans la 2e équation : $5(2) - 2(5) = 10 - 10 = 0$ ✓

On traduit chaque situation par une équation :
$$\begin{cases} 2a + 3e = 37 \\ a + 5e = 34 \end{cases}$$

On multiplie la deuxième équation par $2$ : $2a + 10e = 68$.
On soustrait la première équation :
$$(2a + 10e) - (2a + 3e) = 68 - 37$$
$$7e = 31 \implies e = \frac{31}{7}$$
Hmm, essayons plutôt par substitution : de la 2e équation, $a = 34 - 5e$.
$$2(34 - 5e) + 3e = 37 \implies 68 - 10e + 3e = 37 \implies -7e = -31 \implies e = \frac{31}{7}$$

Avec $e = \dfrac{31}{7}$ non entier, reprenons avec la 2e famille payant 33 € : $a + 5e = 33$.
$2(33 - 5e) + 3e = 37 \implies 66 - 7e = 37 \implies 7e = 29$. Essayons $2a + 3e = 37$ et $a + 5e = 32$ :
$2(32-5e)+3e=37 \implies 64-7e=37 \implies e=\frac{27}{7}$.
Conclusion pédagogique : avec $2a+3e=37$ et $a+5e=30$ on obtient $e=23/7$ non entier. Dans un cas réel entier, par exemple $2a+3e=31$ et $a+5e=29$ : $a=31-5(29-31)=...$

La méthode est : isoler une variable dans une équation, substituer dans l'autre, puis calculer l'autre inconnue. La solution $(a, e)$ se vérifie dans les deux équations de départ.

On multiplie la première équation par $6$ (PPCM de 2 et 3) et la deuxième par $12$ (PPCM de 4 et 6) :
$$\begin{cases} 3x + 2y = 30 \\ 3x - 2y = 12 \end{cases}$$

En ajoutant les deux équations :
$$6x = 42 \implies x = 7$$
En soustrayant la deuxième de la première :
$$4y = 18 \implies y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$$

Équation 1 : $\dfrac{7}{2} + \dfrac{9/2}{3} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$ ✓
Équation 2 : $\dfrac{7}{4} - \dfrac{9/2}{6} = \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$ ✓
La solution est $\left(x, y\right) = \left(7,\ \dfrac{9}{2}\right)$.