Chapitre 03 · Troisième

Fonctions et Représentations

Fonctions linéaires, affines et lecture graphique

Réviser efficacement

Travailler Fonctions et Représentations en Troisième

Ce chapitre de fonctions et représentations en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

Relier expression, tableau et lecture graphique.
Identifier le type de question: image, antécédent, signe ou variation.

Compétences à maîtriser

Lire et exploiter une fonction dans plusieurs représentations.
Rédiger une conclusion claire à partir d’un tableau ou d’un calcul.

Erreurs fréquentes

Confondre image et antécédent.
Conclure sans citer le signe ou le tableau étudié.

En contrôle ou en examen : Indispensable pour la suite du lycée et très fréquent dans les sujets de synthèse.

1Facile

Étude d'une fonction affine

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit

f(x) = -2x + 6

.
1. Calculer

f(0)

f(3)

f(-1)

.
2. Résoudre

f(x) = 0

.
3.

f

est-elle croissante ou décroissante ?

Correction détaillée

Calcul des images

f(0) = -2(0) + 6 = 6

f(3) = -2(3) + 6 = -6 + 6 = 0

f(-1) = -2(-1) + 6 = 2 + 6 = 8

Résolution de $f(x) = 0$

-2x + 6 = 0 \implies -2x = -6 \implies x = 3

La courbe coupe l'axe des abscisses en

x = 3

Sens de variation

Le coefficient directeur est

a = -2 < 0

. La fonction est donc strictement décroissante : quand

x

augmente,

f(x)

diminue.

2Intermédiaire

Trouver l'expression d'une fonction affine

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Une fonction affine

f

vérifie

f(2) = 7

f(5) = 1

.
1. Trouver le coefficient directeur

a

.
2. Trouver l'ordonnée à l'origine

b

.
3. Écrire l'expression de

f(x)

Correction détaillée

Coefficient directeur

a = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{1 - 7}{3} = \frac{-6}{3} = -2

Ordonnée à l'origine

On utilise

f(2) = 7

f(x) = -2x + b

-2(2) + b = 7 \implies b = 7 + 4 = 11

Expression et vérification

f(x) = -2x + 11

Vérification :

f(5) = -10 + 11 = 1

✓ et

f(2) = -4 + 11 = 7

✓

3Facile

Tableau de valeurs et tracé d'une fonction affine

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Énoncé

Soit

g(x) = \dfrac{3}{2}x - 3

.
1. Compléter le tableau de valeurs pour

x \in \{-2, 0, 2, 4\}

.
2. Identifier les coordonnées du point d'intersection avec les axes.
3. Décrire les variations de

g

Correction détaillée

Tableau de valeurs

g(-2) = \dfrac{3}{2}(-2) - 3 = -3 - 3 = -6

g(0) = 0 - 3 = -3

g(2) = 3 - 3 = 0

g(4) = 6 - 3 = 3

x

-2

0

2

4

|
|---|---|---|---|---|
|

g(x)

-6

-3

0

3

Points d'intersection avec les axes

Axe des ordonnées (

x = 0

) :

g(0) = -3

, donc le point est

(0 ;\ -3)

.
Axe des abscisses (

g(x) = 0

) :

\dfrac{3}{2}x - 3 = 0 \implies x = 2

, donc le point est

(2 ;\ 0)

Variations

Le coefficient directeur est

a = \dfrac{3}{2} > 0

.
La fonction

g

est strictement croissante sur

\mathbb{R}

: quand

x

augmente de

2

g(x)

augmente de

3

4Difficile

Intersection de deux droites

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Énoncé

On donne

f(x) = 2x + 1

g(x) = -x + 7

.
1. Calculer les coordonnées du point d'intersection

I

des droites représentant

f

g

.
2. Représenter graphiquement les deux droites et placer

I

.
3. Résoudre graphiquement

f(x) > g(x)

Correction détaillée

Point d'intersection algébrique

À l'intersection,

f(x) = g(x)

2x + 1 = -x + 7 \implies 3x = 6 \implies x = 2

f(2) = 2(2) + 1 = 5

Le point d'intersection est

I(2 ;\ 5)

Représentation graphique

Pour

f

: passage par

(0 ;\ 1)

(2 ;\ 5)

, pente

+2

(croissante).
Pour

g

: passage par

(0 ;\ 7)

(2 ;\ 5)

, pente

-1

(décroissante).
Les deux droites se croisent en

I(2 ;\ 5)

Résolution de $f(x) > g(x)$

f(x) > g(x) \iff 2x + 1 > -x + 7 \iff 3x > 6 \iff x > 2

.
Grafiquement, la droite de

f

est au-dessus de celle de

g

pour

x > 2

.
Ensemble solution :

S = ]2 ;\ +\infty[

5Intermédiaire

Modélisation par une fonction affine

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Énoncé

Un taxi facture une prise en charge de

3{,}50

€ puis

1{,}20

€ par kilomètre parcouru.
1. Écrire la fonction

C(x)

donnant le coût total en euros pour

x

kilomètres.
2. Calculer le coût d'un trajet de

15

km.
3. À partir de combien de kilomètres le tarif dépasse-t-il

20

€ ?

Correction détaillée

Expression de $C(x)$

La prise en charge est la constante (ordonnée à l'origine) et le tarif kilométrique est le coefficient directeur :

C(x) = 1{,}20x + 3{,}50

C'est une fonction affine de coefficient directeur

1{,}20

et d'ordonnée à l'origine

3{,}50

Coût pour $15$ km

C(15) = 1{,}20 \times 15 + 3{,}50 = 18 + 3{,}50 = 21{,}50 \text{ \euro}

Un trajet de

15

km coûte

21{,}50

€.

Résolution de $C(x) > 20$

1{,}20x + 3{,}50 > 20 \implies 1{,}20x > 16{,}50 \implies x > \frac{16{,}50}{1{,}20} = 13{,}75

À partir de

x > 13{,}75

km (soit dès le

14^{\text{e}}

kilomètre), le tarif dépasse

20

€.

6Facile

Image et antécédent

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Énoncé

Soit

f(x) = 4x - 7

.
1. Calculer

f(5)

.
2. Déterminer l'antécédent de

9

.
3. Déterminer l'antécédent de

-7

Correction détaillée

Calcul d'image

f(5) = 4 \times 5 - 7 = 20 - 7 = 13

Antécédent de 9

On résout

4x - 7 = 9

4x = 16 \implies x = 4

Antécédent de $-7$

On résout

4x - 7 = -7

4x = 0 \implies x = 0

7Facile

Fonction linéaire

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Énoncé

On considère la fonction linéaire

g(x) = -3x

.
1. Calculer

g(-2)

g(4)

.
2. La droite passe-t-elle par l'origine ?
3. Préciser le sens de variation.

Correction détaillée

Calcul des images

g(-2) = -3 \times (-2) = 6

g(4) = -3 \times 4 = -12

Passage par l'origine

Une fonction linéaire est de la forme

ax

.
Donc

g(0)=0

et sa représentation passe par l'origine.

Variation

Le coefficient directeur vaut

-3 < 0

.
La fonction est donc décroissante.

8Intermédiaire

Déterminer une fonction à partir d'un point et d'une ordonnée à l'origine

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Une fonction affine

f

passe par

(0;2)

(3;11)

.
Trouver son expression.

Correction détaillée

Ordonnée à l'origine

Comme la droite passe par

(0;2)

, on lit directement

b = 2

Calcul du coefficient directeur

a = \frac{11-2}{3-0} = \frac{9}{3} = 3

Expression

La fonction cherchée est :

f(x) = 3x + 2

9Intermédiaire

Comparer deux offres

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Énoncé

Offre A : abonnement à

8

€ puis

2

€ par séance.
Offre B : abonnement à

14

€ puis

1

€ par séance.
1. Écrire les deux fonctions coût.
2. Pour combien de séances les deux offres sont-elles égales ?
3. Quelle offre est la plus avantageuse pour 10 séances ?

Correction détaillée

Fonctions associées

A(x) = 2x + 8 \quad \text{et} \quad B(x) = x + 14

Égalité des deux coûts

2x + 8 = x + 14 \implies x = 6

Les deux offres coûtent le même prix pour

6

séances.

Comparaison pour 10 séances

A(10) = 28 \text{ \euro} \quad \text{et} \quad B(10) = 24 \text{ \euro}

Pour

10

séances, l'offre B est la plus avantageuse.

10Intermédiaire

Lire des coordonnées sur une droite

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Énoncé

Une droite affine passe par les points

A(-1;4)

B(1;0)

.
1. Calculer son coefficient directeur.
2. Déterminer son équation.
3. Calculer l'image de

3

Correction détaillée

Coefficient directeur

a = \frac{0-4}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2

Équation de la droite

On cherche

f(x) = -2x + b

.
Avec le point

B(1;0)

-2 \times 1 + b = 0 \implies b = 2

Donc

f(x) = -2x + 2

Image de 3

f(3) = -2 \times 3 + 2 = -4

11Intermédiaire

Sens de variation et signe

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Énoncé

Soit

h(x) = 0{,}5x - 4

.
1. Donner le sens de variation de

h

.
2. Résoudre

h(x) = 0

.
3. Pour quels

x

a-t-on

h(x) > 0

Correction détaillée

Variation

Le coefficient directeur vaut

0{,}5 > 0

.
La fonction est croissante.

Zéro de la fonction

0{,}5x - 4 = 0 \implies 0{,}5x = 4 \implies x = 8

Signe

Comme la fonction est croissante et s'annule en

8

, on a :

h(x) > 0 \iff x > 8

12Intermédiaire

Tableau de valeurs inversé

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Énoncé

On sait qu'une fonction affine vérifie

f(-2)=5

f(2)=-3

.
1. Calculer son coefficient directeur.
2. Déterminer son expression.
3. Calculer

f(6)

Correction détaillée

Coefficient directeur

a = \frac{-3-5}{2-(-2)} = \frac{-8}{4} = -2

Expression

On cherche

f(x) = -2x + b

.
Avec

f(2) = -3

-4 + b = -3 \implies b = 1

Donc

f(x) = -2x + 1

Calcul de $f(6)$

f(6) = -12 + 1 = -11

13Facile

Distance parcourue à vitesse constante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Une voiture roule à vitesse constante de

90

km/h.
1. Écrire la fonction

d(t)

donnant la distance parcourue en km au bout de

t

heures.
2. Calculer la distance en

2{,}5

h.
3. Au bout de combien de temps parcourt-elle

315

km ?

Correction détaillée

Fonction linéaire

La distance est proportionnelle au temps :

d(t) = 90t

Application numérique

d(2{,}5) = 90 \times 2{,}5 = 225 \text{ km}

Recherche du temps

90t = 315 \implies t = \frac{315}{90} = 3{,}5

La voiture met

3{,}5

h, soit

3

30

min.

14Facile

Point d'intersection avec l'axe des ordonnées

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit la fonction

f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 3

.
1. Quelle est l'ordonnée à l'origine ?
2. Calculer

f(-4)

.
3. Donner un autre point de la droite.

Correction détaillée

Ordonnée à l'origine

Pour

x=0

, on obtient :

f(0)=3

La droite coupe l'axe des ordonnées au point

(0;3)

Calcul de $f(-4)$

f(-4) = -\frac{1}{2} \times (-4) + 3 = 2 + 3 = 5

Autre point

Le point

(-4;5)

appartient donc à la droite représentative de

f

15Difficile

Résolution graphique traduite algébriquement

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On considère

f(x)=3x-4

g(x)=x+6

.
1. Résoudre

f(x)=g(x)

.
2. En déduire le point d'intersection des droites.
3. Déterminer les

x

tels que

f(x) \leq g(x)

Correction détaillée

Égalité des deux fonctions

3x - 4 = x + 6 \implies 2x = 10 \implies x = 5

Coordonnées du point

f(5) = 3 \times 5 - 4 = 11

Le point d'intersection est

(5;11)

Comparaison des deux expressions

3x - 4 \leq x + 6 \implies 2x \leq 10 \implies x \leq 5

Ensemble solution :

]-\infty ; 5]

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Travailler Fonctions et Représentations en Troisième

Étude d'une fonction affine

Calcul des images

Résolution de $f(x) = 0$

Sens de variation

Trouver l'expression d'une fonction affine

Coefficient directeur

Ordonnée à l'origine

Expression et vérification

Tableau de valeurs et tracé d'une fonction affine

Tableau de valeurs

Points d'intersection avec les axes

Variations

Intersection de deux droites

Point d'intersection algébrique

Représentation graphique

Résolution de $f(x) > g(x)$

Modélisation par une fonction affine

Expression de $C(x)$

Coût pour $15$ km

Résolution de $C(x) > 20$

Image et antécédent

Calcul d'image

Antécédent de 9

Antécédent de $-7$

Fonction linéaire

Calcul des images

Passage par l'origine

Variation

Déterminer une fonction à partir d'un point et d'une ordonnée à l'origine

Ordonnée à l'origine

Calcul du coefficient directeur

Expression

Comparer deux offres

Fonctions associées

Égalité des deux coûts

Comparaison pour 10 séances

Lire des coordonnées sur une droite

Coefficient directeur

Équation de la droite

Image de 3

Sens de variation et signe

Variation

Zéro de la fonction

Signe

Tableau de valeurs inversé

Coefficient directeur

Expression

Calcul de $f(6)$

Distance parcourue à vitesse constante

Fonction linéaire

Application numérique

Recherche du temps

Point d'intersection avec l'axe des ordonnées

Ordonnée à l'origine

Calcul de $f(-4)$

Autre point

Résolution graphique traduite algébriquement

Égalité des deux fonctions

Coordonnées du point

Comparaison des deux expressions

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Équations et Inéquations

Systèmes d'Équations

Identités Remarquables