MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 03 · Troisième

Fonctions et Représentations

Fonctions linéaires, affines et lecture graphique

1Facile

Étude d'une fonction affine

Énoncé

Soit f(x)=−2x+6f(x) = -2x + 6.
1. Calculer f(0)f(0), f(3)f(3) et f(−1)f(-1).
2. Résoudre f(x)=0f(x) = 0.
3. ff est-elle croissante ou décroissante ?

Correction détaillée

01

Calcul des images

f(0)=−2(0)+6=6f(0) = -2(0) + 6 = 6
f(3)=−2(3)+6=−6+6=0f(3) = -2(3) + 6 = -6 + 6 = 0
f(−1)=−2(−1)+6=2+6=8f(-1) = -2(-1) + 6 = 2 + 6 = 8
02

Résolution de $f(x) = 0$

−2x+6=0  ⟹  −2x=−6  ⟹  x=3-2x + 6 = 0 \implies -2x = -6 \implies x = 3
La courbe coupe l'axe des abscisses en x=3x = 3.
03

Sens de variation

Le coefficient directeur est a=−2<0a = -2 < 0. La fonction est donc strictement décroissante : quand xx augmente, f(x)f(x) diminue.
2Intermédiaire

Trouver l'expression d'une fonction affine

Énoncé

Une fonction affine ff vérifie f(2)=7f(2) = 7 et f(5)=1f(5) = 1.
1. Trouver le coefficient directeur aa.
2. Trouver l'ordonnée à l'origine bb.
3. Écrire l'expression de f(x)f(x).

Correction détaillée

01

Coefficient directeur

a=f(5)−f(2)5−2=1−73=−63=−2a = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{1 - 7}{3} = \frac{-6}{3} = -2
02

Ordonnée à l'origine

On utilise f(2)=7f(2) = 7 et f(x)=−2x+bf(x) = -2x + b :
−2(2)+b=7  ⟹  b=7+4=11-2(2) + b = 7 \implies b = 7 + 4 = 11
03

Expression et vérification

f(x)=−2x+11f(x) = -2x + 11
Vérification : f(5)=−10+11=1f(5) = -10 + 11 = 1 ✓ et f(2)=−4+11=7f(2) = -4 + 11 = 7 ✓
3Facile

Tableau de valeurs et tracé d'une fonction affine

Énoncé

Soit g(x)=32x−3g(x) = \dfrac{3}{2}x - 3.
1. Compléter le tableau de valeurs pour x∈{−2,0,2,4}x \in \{-2, 0, 2, 4\}.
2. Identifier les coordonnées du point d'intersection avec les axes.
3. Décrire les variations de gg.

Correction détaillée

01

Tableau de valeurs

g(−2)=32(−2)−3=−3−3=−6g(-2) = \dfrac{3}{2}(-2) - 3 = -3 - 3 = -6
g(0)=0−3=−3g(0) = 0 - 3 = -3
g(2)=3−3=0g(2) = 3 - 3 = 0
g(4)=6−3=3g(4) = 6 - 3 = 3

| xx | −2-2 | 00 | 22 | 44 |
|---|---|---|---|---|
| g(x)g(x) | −6-6 | −3-3 | 00 | 33 |
02

Points d'intersection avec les axes

Axe des ordonnées (x=0x = 0) : g(0)=−3g(0) = -3, donc le point est (0; −3)(0 ;\ -3).
Axe des abscisses (g(x)=0g(x) = 0) : 32x−3=0  ⟹  x=2\dfrac{3}{2}x - 3 = 0 \implies x = 2, donc le point est (2; 0)(2 ;\ 0).
03

Variations

Le coefficient directeur est a=32>0a = \dfrac{3}{2} > 0.
La fonction gg est strictement croissante sur R\mathbb{R} : quand xx augmente de 22, g(x)g(x) augmente de 33.
4Difficile

Intersection de deux droites

Énoncé

On donne f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 et g(x)=−x+7g(x) = -x + 7.
1. Calculer les coordonnées du point d'intersection II des droites représentant ff et gg.
2. Représenter graphiquement les deux droites et placer II.
3. Résoudre graphiquement f(x)>g(x)f(x) > g(x).

Correction détaillée

01

Point d'intersection algébrique

À l'intersection, f(x)=g(x)f(x) = g(x) :
2x+1=−x+7  ⟹  3x=6  ⟹  x=22x + 1 = -x + 7 \implies 3x = 6 \implies x = 2
f(2)=2(2)+1=5f(2) = 2(2) + 1 = 5
Le point d'intersection est I(2; 5)I(2 ;\ 5).
02

Représentation graphique

Pour ff : passage par (0; 1)(0 ;\ 1) et (2; 5)(2 ;\ 5), pente +2+2 (croissante).
Pour gg : passage par (0; 7)(0 ;\ 7) et (2; 5)(2 ;\ 5), pente −1-1 (décroissante).
Les deux droites se croisent en I(2; 5)I(2 ;\ 5).
03

Résolution de $f(x) > g(x)$

f(x)>g(x)  ⟺  2x+1>−x+7  ⟺  3x>6  ⟺  x>2f(x) > g(x) \iff 2x + 1 > -x + 7 \iff 3x > 6 \iff x > 2.
Grafiquement, la droite de ff est au-dessus de celle de gg pour x>2x > 2.
Ensemble solution : S=]2; +∞[S = ]2 ;\ +\infty[.