MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 02 · Troisième

Équations et Inéquations

Résolution algébrique et représentation sur une droite

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Réviser efficacement

Travailler Équations et Inéquations en Troisième

Ce chapitre de équations et inéquations en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

  • Reprendre les bases de 3ème liées à équations et inéquations.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de équations et inéquations.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Intermédiaire

Équation avec fractions

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Énoncé

Résoudre l'équation : 2x−13+x+24=76\dfrac{2x - 1}{3} + \dfrac{x + 2}{4} = \dfrac{7}{6}

Correction détaillée

01

Mise au même dénominateur (PPCM = 12)

On multiplie chaque terme par 1212 :
12×2x−13+12×x+24=12×7612 \times \frac{2x-1}{3} + 12 \times \frac{x+2}{4} = 12 \times \frac{7}{6}
4(2x−1)+3(x+2)=144(2x-1) + 3(x+2) = 14
02

Développement et résolution

8x−4+3x+6=148x - 4 + 3x + 6 = 14
11x+2=1411x + 2 = 14
11x=12  ⟹  x=121111x = 12 \implies x = \frac{12}{11}
03

Vérification

2×1211−13+1211+24=13113+34114=1333+3444=1333+1722\dfrac{2 \times \frac{12}{11} - 1}{3} + \dfrac{\frac{12}{11} + 2}{4} = \dfrac{\frac{13}{11}}{3} + \dfrac{\frac{34}{11}}{4} = \dfrac{13}{33} + \dfrac{34}{44} = \dfrac{13}{33} + \dfrac{17}{22}
=2666+5166=7766=76= \dfrac{26}{66} + \dfrac{51}{66} = \dfrac{77}{66} = \dfrac{7}{6} ✓
2Intermédiaire

Inéquation du premier degré

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Énoncé

Résoudre l'inéquation 3(x−2)>5x−143(x - 2) > 5x - 14 et représenter les solutions sur une droite numérique.

Correction détaillée

01

Développement

3x−6>5x−143x - 6 > 5x - 14
02

Isolation de $x$

3x−5x>−14+63x - 5x > -14 + 6
−2x>−8-2x > -8
Attention : en divisant par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse :
x<−8−2=4x < \frac{-8}{-2} = 4
03

Solution et représentation

L'ensemble solution est S=]−∞, 4[S = ]-\infty,\ 4[.
Sur la droite numérique : flèche vers la gauche, parenthèse ouverte en 44 (valeur exclue).
3Intermédiaire

Équation produit nul

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Énoncé

Résoudre les équations suivantes en utilisant la règle du produit nul :
1. (2x−6)(x+4)=0(2x - 6)(x + 4) = 0
2. (3x+9)(x−5)=0(3x + 9)(x - 5) = 0
3. (x−7)2=0(x - 7)^2 = 0

Correction détaillée

01

Règle du produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
1. (2x−6)(x+4)=0  ⟺  2x−6=0(2x-6)(x+4) = 0 \iff 2x-6=0 ou x+4=0x+4=0
  ⟺  x=3\iff x = 3 ou x=−4x = -4.
Ensemble solution : S1={−4;3}S_1 = \{-4 ; 3\}.
02

Résolution de l'équation 2

(3x+9)(x−5)=0  ⟺  3x+9=0(3x+9)(x-5) = 0 \iff 3x+9=0 ou x−5=0x-5=0
  ⟺  x=−3\iff x = -3 ou x=5x = 5.
Ensemble solution : S2={−3;5}S_2 = \{-3 ; 5\}.
03

Résolution de l'équation 3

(x−7)2=0  ⟺  x−7=0  ⟺  x=7(x-7)^2 = 0 \iff x - 7 = 0 \iff x = 7.
Un carré est nul uniquement quand sa base est nulle.
Ensemble solution : S3={7}S_3 = \{7\} (racine double).
4Difficile

Système d'inéquations et intersection

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Énoncé

Résoudre chacune des inéquations puis trouver l'ensemble des xx vérifiant simultanément les deux :
{2x−3≤73x+1>−5\begin{cases} 2x - 3 \leq 7 \\ 3x + 1 > -5 \end{cases}

Correction détaillée

01

Résolution de la première inéquation

2x−3≤7  ⟹  2x≤10  ⟹  x≤52x - 3 \leq 7 \implies 2x \leq 10 \implies x \leq 5
Ensemble solution : S1=]−∞; 5]S_1 = ]-\infty ;\ 5].
02

Résolution de la deuxième inéquation

3x+1>−5  ⟹  3x>−6  ⟹  x>−23x + 1 > -5 \implies 3x > -6 \implies x > -2
Ensemble solution : S2=]−2; +∞[S_2 = ]-2 ;\ +\infty[.
03

Intersection des solutions

On cherche les xx vérifiant les deux conditions simultanément :
S=S1∩S2=]−2; 5]S = S_1 \cap S_2 = ]-2 ;\ 5]
Sur la droite numérique : parenthèse ouverte en −2-2 (exclu) et crochet fermé en 55 (inclus).
5Intermédiaire

Équation avec développement préalable

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Énoncé

Résoudre les équations suivantes en développant les membres avant de résoudre :
1. (x+3)2=(x−1)2+24(x + 3)^2 = (x - 1)^2 + 24
2. (2x−1)(x+4)=(2x+3)(x−2)(2x - 1)(x + 4) = (2x + 3)(x - 2)

Correction détaillée

01

Développement de l'équation 1

(x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 et (x−1)2=x2−2x+1(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1.
x2+6x+9=x2−2x+1+24x^2 + 6x + 9 = x^2 - 2x + 1 + 24
x2+6x+9=x2−2x+25x^2 + 6x + 9 = x^2 - 2x + 25
02

Résolution de l'équation 1

Les termes en x2x^2 s'annulent :
6x+9=−2x+25  ⟹  8x=16  ⟹  x=26x + 9 = -2x + 25 \implies 8x = 16 \implies x = 2
Ensemble solution : S1={2}S_1 = \{2\}.
03

Développement et résolution de l'équation 2

(2x−1)(x+4)=2x2+8x−x−4=2x2+7x−4(2x-1)(x+4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4.
(2x+3)(x−2)=2x2−4x+3x−6=2x2−x−6(2x+3)(x-2) = 2x^2 - 4x + 3x - 6 = 2x^2 - x - 6.
2x2+7x−4=2x2−x−62x^2 + 7x - 4 = 2x^2 - x - 6
8x=−2  ⟹  x=−148x = -2 \implies x = -\frac{1}{4}
Ensemble solution : S2={−14}S_2 = \left\{-\dfrac{1}{4}\right\}.
6Facile

Équation simple à paramètre numérique

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Énoncé

Résoudre :
1. 5x−7=185x - 7 = 18
2. 4−3x=194 - 3x = 19
3. x5+2=7\dfrac{x}{5} + 2 = 7

Correction détaillée

01

Première équation

5x−7=18  ⟹  5x=25  ⟹  x=55x - 7 = 18 \implies 5x = 25 \implies x = 5
02

Deuxième équation

4−3x=19  ⟹  −3x=15  ⟹  x=−54 - 3x = 19 \implies -3x = 15 \implies x = -5
03

Troisième équation

x5+2=7  ⟹  x5=5  ⟹  x=25\frac{x}{5} + 2 = 7 \implies \frac{x}{5} = 5 \implies x = 25
7Intermédiaire

Inéquations avec parenthèses

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Énoncé

Résoudre :
1. 2(3x−1)≤4x+82(3x-1) \leq 4x + 8
2. 5−2(x+3)>−75 - 2(x+3) > -7

Correction détaillée

01

Première inéquation

6x−2≤4x+8  ⟹  2x≤10  ⟹  x≤56x - 2 \leq 4x + 8 \implies 2x \leq 10 \implies x \leq 5
Ensemble solution : ]−∞;5]]-\infty ; 5].
02

Deuxième inéquation

5−2x−6>−7  ⟹  −2x−1>−7  ⟹  −2x>−65 - 2x - 6 > -7 \implies -2x -1 > -7 \implies -2x > -6
03

Attention au sens

En divisant par −2-2, on inverse le sens :
x<3x < 3
Ensemble solution : ]−∞;3[]-\infty ; 3[.
8Facile

Équation et vérification numérique

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Énoncé

Résoudre puis vérifier :
7x+4=3x+207x + 4 = 3x + 20

Correction détaillée

01

Regroupement des termes

7x−3x=20−4  ⟹  4x=16  ⟹  x=47x - 3x = 20 - 4 \implies 4x = 16 \implies x = 4
02

Vérification dans le membre de gauche

7×4+4=28+4=327 \times 4 + 4 = 28 + 4 = 32
03

Vérification dans le membre de droite

3×4+20=12+20=323 \times 4 + 20 = 12 + 20 = 32
Les deux membres sont égaux : la solution est bien x=4x = 4.
9Intermédiaire

Double inégalité

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Énoncé

Résoudre la double inégalité :
−3≤2x+1<9-3 \leq 2x + 1 < 9

Correction détaillée

01

On enlève 1 aux trois membres

−4≤2x<8-4 \leq 2x < 8
02

Division par 2

−2≤x<4-2 \leq x < 4
03

Ensemble solution

On écrit :
S=[−2;4[S = [-2 ; 4[
10Intermédiaire

Problème de prix

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Énoncé

Un article coûte xx euros. Après une réduction de 1515 €, il coûte 4242 €.
1. Écrire une équation.
2. Résoudre.
3. Quel était le prix initial ?

Correction détaillée

01

Mise en équation

Le prix réduit est x−15x - 15.
On a donc :
x−15=42x - 15 = 42
02

Résolution

x=42+15=57x = 42 + 15 = 57
03

Conclusion

Le prix initial de l'article était de 57 €.
11Intermédiaire

Équation avec dénominateurs

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Énoncé

Résoudre :
x−25=3x+415\frac{x-2}{5} = \frac{3x+4}{15}

Correction détaillée

01

Suppression des dénominateurs

On multiplie les deux membres par 1515 :
3(x−2)=3x+43(x-2) = 3x + 4
02

Développement

3x−6=3x+43x - 6 = 3x + 4
En retranchant 3x3x des deux côtés, on obtient :
−6=4-6 = 4
03

Conclusion

On obtient une égalité fausse. Il n'y a donc aucune solution.
Ensemble solution : S=∅S = \varnothing.
12Intermédiaire

Produit nul et développement

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Énoncé

Résoudre :
x2−5x=0x^2 - 5x = 0

Correction détaillée

01

Mise en facteur

On met xx en facteur :
x2−5x=x(x−5)x^2 - 5x = x(x-5)
02

Produit nul

x(x−5)=0  ⟺  x=0 ou x−5=0x(x-5) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x-5 = 0
03

Solutions

Les solutions sont :
S={0;5}S = \{0 ; 5\}
13Difficile

Intersection de deux intervalles solutions

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Énoncé

Résoudre le système suivant :
{x+4≥12x−5<7\begin{cases} x + 4 \geq 1 \\ 2x - 5 < 7 \end{cases}

Correction détaillée

01

Première condition

x+4≥1  ⟹  x≥−3x + 4 \geq 1 \implies x \geq -3
Donc S1=[−3;+∞[S_1 = [-3 ; +\infty[.
02

Deuxième condition

2x−5<7  ⟹  2x<12  ⟹  x<62x - 5 < 7 \implies 2x < 12 \implies x < 6
Donc S2=]−∞;6[S_2 = ]-\infty ; 6[.
03

Intersection

S=S1∩S2=[−3;6[S = S_1 \cap S_2 = [-3 ; 6[
14Intermédiaire

Problème de périmètre

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Énoncé

Un rectangle a une longueur égale à x+2x+2 cm et une largeur égale à x−1x-1 cm. Son périmètre vaut 2626 cm.
Trouver xx.

Correction détaillée

01

Écriture du périmètre

2[(x+2)+(x−1)]=262[(x+2) + (x-1)] = 26
02

Résolution

2(2x+1)=26  ⟹  4x+2=26  ⟹  4x=24  ⟹  x=62(2x+1) = 26 \implies 4x + 2 = 26 \implies 4x = 24 \implies x = 6
03

Vérification

Longueur : 88 cm, largeur : 55 cm.
Périmètre : 2(8+5)=262(8+5) = 26 cm ✓
15Difficile

Équation à deux membres avec fractions

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Énoncé

Résoudre :
x+12−x−34=5\frac{x+1}{2} - \frac{x-3}{4} = 5

Correction détaillée

01

Mise au même dénominateur

2(x+1)−(x−3)4=5\frac{2(x+1) - (x-3)}{4} = 5
02

Simplification

2x+2−x+34=5  ⟹  x+54=5\frac{2x+2-x+3}{4} = 5 \implies \frac{x+5}{4} = 5
x+5=20  ⟹  x=15x+5 = 20 \implies x = 15
03

Contrôle

15+12−15−34=8−3=5\frac{15+1}{2} - \frac{15-3}{4} = 8 - 3 = 5
La solution est bien x=15x = 15.

Suivi personnel

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15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 01

Identités Remarquables

Développement et factorisation avec les trois identités

Chapitre 03

Fonctions et Représentations

Fonctions linéaires, affines et lecture graphique

Chapitre 04

Systèmes d'Équations

Résolution par substitution et par combinaison