Équations et Inéquations

On multiplie chaque terme par $12$ :
$$12 \times \frac{2x-1}{3} + 12 \times \frac{x+2}{4} = 12 \times \frac{7}{6}$$
$$4(2x-1) + 3(x+2) = 14$$

$\dfrac{2 \times \frac{12}{11} - 1}{3} + \dfrac{\frac{12}{11} + 2}{4} = \dfrac{\frac{13}{11}}{3} + \dfrac{\frac{34}{11}}{4} = \dfrac{13}{33} + \dfrac{34}{44} = \dfrac{13}{33} + \dfrac{17}{22}$
$= \dfrac{26}{66} + \dfrac{51}{66} = \dfrac{77}{66} = \dfrac{7}{6}$ ✓

$$3x - 5x > -14 + 6$$
$$-2x > -8$$
Attention : en divisant par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse :
$$x < \frac{-8}{-2} = 4$$

L'ensemble solution est $S = ]-\infty,\ 4[$.
Sur la droite numérique : flèche vers la gauche, parenthèse ouverte en $4$ (valeur exclue).

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
1. $(2x-6)(x+4) = 0 \iff 2x-6=0$ ou $x+4=0$
$\iff x = 3$ ou $x = -4$.
Ensemble solution : $S_1 = \{-4 ; 3\}$.

$(3x+9)(x-5) = 0 \iff 3x+9=0$ ou $x-5=0$
$\iff x = -3$ ou $x = 5$.
Ensemble solution : $S_2 = \{-3 ; 5\}$.

$(x-7)^2 = 0 \iff x - 7 = 0 \iff x = 7$.
Un carré est nul uniquement quand sa base est nulle.
Ensemble solution : $S_3 = \{7\}$ (racine double).

$$2x - 3 \leq 7 \implies 2x \leq 10 \implies x \leq 5$$
Ensemble solution : $S_1 = ]-\infty ;\ 5]$.

$$3x + 1 > -5 \implies 3x > -6 \implies x > -2$$
Ensemble solution : $S_2 = ]-2 ;\ +\infty[$.

On cherche les $x$ vérifiant les deux conditions simultanément :
$$S = S_1 \cap S_2 = ]-2 ;\ 5]$$
Sur la droite numérique : parenthèse ouverte en $-2$ (exclu) et crochet fermé en $5$ (inclus).