(a+b)²

Chapitre 01 · Troisième

Identités Remarquables

Développement et factorisation avec les trois identités

Réviser efficacement

Travailler Identités Remarquables en Troisième

Ce chapitre de identités remarquables en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours complet Voir le programme du niveau Méthodologie de révision

Prérequis

Reprendre les bases de 3ème liées à identités remarquables.
Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

Maîtriser les méthodes essentielles de identités remarquables.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Développer avec les identités remarquables

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Énoncé

Développer et réduire en utilisant les identités remarquables :
1.

A = (3x + 2)^2

B = (5x - 1)^2

C = (4x + 3)(4x - 3)

Correction détaillée

Identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Avec

a = 3x

b = 2

A = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4

Identité $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Avec

a = 5x

b = 1

B = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1

Identité $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Avec

a = 4x

b = 3

C = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9

2Intermédiaire

Factoriser avec les identités remarquables

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Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :
1.

A = 25x^2 - 16

B = x^2 + 6x + 9

C = 4x^2 - 20x + 25

Correction détaillée

Différence de deux carrés pour $A$

25x^2 = (5x)^2

16 = 4^2

. On applique

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

A = (5x - 4)(5x + 4)

Carré parfait pour $B$

x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2

→ on reconnaît

(a+b)^2

avec

a = x

b = 3

B = (x + 3)^2

Carré parfait pour $C$

4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^2

→

(a-b)^2

avec

a = 2x

b = 5

C = (2x - 5)^2

3Intermédiaire

Développer et réduire des expressions composées

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Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :
1.

A = (x + 4)^2 - (x - 2)(x + 2)

B = (2x - 3)^2 + (2x + 3)^2

C = (x + 1)^2 - (x + 1)(x - 1)

Correction détaillée

Développement de $A$

(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

(x-2)(x+2) = x^2 - 4

A = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 4) = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 4 = 8x + 20

Développement de $B$

(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9

(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9

B = 4x^2 - 12x + 9 + 4x^2 + 12x + 9 = 8x^2 + 18

Développement de $C$

(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1

(x+1)(x-1) = x^2 - 1

C = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 1) = 2x + 2 = 2(x+1)

4Difficile

Factorisation complète avec substitution

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Énoncé

Factoriser complètement les expressions suivantes en reconnaissant une identité remarquable :
1.

A = 9a^2 - 42a + 49

B = (x+1)^2 - 4

C = 16x^4 - 1

Correction détaillée

Factorisation de $A$ — carré parfait

On vérifie :

9a^2 = (3a)^2

49 = 7^2

42a = 2 \times 3a \times 7

.
On reconnaît

(3a)^2 - 2 \times 3a \times 7 + 7^2

A = (3a - 7)^2

Factorisation de $B$ — différence de carrés

(x+1)^2 - 4 = (x+1)^2 - 2^2

. On applique

u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)

avec

u = x+1

v = 2

B = (x+1-2)(x+1+2) = (x-1)(x+3)

Factorisation de $C$ — double application

16x^4 - 1 = (4x^2)^2 - 1^2 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1)

.
On factorise encore

4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1)

C = (2x-1)(2x+1)(4x^2+1)

5Intermédiaire

Développer, factoriser et calculer

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Énoncé

Soit

A = (x + 5)^2 - (x - 3)(x + 3)

.
1. Développer et réduire

A

.
2. Factoriser le résultat si possible.
3. Calculer

A

pour

x = \dfrac{1}{2}

Correction détaillée

Développement de $A$

(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25

(x-3)(x+3) = x^2 - 9

(identité

(a-b)(a+b)

A = (x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 9) = x^2 + 10x + 25 - x^2 + 9

A = 10x + 34

Factorisation du résultat

10x + 34 = 2(5x + 17)

.
On peut factoriser par

2

A = 2(5x + 17)

Calcul pour $x = \dfrac{1}{2}$

En utilisant la forme factorisée :

A = 2\left(5 \times \frac{1}{2} + 17\right) = 2\left(\frac{5}{2} + 17\right) = 2 \times \frac{5 + 34}{2} = 2 \times \frac{39}{2} = 39

6Facile

Carrés parfaits à reconnaître

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Énoncé

Reconnaître puis factoriser les expressions suivantes :
1.

A = x^2 + 14x + 49

B = 9y^2 - 12y + 4

C = 36a^2 + 60a + 25

Correction détaillée

Expression $A$

49 = 7^2

14x = 2 \times x \times 7

.
On reconnaît donc

(x+7)^2

A = (x+7)^2

Expression $B$

9y^2 = (3y)^2

4 = 2^2

12y = 2 \times 3y \times 2

.
Comme le terme du milieu est négatif :

B = (3y-2)^2

Expression $C$

36a^2 = (6a)^2

25 = 5^2

60a = 2 \times 6a \times 5

.
Donc :

C = (6a+5)^2

7Facile

Différences de deux carrés

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Énoncé

Factoriser :
1.

A = x^2 - 81

B = 49m^2 - 25

C = 4t^2 - 121

Correction détaillée

Expression $A$

81 = 9^2

, donc :

A = x^2 - 9^2 = (x-9)(x+9)

Expression $B$

49m^2 = (7m)^2

25 = 5^2

.
Ainsi :

B = (7m-5)(7m+5)

Expression $C$

4t^2 = (2t)^2

121 = 11^2

.
On obtient :

C = (2t-11)(2t+11)

8Intermédiaire

Développement avec parenthèses imbriquées

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Énoncé

Développer et réduire :
1.

A = 3(x+2)^2 - (x-1)^2

B = (2x+5)^2 - (2x-5)^2

Correction détaillée

Calcul de $A$

(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4

(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1

A = 3(x^2+4x+4) - (x^2-2x+1)

A = 3x^2 + 12x + 12 - x^2 + 2x - 1 = 2x^2 + 14x + 11

Calcul de $B$

On peut développer ou utiliser la différence de deux carrés avec

u = 2x+5

v = 2x-5

.
En développant :

(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25

(2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25

Réduction finale

B = (4x^2 + 20x + 25) - (4x^2 - 20x + 25) = 40x

9Facile

Calcul mental avec une identité remarquable

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Énoncé

Calculer sans poser l'opération :
1.

98^2

103^2

51 \times 49

Correction détaillée

Calcul de $98^2$

98 = 100 - 2

98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Calcul de $103^2$

103 = 100 + 3

103^2 = (100+3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609

Calcul de $51 \times 49$

51 \times 49 = (50+1)(50-1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499

10Intermédiaire

Factoriser puis résoudre un produit

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Énoncé

1. Factoriser

A = x^2 - 10x + 25

.
2. En déduire les solutions de l'équation

x^2 - 10x + 25 = 0

.
3. Même question pour

B = 4x^2 - 9

Correction détaillée

Carré parfait pour $A$

25 = 5^2

10x = 2 \times x \times 5

.
Donc :

A = (x-5)^2

Résolution de $A = 0$

(x-5)^2 = 0 \iff x-5 = 0 \iff x = 5

Il y a une solution unique :

\{5\}

Cas de $B$

B = 4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)

Donc

B = 0

équivaut à

2x-3=0

2x+3=0

.
Ainsi

x = \dfrac{3}{2}

x = -\dfrac{3}{2}

11Intermédiaire

Expression littérale avec paramètre simple

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Énoncé

Soit

A = (x+k)^2 - x^2

.
1. Développer et réduire

A

.
2. Factoriser le résultat.
3. Calculer

A

pour

k = 4

x = 3

Correction détaillée

Développement

(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2

Donc :

A = x^2 + 2kx + k^2 - x^2 = 2kx + k^2

Factorisation

On met

k

en facteur :

A = k(2x+k)

Application numérique

Pour

k=4

x=3

A = 4(2 \times 3 + 4) = 4(10) = 40

12Intermédiaire

Comparer deux écritures d'une même expression

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Énoncé

Montrer que pour tout réel

x

A = (x+6)^2 - (x+2)^2

est égal à

8x + 32

Correction détaillée

Développement direct

(x+6)^2 = x^2 + 12x + 36

(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4

Soustraction

A = (x^2 + 12x + 36) - (x^2 + 4x + 4) = 8x + 32

Vérification par factorisation

On reconnaît aussi une différence de deux carrés :

A = [(x+6)-(x+2)] [(x+6)+(x+2)] = 4(2x+8) = 8x+32

Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

13Intermédiaire

Aire d'un carré agrandi

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Énoncé

Le côté d'un carré mesure

x

cm. On augmente ce côté de

3

cm.
1. Exprimer la nouvelle aire.
2. Développer cette expression.
3. De combien l'aire a-t-elle augmenté ?

Correction détaillée

Nouvelle aire

Le nouveau côté vaut

x+3

, donc la nouvelle aire vaut :

A_2 = (x+3)^2

Développement

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

Augmentation d'aire

L'ancienne aire valait

x^2

.
L'augmentation est donc :

A_2 - A_1 = (x^2 + 6x + 9) - x^2 = 6x + 9

14Facile

Produit de deux binômes conjugués

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Énoncé

Calculer et simplifier :
1.

(7x+4)(7x-4)

(3-2y)(3+2y)

(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})

Correction détaillée

Premier produit

On applique

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

avec

a = 7x

b = 4

(7x+4)(7x-4) = 49x^2 - 16

Deuxième produit

Avec

a = 3

b = 2y

(3-2y)(3+2y) = 3^2 - (2y)^2 = 9 - 4y^2

Troisième produit

Avec

a = 1

b = \sqrt{3}

(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1 - 3 = -2

15Difficile

Enchaînement développement puis factorisation

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Énoncé

Soit

A = (2x+1)^2 - (x-3)^2

.
1. Développer et réduire

A

.
2. Factoriser

A

comme différence de deux carrés.
3. Vérifier que les deux écritures sont équivalentes.

Correction détaillée

Développement

(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1

(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9

A = 4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x + 9) = 3x^2 + 10x - 8

Factorisation directe

On pose

u = 2x+1

v = x-3

.
Alors :

A = u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)

A = (2x+1-(x-3))(2x+1+x-3) = (x+4)(3x-2)

Vérification

(x+4)(3x-2) = 3x^2 - 2x + 12x - 8 = 3x^2 + 10x - 8

On retrouve bien l'expression développée.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Ajoute-le à tes favoris pour le retrouver vite, ou marque-le à revoir si tu veux revenir dessus pendant une prochaine séance.

Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Travailler Identités Remarquables en Troisième

Développer avec les identités remarquables

Identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Identité $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Identité $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Factoriser avec les identités remarquables

Différence de deux carrés pour $A$

Carré parfait pour $B$

Carré parfait pour $C$

Développer et réduire des expressions composées

Développement de $A$

Développement de $B$

Développement de $C$

Factorisation complète avec substitution

Factorisation de $A$ — carré parfait

Factorisation de $B$ — différence de carrés

Factorisation de $C$ — double application

Développer, factoriser et calculer

Développement de $A$

Factorisation du résultat

Calcul pour $x = \dfrac{1}{2}$

Carrés parfaits à reconnaître

Expression $A$

Expression $B$

Expression $C$

Différences de deux carrés

Expression $A$

Expression $B$

Expression $C$

Développement avec parenthèses imbriquées

Calcul de $A$

Calcul de $B$

Réduction finale

Calcul mental avec une identité remarquable

Calcul de $98^2$

Calcul de $103^2$

Calcul de $51 \times 49$

Factoriser puis résoudre un produit

Carré parfait pour $A$

Résolution de $A = 0$

Cas de $B$

Expression littérale avec paramètre simple

Développement

Factorisation

Application numérique

Comparer deux écritures d'une même expression

Développement direct

Soustraction

Vérification par factorisation

Aire d'un carré agrandi

Nouvelle aire

Développement

Augmentation d'aire

Produit de deux binômes conjugués

Premier produit

Deuxième produit

Troisième produit

Enchaînement développement puis factorisation

Développement

Factorisation directe

Vérification

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Équations et Inéquations

Fonctions et Représentations

Systèmes d'Équations