MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 01 · Troisième

Identités Remarquables

Développement et factorisation avec les trois identités

1Facile

Développer avec les identités remarquables

Énoncé

Développer et réduire en utilisant les identités remarquables :
1. A=(3x+2)2A = (3x + 2)^2
2. B=(5x−1)2B = (5x - 1)^2
3. C=(4x+3)(4x−3)C = (4x + 3)(4x - 3)

Correction détaillée

01

Identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Avec a=3xa = 3x et b=2b = 2 :
A=(3x)2+2×3x×2+22=9x2+12x+4A = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4
02

Identité $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Avec a=5xa = 5x et b=1b = 1 :
B=(5x)2−2×5x×1+12=25x2−10x+1B = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1
03

Identité $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Avec a=4xa = 4x et b=3b = 3 :
C=(4x)2−32=16x2−9C = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9
2Intermédiaire

Factoriser avec les identités remarquables

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :
1. A=25x2−16A = 25x^2 - 16
2. B=x2+6x+9B = x^2 + 6x + 9
3. C=4x2−20x+25C = 4x^2 - 20x + 25

Correction détaillée

01

Différence de deux carrés pour $A$

25x2=(5x)225x^2 = (5x)^2 et 16=4216 = 4^2. On applique a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) :
A=(5x−4)(5x+4)A = (5x - 4)(5x + 4)
02

Carré parfait pour $B$

x2+6x+9=x2+2×x×3+32x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 → on reconnaît (a+b)2(a+b)^2 avec a=xa = x, b=3b = 3 :
B=(x+3)2B = (x + 3)^2
03

Carré parfait pour $C$

4x2−20x+25=(2x)2−2×2x×5+524x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^2 → (a−b)2(a-b)^2 avec a=2xa = 2x, b=5b = 5 :
C=(2x−5)2C = (2x - 5)^2
3Intermédiaire

Développer et réduire des expressions composées

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :
1. A=(x+4)2−(x−2)(x+2)A = (x + 4)^2 - (x - 2)(x + 2)
2. B=(2x−3)2+(2x+3)2B = (2x - 3)^2 + (2x + 3)^2
3. C=(x+1)2−(x+1)(x−1)C = (x + 1)^2 - (x + 1)(x - 1)

Correction détaillée

01

Développement de $A$

(x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 et (x−2)(x+2)=x2−4(x-2)(x+2) = x^2 - 4.
A=(x2+8x+16)−(x2−4)=x2+8x+16−x2+4=8x+20A = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 4) = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 4 = 8x + 20
02

Développement de $B$

(2x−3)2=4x2−12x+9(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 et (2x+3)2=4x2+12x+9(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9.
B=4x2−12x+9+4x2+12x+9=8x2+18B = 4x^2 - 12x + 9 + 4x^2 + 12x + 9 = 8x^2 + 18
03

Développement de $C$

(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 et (x+1)(x−1)=x2−1(x+1)(x-1) = x^2 - 1.
C=(x2+2x+1)−(x2−1)=2x+2=2(x+1)C = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 1) = 2x + 2 = 2(x+1)
4Difficile

Factorisation complète avec substitution

Énoncé

Factoriser complètement les expressions suivantes en reconnaissant une identité remarquable :
1. A=9a2−42a+49A = 9a^2 - 42a + 49
2. B=(x+1)2−4B = (x+1)^2 - 4
3. C=16x4−1C = 16x^4 - 1

Correction détaillée

01

Factorisation de $A$ — carré parfait

On vérifie : 9a2=(3a)29a^2 = (3a)^2, 49=7249 = 7^2 et 42a=2×3a×742a = 2 \times 3a \times 7.
On reconnaît (3a)2−2×3a×7+72(3a)^2 - 2 \times 3a \times 7 + 7^2 :
A=(3a−7)2A = (3a - 7)^2
02

Factorisation de $B$ — différence de carrés

(x+1)2−4=(x+1)2−22(x+1)^2 - 4 = (x+1)^2 - 2^2. On applique u2−v2=(u−v)(u+v)u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) avec u=x+1u = x+1 et v=2v = 2 :
B=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)B = (x+1-2)(x+1+2) = (x-1)(x+3)
03

Factorisation de $C$ — double application

16x4−1=(4x2)2−12=(4x2−1)(4x2+1)16x^4 - 1 = (4x^2)^2 - 1^2 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1).
On factorise encore 4x2−1=(2x)2−12=(2x−1)(2x+1)4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1) :
C=(2x−1)(2x+1)(4x2+1)C = (2x-1)(2x+1)(4x^2+1)