Ce qu’il faut viser
- Maîtriser les méthodes essentielles de équations et inéquations.
- Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.
Chapitre 02 · Troisième
CoursÉquations et Inéquations
Résoudre des équations du second degré et des inéquations
Aller aux exercices →En 3ème, on approfondit la résolution d'équations en abordant des équations nécessitant un développement ou une factorisation préalable, ainsi que les inéquations du premier degré. La résolution d'une inéquation donne un ensemble de solutions (un intervalle) plutôt qu'une valeur unique.
Mieux retenir
Comment utiliser ce cours efficacement
Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.
Points de vigilance
- Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
- Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.
1Équations nécessitant une transformation
Certaines équations ne sont pas directement de la forme . Il faut d'abord développer, réduire ou factoriser avant de résoudre.
Méthode générale :
1. Développer et réduire chaque membre.
2. Regrouper tous les termes en à gauche, les constantes à droite.
3. Isoler .
4. Vérifier la solution.
Quand une équation est de la forme , on utilise la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Méthode générale :
1. Développer et réduire chaque membre.
2. Regrouper tous les termes en à gauche, les constantes à droite.
3. Isoler .
4. Vérifier la solution.
Quand une équation est de la forme , on utilise la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Définition
Règle du produit nul
Si , alors ou (ou les deux). Cette règle est la clé pour résoudre les équations factorisées.
Définition
Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation où l'inconnue apparaît au carré, de la forme . En 3ème, on les résout par factorisation ou en utilisant .
Exemple 1— Équation après développement
Résoudre .
Solution
On développe les deux membres :
- Gauche :
- Droite :
On ramène tout à gauche :
Alternativement, on utilise le facteur commun :
Règle du produit nul :
-
-
- Gauche :
- Droite :
On ramène tout à gauche :
Alternativement, on utilise le facteur commun :
Règle du produit nul :
-
-
Exemple 2— Équation $x^2 = k$
Résoudre .
Solution
-
-
- Toujours développer et réduire avant de résoudre.
- Si un produit vaut zéro, l'un des facteurs est nul.
- (avec ) a deux solutions : et .
2Inéquations du premier degré
Une inéquation est une inégalité comportant une inconnue. La résoudre, c'est trouver tous les réels qui la vérifient. La solution est un intervalle.
Règles de résolution :
- On peut additionner ou soustraire un même nombre des deux membres.
- On peut multiplier ou diviser par un nombre strictement positif sans changer le sens de l'inégalité.
- Attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse : devient , devient .
Règles de résolution :
- On peut additionner ou soustraire un même nombre des deux membres.
- On peut multiplier ou diviser par un nombre strictement positif sans changer le sens de l'inégalité.
- Attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse : devient , devient .
Définition
Inéquation
Une inéquation est une inégalité avec une inconnue. Elle utilise les symboles , , ou . Sa solution est un ensemble de valeurs, souvent un intervalle.
Définition
Intervalle
Un intervalle est un ensemble de réels compris entre deux bornes. Notation : (bornes incluses), (bornes exclues), (demi-droite).
Exemple 1— Inéquation simple
Résoudre .
Solution
On ajoute des deux membres :
On divise par (inégalité conservée) :
Solution :
On divise par (inégalité conservée) :
Solution :
Exemple 2— Inéquation avec division par un négatif
Résoudre .
Solution
On soustrait :
On divise par → le sens s'inverse :
Solution :
On divise par → le sens s'inverse :
Solution :
⚠ Attention
Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. C'est la principale source d'erreurs dans les inéquations.
- La solution d'une inéquation est un intervalle, pas une valeur unique.
- Diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
- Représenter la solution sur une droite numérique pour vérifier.
★ À retenir
- 1Produit nul : ou .
- 2a deux solutions si , aucune si .
- 3Inéquation : traiter comme une équation, sauf lors de la multiplication/division par un négatif.
- 4La solution d'une inéquation est un intervalle noté avec et .
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