(a+b)²

Chapitre 01 · Troisième

Cours

Identités Remarquables

Développement et factorisation avec les trois identités

Les identités remarquables sont trois égalités algébriques fondamentales qui permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions. Elles sont omniprésentes en mathématiques : dans les équations, les fractions, la géométrie et bien au-delà. Les maîtriser en 3ème est indispensable pour la suite du lycée.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Maîtriser les méthodes essentielles de identités remarquables.
Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Points de vigilance

Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

1Les trois identités remarquables

Les identités remarquables sont des égalités toujours vraies, quel que soit le signe ou la valeur de

a

b

.

Identité 1 :

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Identité 2 :

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Identité 3 :

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

La troisième identité s'appelle différence de deux carrés. Elle est particulièrement utile pour factoriser car elle transforme un produit en une différence, ou inversement.

Ces formules se démontrent en développant le membre gauche avec la double distributivité.

Définition

Identité remarquable

Une identité remarquable est une égalité algébrique vraie pour toutes valeurs de

a

b

. Elle permet de passer directement d'une forme développée à une forme factorisée (ou l'inverse) sans recalculer.

Définition

Carré parfait

Un carré parfait est une expression de la forme

(a \pm b)^2

. Son développement donne trois termes :

a^2

\pm 2ab

b^2

. Exemple :

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25

Définition

Différence de deux carrés

La différence de deux carrés est une expression de la forme

a^2 - b^2

. Elle se factorise en

(a - b)(a + b)

. Il faut savoir reconnaître les carrés :

9 = 3^2

25 = 5^2

4x^2 = (2x)^2

, etc.

Exemple 1— Développer un carré parfait

Développer

A = (3x + 2)^2

Solution

On applique

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

avec

a = 3x

b = 2

A = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2

A = 9x^2 + 12x + 4

Exemple 2— Développer une différence de carrés

Développer

B = (4x + 3)(4x - 3)

Solution

On applique

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

avec

a = 4x

b = 3

B = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (attention au terme $2ab$ souvent oublié).
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (le résultat est toujours positif ou nul).
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ (les termes $ab$ se compensent).

2Factoriser avec les identités remarquables

Factoriser, c'est reconnaître la forme développée et retrouver la forme factorisée. Pour appliquer une identité remarquable à la factorisation, il faut :

1. Vérifier que l'expression a la bonne forme (trois termes pour les carrés parfaits, deux termes pour la différence de carrés).
2. Identifier

a

b

.
3. Vérifier le terme central pour les carrés parfaits : il doit valoir exactement

2ab

.

Différence de deux carrés : si l'on a

A^2 - B^2

, on factorise en

(A-B)(A+B)

. Il faut que les deux termes soient des carrés et qu'il y ait bien un signe

-

entre eux.

Définition

Reconnaître un carré parfait

Pour reconnaître

(a+b)^2

dans

a^2 + 2ab + b^2

, vérifier : (1) les deux premiers et derniers termes sont des carrés, (2) le terme du milieu vaut

2ab

. Si le milieu est négatif, c'est

(a-b)^2

Exemple 1— Factoriser une différence de carrés

Factoriser

A = 25x^2 - 16

Solution

On écrit

25x^2 = (5x)^2

16 = 4^2

. On reconnaît

A^2 - B^2

avec

A = 5x

B = 4

A = (5x - 4)(5x + 4)

Exemple 2— Factoriser un carré parfait

Factoriser

B = 4x^2 - 20x + 25

Solution

On écrit

4x^2 = (2x)^2

25 = 5^2

. Le terme central :

2 \times 2x \times 5 = 20x

✓. On reconnaît

(a-b)^2

B = (2x - 5)^2

⚠ Attention

(a + b)^2 \neq a^2 + b^2

! Le terme

2ab

est souvent oublié. C'est l'erreur la plus courante.

Pour $a^2 - b^2$ : factoriser en $(a-b)(a+b)$ .
Pour un carré parfait : vérifier que le terme central vaut bien $2ab$ .
Toujours vérifier en redéveloppant.

3Calculs combinés

Souvent, on doit développer puis réduire des expressions qui combinent plusieurs identités remarquables. La méthode est toujours la même :
1. Développer chaque partie en appliquant la bonne identité.
2. Regrouper les termes semblables.
3. Réduire.

Ces calculs permettent de simplifier des expressions complexes et apparaissent fréquemment dans les équations du second degré et les problèmes de géométrie.

Exemple 1— Différence de deux expressions

Développer et réduire

C = (x + 4)^2 - (x - 2)(x + 2)

Solution

(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

(x-2)(x+2) = x^2 - 4

C = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 4)

C = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 4 = \mathbf{8x + 20}

Développer chaque terme séparément avant de réduire.
Attention aux signes devant les parenthèses : $-(x^2 - 4) = -x^2 + 4$ .

★ À retenir

1
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
2
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
3
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ .
4
Pour factoriser, identifier $a$ et $b$ en reconnaissant la forme.
5
$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : ne jamais oublier le terme $2ab$ .

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Exercices — Identités Remarquables

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 02

Identités Remarquables

Comment utiliser ce cours efficacement

1Les trois identités remarquables

2Factoriser avec les identités remarquables

3Calculs combinés

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Équations et Inéquations

Fonctions et Représentations

Systèmes d'Équations