Q₂

Chapitre 07 · Troisième

Statistiques et Probabilités

Médiane, quartiles, diagramme en boîte et probabilités

Réviser efficacement

Travailler Statistiques et Probabilités en Troisième

Ce chapitre de statistiques et probabilités en 3ème te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

Bien distinguer données, fréquence, probabilité et événement.
Savoir organiser l’information dans un tableau ou un arbre si nécessaire.

Compétences à maîtriser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Erreurs fréquentes

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

En contrôle ou en examen : Ce type de question valorise surtout la méthode et la lecture attentive de l’énoncé.

1Intermédiaire

Diagramme en boîte (box plot)

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Énoncé

Les temps (en minutes) pour finir un exercice sont :

8, 12, 15, 9, 11, 20, 7, 14, 16, 13

.
1. Trier et calculer

Q_1

Q_2

(médiane),

Q_3

.
2. Identifier les valeurs extrêmes.
3. Décrire le diagramme en boîte.

Correction détaillée

Tri et quartiles

Triés :

7, 8, 9, 11, \mathbf{12, 13}, 14, 15, 16, 20

n = 10

(pair) :
- Médiane

Q_2 = \dfrac{12+13}{2} = 12{,}5

- $Q_1$ = médiane de

\{7,8,9,11,12\}

9

- $Q_3$ = médiane de

\{13,14,15,16,20\}

15

Valeurs extrêmes

- Minimum :

7

- Maximum :

20

- Étendue interquartile (EIQ) :

Q_3 - Q_1 = 15 - 9 = 6

Lecture du diagramme en boîte

Le diagramme affiche :

\text{min} = 7

Q_1 = 9

Q_2 = 12{,}5

Q_3 = 15

\text{max} = 20

.
La boîte contient

50\%

des données. La valeur

20

est relativement isolée.

2Intermédiaire

Probabilités avec un tableau à double entrée

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Énoncé

On interroge 100 élèves sur leur sport et leur sexe.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & \text{Football} & \text{Natation} & \text{Total} \\ \hline \text{Garçons} & 30 & 15 & 45 \\ \hline \text{Filles} & 10 & 45 & 55 \\ \hline \text{Total} & 40 & 60 & 100 \end{array}

Un élève est choisi au hasard. Calculer

P(\text{Football})

P(\text{Garçon} \cap \text{Football})

P(\text{Garçon}|\text{Football})

Correction détaillée

Probabilité de pratiquer le football

P(\text{Football}) = \frac{40}{100} = 0{,}4 = 40\%

Probabilité — garçon ET football

P(\text{Garçon} \cap \text{Football}) = \frac{30}{100} = 0{,}3 = 30\%

Probabilité conditionnelle

P(\text{Garçon}|\text{Football}) = \frac{P(\text{Garçon} \cap \text{Football})}{P(\text{Football})} = \frac{30/100}{40/100} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 75\%

Parmi les pratiquants de football,

75\%

sont des garçons.

3Facile

Calcul de moyenne, médiane et étendue

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Énoncé

Les notes d'un élève sur 10 lors des 8 derniers contrôles sont :

6, 8, 7, 9, 5, 10, 7, 8

.
1. Calculer la moyenne.
2. Déterminer la médiane.
3. Calculer l'étendue et interpréter.

Correction détaillée

Calcul de la moyenne

\bar{x} = \frac{6 + 8 + 7 + 9 + 5 + 10 + 7 + 8}{8} = \frac{60}{8} = 7{,}5

La moyenne est

7{,}5

sur 10.

Médiane

Données triées :

5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10

n = 8

(pair) : la médiane est la moyenne des

4^\text{e}

5^\text{e}

valeurs :

Q_2 = \frac{7 + 8}{2} = 7{,}5

La moitié des notes est inférieure ou égale à

7{,}5

Étendue et interprétation

\text{Étendue} = \max - \min = 10 - 5 = 5

L'étendue de

5

points indique une dispersion modérée. Cet élève est assez régulier car la majorité des notes se situe entre

7

9

4Difficile

Probabilités avec un arbre de dénombrement

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Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est pair, on tire une boule dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues. Si le résultat est impair, on tire dans un sac contenant 1 boule rouge et 4 bleues.
1. Représenter la situation par un arbre.
2. Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge.
3. Calculer la probabilité que le dé soit impair sachant que la boule est rouge.

Correction détaillée

Arbre des probabilités

Premier niveau :

P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

P(\text{impair}) = \dfrac{1}{2}

.
Deuxième niveau :
- Si pair :

P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{5}

P(\text{bleue}) = \dfrac{2}{5}

- Si impair :

P(\text{rouge}) = \dfrac{1}{5}

P(\text{bleue}) = \dfrac{4}{5}

Probabilité d'obtenir une boule rouge

On additionne les chemins conduisant à "rouge" :

P(\text{rouge}) = P(\text{pair}) \times P(R|\text{pair}) + P(\text{impair}) \times P(R|\text{impair})

= \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Probabilité conditionnelle — dé impair sachant rouge

P(\text{impair}|\text{rouge}) = \frac{P(\text{impair} \cap \text{rouge})}{P(\text{rouge})} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{1}{4}

Sachant que la boule tirée est rouge, il y a

25\%

de chances que le dé ait donné un résultat impair.

5Intermédiaire

Moyenne pondérée et comparaison de séries

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Énoncé

Deux classes ont passé le même contrôle. Les résultats sont résumés ci-dessous.
Classe A : notes

4, 8, 12, 16

obtenues respectivement par

3, 8, 12, 7

élèves.
Classe B : notes

6, 10, 14

obtenues respectivement par

10, 10, 10

élèves.
1. Calculer la moyenne de chaque classe.
2. Comparer les deux classes.

Correction détaillée

Moyenne de la classe A (pondérée)

Effectif total :

3 + 8 + 12 + 7 = 30

élèves.

\bar{x}_A = \frac{4 \times 3 + 8 \times 8 + 12 \times 12 + 16 \times 7}{30} = \frac{12 + 64 + 144 + 112}{30} = \frac{332}{30} \approx 11{,}07

Moyenne de la classe B

Effectif total :

10 + 10 + 10 = 30

élèves.

\bar{x}_B = \frac{6 \times 10 + 10 \times 10 + 14 \times 10}{30} = \frac{60 + 100 + 140}{30} = \frac{300}{30} = 10

On pouvait aussi remarquer que les effectifs sont égaux, donc la moyenne est simplement

\dfrac{6 + 10 + 14}{3} = 10

Comparaison des deux classes

La classe A a une moyenne de

\approx 11{,}07

et la classe B une moyenne de

10

.
La classe A a de meilleures résultats en moyenne.
Cependant, la classe B a des effectifs uniformément répartis (même nombre d'élèves à chaque note), tandis que la classe A est dominée par les notes de

12

(la modalité la plus fréquente, avec

12

élèves).

6Facile

Simulation et fréquences relatives

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Énoncé

On lance une pièce de monnaie équilibrée

200

fois. On obtient

114

fois « Face ».
1. Calculer la fréquence relative de « Face ».
2. La pièce vous semble-t-elle équilibrée ? Justifier.
3. Si on lance la pièce

1000

fois, quel nombre de « Face » attend-on théoriquement ?

Correction détaillée

Fréquence relative de « Face »

f(\text{Face}) = \frac{\text{nombre de Face}}{\text{nombre total de lancers}} = \frac{114}{200} = 0{,}57 = 57\%

La pièce est-elle équilibrée ?

Pour une pièce équilibrée, la probabilité théorique de « Face » est

P = 0{,}5 = 50\%

.
La fréquence observée

57\%

s'éloigne un peu de

50\%

, mais cela reste possible avec

200

lancers (fluctuation d'échantillonnage).
Avec un plus grand nombre de lancers, la fréquence devrait se rapprocher de

50\%

(loi des grands nombres).

Nombre de « Face » attendu sur $1000$ lancers

La probabilité théorique est

P(\text{Face}) = \dfrac{1}{2}

\text{Nombre attendu} = 1000 \times \frac{1}{2} = 500 \text{ fois}

On s'attend à obtenir « Face » environ 500 fois sur 1000 lancers.

7Facile

Moyenne simple d'une série

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Énoncé

On considère la série :

12, 15, 9, 14, 10

.
1. Calculer la moyenne.
2. Calculer l'étendue.

Correction détaillée

Moyenne

\bar{x} = \frac{12+15+9+14+10}{5} = \frac{60}{5} = 12

Valeurs extrêmes

Minimum :

9

.
Maximum :

15

Étendue

\text{Étendue} = 15 - 9 = 6

8Facile

Médiane d'une série impaire

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Énoncé

Déterminer la médiane de la série :

4, 11, 7, 9, 6, 10, 8

Correction détaillée

Tri des données

On classe les valeurs par ordre croissant :

4, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Repérage de la valeur centrale

Il y a

7

valeurs, donc la médiane est la

4^\text{e}

valeur.

Conclusion

La médiane est donc :

8

9Facile

Probabilité sur un dé

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Énoncé

On lance un dé équilibré.
1. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de 3.
2. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4.
3. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair.

Correction détaillée

Multiple de 3

Les issues favorables sont

3

6

P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Nombre strictement supérieur à 4

Les issues favorables sont

5

6

P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Nombre pair

Les issues favorables sont

2

4

6

P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

10Intermédiaire

Moyenne pondérée d'une classe

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Énoncé

Dans une classe, 5 élèves ont eu 8, 10 élèves ont eu 12 et 5 élèves ont eu 16.
Calculer la moyenne de la classe.

Correction détaillée

Somme pondérée

8 \times 5 + 12 \times 10 + 16 \times 5 = 40 + 120 + 80 = 240

Effectif total

5 + 10 + 5 = 20

Moyenne

\bar{x} = \frac{240}{20} = 12

11Intermédiaire

Quartiles d'une série

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Énoncé

Déterminer

Q_1

, la médiane et

Q_3

de la série ordonnée :

2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13

Correction détaillée

Médiane

Il y a

9

valeurs. La médiane est la

5^\text{e}

valeur :

Me = 7

Premier quartile

La moitié inférieure est

2, 4, 5, 6

.
On prend la valeur de rang

\lceil 9/4 \rceil = 3

dans la série :

Q_1 = 5

Troisième quartile

Le rang de

Q_3

est

\lceil 3 \times 9 / 4 \rceil = 7

.
La

7^\text{e}

valeur vaut

10

.
Donc

Q_3 = 10

12Intermédiaire

Urne avec boules colorées

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Énoncé

Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 3 boules bleues.
On tire une boule au hasard.
1. Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge.
2. Calculer la probabilité de ne pas obtenir de boule verte.

Correction détaillée

Effectif total

4 + 3 + 3 = 10

boules au total.

Probabilité d'obtenir rouge

P(\text{rouge}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Pas de verte

Les issues favorables sont rouge ou bleue :

4+3=7

P(\text{non verte}) = \frac{7}{10}

13Intermédiaire

Comparer deux séries par leur étendue

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Énoncé

Série A :

9, 10, 10, 11, 12

.
Série B :

6, 9, 10, 13, 14

.
1. Calculer l'étendue de chaque série.
2. Quelle série est la plus dispersée ?

Correction détaillée

Étendue de la série A

12 - 9 = 3

Étendue de la série B

14 - 6 = 8

Comparaison

Comme

8 > 3

, la série B est la plus dispersée.

14Facile

Probabilité d'un événement contraire

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Énoncé

Dans une classe, 18 élèves sur 30 prennent le bus pour venir au collège.
1. Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard prenne le bus.
2. Calculer la probabilité qu'il ne prenne pas le bus.

Correction détaillée

Prendre le bus

P(B) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

Événement contraire

P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

Vérification

On peut aussi compter directement :

30-18=12

élèves ne prennent pas le bus.

\frac{12}{30} = \frac{2}{5}

15Intermédiaire

Lecture d'un tableau d'effectifs

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Énoncé

On a relevé le nombre de livres lus pendant un mois par 20 élèves :
1 livre : 6 élèves ; 2 livres : 8 élèves ; 3 livres : 4 élèves ; 4 livres : 2 élèves.
1. Calculer la moyenne.
2. Déterminer la médiane.

Correction détaillée

Moyenne pondérée

\bar{x} = \frac{1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 4 + 4 \times 2}{20} = \frac{6 + 16 + 12 + 8}{20} = \frac{42}{20} = 2{,}1

Repérage de la médiane

Il y a 20 valeurs. Les

10^\text{e}

11^\text{e}

valeurs déterminent la médiane.
Les élèves classés 1 à 6 ont lu 1 livre, et les élèves 7 à 14 ont lu 2 livres.

Conclusion

Les

10^\text{e}

11^\text{e}

valeurs valent toutes les deux 2.
La médiane est donc

2

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

Organisation

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

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Continuer la progression

Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 06

Travailler Statistiques et Probabilités en Troisième

Diagramme en boîte (box plot)

Tri et quartiles

Valeurs extrêmes

Lecture du diagramme en boîte

Probabilités avec un tableau à double entrée

Probabilité de pratiquer le football

Probabilité — garçon ET football

Probabilité conditionnelle

Calcul de moyenne, médiane et étendue

Calcul de la moyenne

Médiane

Étendue et interprétation

Probabilités avec un arbre de dénombrement

Arbre des probabilités

Probabilité d'obtenir une boule rouge

Probabilité conditionnelle — dé impair sachant rouge

Moyenne pondérée et comparaison de séries

Moyenne de la classe A (pondérée)

Moyenne de la classe B

Comparaison des deux classes

Simulation et fréquences relatives

Fréquence relative de « Face »

La pièce est-elle équilibrée ?

Nombre de « Face » attendu sur $1000$ lancers

Moyenne simple d'une série

Moyenne

Valeurs extrêmes

Étendue

Médiane d'une série impaire

Tri des données

Repérage de la valeur centrale

Conclusion

Probabilité sur un dé

Multiple de 3

Nombre strictement supérieur à 4

Nombre pair

Moyenne pondérée d'une classe

Somme pondérée

Effectif total

Moyenne

Quartiles d'une série

Médiane

Premier quartile

Troisième quartile

Urne avec boules colorées

Effectif total

Probabilité d'obtenir rouge

Pas de verte

Comparer deux séries par leur étendue

Étendue de la série A

Étendue de la série B

Comparaison

Probabilité d'un événement contraire

Prendre le bus

Événement contraire

Vérification

Lecture d'un tableau d'effectifs

Moyenne pondérée

Repérage de la médiane

Conclusion

Garder le cap sur ce chapitre

Mettre ce chapitre de côté intelligemment

Chapitres liés à revoir ensuite

Trigonométrie Avancée

Calculs Numériques Avancés

Pythagore et Thalès — Applications