MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 07 · Troisième

Statistiques et Probabilités

Médiane, quartiles, diagramme en boîte et probabilités

1Intermédiaire

Diagramme en boîte (box plot)

Énoncé

Les temps (en minutes) pour finir un exercice sont : 8,12,15,9,11,20,7,14,16,138, 12, 15, 9, 11, 20, 7, 14, 16, 13.
1. Trier et calculer Q1Q_1, Q2Q_2 (médiane), Q3Q_3.
2. Identifier les valeurs extrêmes.
3. Décrire le diagramme en boîte.

Correction détaillée

01

Tri et quartiles

Triés : 7,8,9,11,12,13,14,15,16,207, 8, 9, 11, \mathbf{12, 13}, 14, 15, 16, 20.
n=10n = 10 (pair) :
- Médiane Q2=12+132=12,5Q_2 = \dfrac{12+13}{2} = 12{,}5
- Q1Q_1 = médiane de {7,8,9,11,12}\{7,8,9,11,12\} = 99
- Q3Q_3 = médiane de {13,14,15,16,20}\{13,14,15,16,20\} = 1515
02

Valeurs extrêmes

- Minimum : 77
- Maximum : 2020
- Étendue interquartile (EIQ) : Q3−Q1=15−9=6Q_3 - Q_1 = 15 - 9 = 6
03

Lecture du diagramme en boîte

Le diagramme affiche : min=7\text{min} = 7, Q1=9Q_1 = 9, Q2=12,5Q_2 = 12{,}5, Q3=15Q_3 = 15, max=20\text{max} = 20.
La boîte contient 50%50\% des données. La valeur 2020 est relativement isolée.
2Intermédiaire

Probabilités avec un tableau à double entrée

Énoncé

On interroge 100 élèves sur leur sport et leur sexe.
FootballNatationTotalGarc¸ons301545Filles104555Total4060100\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & \text{Football} & \text{Natation} & \text{Total} \\ \hline \text{Garçons} & 30 & 15 & 45 \\ \hline \text{Filles} & 10 & 45 & 55 \\ \hline \text{Total} & 40 & 60 & 100 \end{array}
Un élève est choisi au hasard. Calculer P(Football)P(\text{Football}), P(Garc¸on∩Football)P(\text{Garçon} \cap \text{Football}) et P(Garc¸on∣Football)P(\text{Garçon}|\text{Football}).

Correction détaillée

01

Probabilité de pratiquer le football

P(Football)=40100=0,4=40%P(\text{Football}) = \frac{40}{100} = 0{,}4 = 40\%
02

Probabilité — garçon ET football

P(Garc¸on∩Football)=30100=0,3=30%P(\text{Garçon} \cap \text{Football}) = \frac{30}{100} = 0{,}3 = 30\%
03

Probabilité conditionnelle

P(Garc¸on∣Football)=P(Garc¸on∩Football)P(Football)=30/10040/100=3040=34=75%P(\text{Garçon}|\text{Football}) = \frac{P(\text{Garçon} \cap \text{Football})}{P(\text{Football})} = \frac{30/100}{40/100} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 75\%
Parmi les pratiquants de football, 75%75\% sont des garçons.
3Facile

Calcul de moyenne, médiane et étendue

Énoncé

Les notes d'un élève sur 10 lors des 8 derniers contrôles sont : 6,8,7,9,5,10,7,86, 8, 7, 9, 5, 10, 7, 8.
1. Calculer la moyenne.
2. Déterminer la médiane.
3. Calculer l'étendue et interpréter.

Correction détaillée

01

Calcul de la moyenne

xˉ=6+8+7+9+5+10+7+88=608=7,5\bar{x} = \frac{6 + 8 + 7 + 9 + 5 + 10 + 7 + 8}{8} = \frac{60}{8} = 7{,}5
La moyenne est 7,57{,}5 sur 10.
02

Médiane

Données triées : 5,6,7,7,8,8,9,105, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
n=8n = 8 (pair) : la médiane est la moyenne des 4e4^\text{e} et 5e5^\text{e} valeurs :
Q2=7+82=7,5Q_2 = \frac{7 + 8}{2} = 7{,}5
La moitié des notes est inférieure ou égale à 7,57{,}5.
03

Étendue et interprétation

Eˊtendue=max⁡−min⁡=10−5=5\text{Étendue} = \max - \min = 10 - 5 = 5
L'étendue de 55 points indique une dispersion modérée. Cet élève est assez régulier car la majorité des notes se situe entre 77 et 99.
4Difficile

Probabilités avec un arbre de dénombrement

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est pair, on tire une boule dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues. Si le résultat est impair, on tire dans un sac contenant 1 boule rouge et 4 bleues.
1. Représenter la situation par un arbre.
2. Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge.
3. Calculer la probabilité que le dé soit impair sachant que la boule est rouge.

Correction détaillée

01

Arbre des probabilités

Premier niveau : P(pair)=36=12P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} et P(impair)=12P(\text{impair}) = \dfrac{1}{2}.
Deuxième niveau :
- Si pair : P(rouge)=35P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{5}, P(bleue)=25P(\text{bleue}) = \dfrac{2}{5}
- Si impair : P(rouge)=15P(\text{rouge}) = \dfrac{1}{5}, P(bleue)=45P(\text{bleue}) = \dfrac{4}{5}
02

Probabilité d'obtenir une boule rouge

On additionne les chemins conduisant à "rouge" :
P(rouge)=P(pair)×P(R∣pair)+P(impair)×P(R∣impair)P(\text{rouge}) = P(\text{pair}) \times P(R|\text{pair}) + P(\text{impair}) \times P(R|\text{impair})
=12×35+12×15=310+110=410=25= \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
03

Probabilité conditionnelle — dé impair sachant rouge

P(impair∣rouge)=P(impair∩rouge)P(rouge)=12×1525=11025=110×52=14P(\text{impair}|\text{rouge}) = \frac{P(\text{impair} \cap \text{rouge})}{P(\text{rouge})} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{1}{4}
Sachant que la boule tirée est rouge, il y a 25%25\% de chances que le dé ait donné un résultat impair.