a²+b²=c²

Chapitre 05 · Troisième

Cours

Pythagore et Thalès

Théorèmes fondamentaux de géométrie et leurs réciproques

Le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès sont deux piliers de la géométrie plane. En 3ème, on maîtrise non seulement leur application directe, mais aussi leurs réciproques — qui permettent de prouver qu'un triangle est rectangle (Pythagore) ou que des droites sont parallèles (Thalès). Ces théorèmes sont omniprésents dans les problèmes de géométrie et ont d'innombrables applications pratiques.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Points de vigilance

Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
Oublier de vérifier les conditions d’application.

1Théorème de Pythagore et sa réciproque

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle en

C

, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

BC^2 + AC^2 = AB^2

où

AB

est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).

Réciproque : Si dans un triangle

ABC

on a

BC^2 + AC^2 = AB^2

, alors le triangle est rectangle en

C

.

Contraposée : Si

BC^2 + AC^2 \neq AB^2

, alors le triangle n'est pas rectangle en

C

Définition

Hypoténuse

L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle. Il est toujours opposé à l'angle droit. C'est le côté seul dans le membre droit de l'égalité de Pythagore.

Définition

Réciproque d'un théorème

La réciproque d'un théorème est l'énoncé obtenu en échangeant hypothèse et conclusion. La réciproque de Pythagore permet de "prouver" qu'un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses côtés.

Exemple 1— Calculer une longueur avec Pythagore

Dans un triangle rectangle en

B

AB = 5

BC = 12

. Calculer

AC

Solution

Par Pythagore (angle droit en

B

, hypoténuse

AC

) :

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

AC = \sqrt{169} = \mathbf{13}

Exemple 2— Vérifier si un triangle est rectangle (réciproque)

Un triangle a des côtés

7

24

25

. Est-il rectangle ?

Solution

On teste si

7^2 + 24^2 = 25^2

7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625

25^2 = 625

L'égalité est vérifiée. Par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au côté

25

L'hypoténuse (côté le plus long) est isolée dans $c^2 = a^2 + b^2$ .
Réciproque : si $a^2 + b^2 = c^2$ , le triangle est rectangle.
Toujours identifier l'angle droit avant d'écrire l'égalité.

2Théorème de Thalès et sa réciproque

Théorème de Thalès : Si deux droites

d

d'

parallèles coupent deux droites sécantes

(SA)

(SB)

aux points

M

N

(sur

SA

SB

), alors les longueurs sont proportionnelles :

\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{MN}{AB}

Réciproque de Thalès : Si

\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}

(et que les points sont dans le même ordre), alors

(MN) \parallel (AB)

.

Thalès permet aussi de calculer une longueur inconnue grâce à une proportion.

Définition

Configuration de Thalès

La configuration de Thalès nécessite un sommet

S

, deux droites sécantes en

S

et deux droites parallèles coupant ces sécantes. Il existe deux configurations : "papillon" (droites parallèles de part et d'autre de

S

) et configuration classique.

Exemple 1— Calculer une longueur avec Thalès

Dans un triangle

SAB

(MN) \parallel (AB)

SM = 3

SA = 6

AB = 8

. Calculer

MN

Solution

Par le théorème de Thalès :

\frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB}

\frac{3}{6} = \frac{MN}{8}

MN = 8 \times \frac{3}{6} = 8 \times \frac{1}{2} = \mathbf{4}

Exemple 2— Prouver que des droites sont parallèles (réciproque)

Sur deux droites sécantes en

S

SM = 4

SA = 10

SN = 6

SB = 15

. Les droites

(MN)

(AB)

sont-elles parallèles ?

Solution

On vérifie si

\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}

\frac{SM}{SA} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \quad \text{et} \quad \frac{SN}{SB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

Les rapports sont égaux. Par la réciproque de Thalès,

(MN) \parallel (AB)

⚠ Attention

Attention à l'ordre des points :

\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}

(et non

\dfrac{SM}{MA}

). Une erreur d'ordre donne un résultat faux.

Thalès : parallèles → égalité de rapports.
Réciproque de Thalès : égalité de rapports → parallèles.
Toujours vérifier que les points sont dans le même ordre par rapport à $S$ .

★ À retenir

1
Pythagore : triangle rectangle en $C$ ↔ $AB^2 = AC^2 + BC^2$ .
2
Réciproque de Pythagore : $a^2 + b^2 = c^2$ → triangle rectangle.
3
Thalès : $(MN) \parallel (AB)$ → $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{MN}{AB}$ .
4
Réciproque de Thalès : égalité de rapports → droites parallèles.

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Exercices — Pythagore et Thalès

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Chapitre 04

Pythagore et Thalès

Comment utiliser ce cours efficacement

1Théorème de Pythagore et sa réciproque

2Théorème de Thalès et sa réciproque

★ À retenir

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Trigonométrie Avancée

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