Ce qu’il faut viser
- Maîtriser les méthodes essentielles de systèmes d'équations.
- Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.
Chapitre 04 · Troisième
CoursSystèmes d'Équations
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
Aller aux exercices →Un système de deux équations à deux inconnues permet de modéliser des problèmes faisant intervenir deux quantités liées par deux conditions simultanées. On dispose de deux méthodes de résolution algébrique : la substitution et la combinaison (ou addition). La solution est le couple qui vérifie les deux équations en même temps.
Mieux retenir
Comment utiliser ce cours efficacement
Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.
Points de vigilance
- Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
- Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.
1Méthode par substitution
La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une des équations, puis à substituer cette expression dans la deuxième équation.
Étapes :
1. Dans l'une des équations, isoler une inconnue (choisir celle dont le coefficient est le plus simple).
2. Substituer cette expression dans l'autre équation.
3. Résoudre l'équation obtenue à une inconnue.
4. Calculer la valeur de la deuxième inconnue.
5. Vérifier le couple solution dans les deux équations.
Étapes :
1. Dans l'une des équations, isoler une inconnue (choisir celle dont le coefficient est le plus simple).
2. Substituer cette expression dans l'autre équation.
3. Résoudre l'équation obtenue à une inconnue.
4. Calculer la valeur de la deuxième inconnue.
5. Vérifier le couple solution dans les deux équations.
Définition
Système d'équations
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations qui doivent être vérifiées simultanément. Sa solution est le couple qui satisfait les deux équations.
Définition
Substitution
La substitution consiste à remplacer une inconnue par son expression en fonction de l'autre. On extrait par exemple de la première équation, puis on remplace par cette expression dans la seconde.
Exemple 1— Résolution par substitution
Résoudre le système .
Solution
La première équation donne directement .
On substitue dans la deuxième :
Puis .
Vérification dans la 2ème éq. : ✓
Solution :
On substitue dans la deuxième :
Puis .
Vérification dans la 2ème éq. : ✓
Solution :
- Isoler l'inconnue dont le coefficient est 1 (ou -1) pour faciliter les calculs.
- Substituer dans l'autre équation pour obtenir une équation à une inconnue.
- Toujours vérifier le couple solution dans les deux équations.
2Méthode par combinaison (addition)
La méthode par combinaison consiste à additionner (ou soustraire) les deux équations de façon à éliminer une des inconnues.
Étapes :
1. Si nécessaire, multiplier une (ou les deux) équation(s) par un nombre de façon à rendre les coefficients d'une inconnue opposés.
2. Additionner les deux équations membre à membre : l'inconnue choisie disparaît.
3. Résoudre l'équation à une inconnue.
4. Trouver la valeur de la deuxième inconnue.
5. Vérifier.
Cette méthode est souvent plus rapide que la substitution quand les coefficients sont entiers.
Étapes :
1. Si nécessaire, multiplier une (ou les deux) équation(s) par un nombre de façon à rendre les coefficients d'une inconnue opposés.
2. Additionner les deux équations membre à membre : l'inconnue choisie disparaît.
3. Résoudre l'équation à une inconnue.
4. Trouver la valeur de la deuxième inconnue.
5. Vérifier.
Cette méthode est souvent plus rapide que la substitution quand les coefficients sont entiers.
Exemple 1— Résolution par combinaison
Résoudre le système .
Solution
Les coefficients de sont et : ils sont opposés. On additionne directement :
On substitue dans la première équation :
Vérification dans la 2ème : ✓
Solution :
On substitue dans la première équation :
Vérification dans la 2ème : ✓
Solution :
Exemple 2— Combinaison avec multiplication
Résoudre .
Solution
On multiplie la 2ème équation par pour avoir et :
On additionne :
On substitue : .
Solution :
On additionne :
On substitue : .
Solution :
- Multiplier une équation pour rendre deux coefficients opposés.
- L'addition des équations fait disparaître une inconnue.
- Si la solution est un couple non entier, la vérification est indispensable.
★ À retenir
- 1Substitution : isoler une inconnue, puis substituer dans l'autre équation.
- 2Combinaison : multiplier pour rendre des coefficients opposés, puis additionner.
- 3Solution = couple à vérifier dans les deux équations.
- 4Graphiquement, la solution est le point d'intersection des deux droites.
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