Chapitre 10 · Terminale

Cours

Variables Aléatoires Discrètes

Espérance, variance et loi binomiale

Une variable aléatoire discrète $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. On l'utilise pour quantifier et analyser des phénomènes incertains (nombre de pannes, de succès dans un jeu…). Les notions clés sont l'espérance (valeur moyenne théorique), la variance (dispersion) et l'écart-type. La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une expérience de Bernoulli.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Loi de probabilité et espérance

La loi de probabilité de

X

est la liste des valeurs

x_i

et de leurs probabilités

p_i = P(X = x_i)

avec

\sum p_i = 1

.

Espérance :

E(X) = \sum_i x_i \cdot p_i

. C'est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Elle représente la valeur « attendue » sur le long terme.

Définition

Espérance

E(X) = \sum_i x_i p_i

. Si l'expérience est répétée un grand nombre de fois, la moyenne des résultats se rapproche de

E(X)

(loi des grands nombres).

Définition

Linéarité de l'espérance

E(aX + b) = aE(X) + b

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

(même si

X

Y

ne sont pas indépendantes).

Exemple 1— Calcul d'espérance

Un jeu donne

+3

avec probabilité

\frac{1}{3}

-1

avec probabilité

\frac{2}{3}

. Calculer l'espérance du gain.

Solution

E(X) = 3 \times \frac{1}{3} + (-1) \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

En moyenne, on gagne

\frac{1}{3}

à chaque partie (jeu favorable).

$\sum p_i = 1$ : les probabilités doivent toujours sommer à 1.
Jeu équitable : $E(X) = 0$ .

2Variance et écart-type

La variance mesure la dispersion autour de l'espérance :

V(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2

L'écart-type est

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

(même unité que

X

).

Propriétés :
-

V(X) \geq 0

;

V(X) = 0 \Leftrightarrow X

constante.
-

V(aX + b) = a^2 V(X)

Définition

Variance

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

. Formule pratique : calculer

E(X^2) = \sum x_i^2 p_i

puis soustraire

[E(X)]^2

Définition

Écart-type

\sigma = \sqrt{V(X)}

. Dans l'intervalle

[E(X) - 2\sigma,\, E(X) + 2\sigma]

se trouvent souvent la majorité des valeurs probables (règle des

2\sigma

Exemple 1— Variance d'une variable aléatoire

X

prend les valeurs

0, 1, 2

avec probabilités

0{,}5

0{,}3

0{,}2

. Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Solution

E(X) = 0\times 0{,}5 + 1\times 0{,}3 + 2\times 0{,}2 = 0{,}7

E(X^2) = 0\times 0{,}5 + 1\times 0{,}3 + 4\times 0{,}2 = 1{,}1

V(X) = 1{,}1 - 0{,}49 = 0{,}61

\sigma(X) = \sqrt{0{,}61} \approx 0{,}78

3Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

On répète

n

fois une épreuve de Bernoulli (succès de probabilité

p

, échec de probabilité

1-p

), de façon indépendante.

X

= nombre de succès suit la loi binomiale

\mathcal{B}(n, p)

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad (k = 0, 1, \ldots, n)

Espérance :

E(X) = np

; Variance :

V(X) = np(1-p)

; Écart-type :

\sigma = \sqrt{np(1-p)}

Définition

Loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(n, p)

X

est le nombre de succès dans

n

épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre

p

P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Définition

Épreuve de Bernoulli

Expérience avec exactement deux issues : succès (probabilité

p

) ou échec (probabilité

1-p

). Exemple : pile ou face, tirage d'une boule.

Exemple 1— Calcul binomial

On lance un dé 5 fois. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 fois le chiffre 6.

Solution

X \sim \mathcal{B}(5, \frac{1}{6})

P(X=2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}161

Conditions d'utilisation : $n$ épreuves indépendantes, même probabilité $p$ .
$E(X) = np$ ; $V(X) = np(1-p)$ .
Utiliser les tables ou la calculatrice pour les probabilités cumulées.

★ À retenir

1
$E(X) = \sum x_i p_i$ ; $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ .
2
$E(aX+b) = aE(X)+b$ ; $V(aX+b) = a^2 V(X)$ .
3
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes.
4
$P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ ; $E(X)=np$ ; $V(X)=np(1-p)$ .
5
Jeu équitable : $E(\text{gain}) = 0$ .

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Chapitre 08

Variables Aléatoires Discrètes

Comment utiliser ce cours efficacement

1Loi de probabilité et espérance

2Variance et écart-type

3Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

★ À retenir

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