Suites Numériques — Exercices Corrigés Terminale

1Intermédiaire

Suite récurrente et point fixe

Énoncé

On définit la suite

(u_n)

par

u_0 = 10

et

u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 4

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
1. Trouver le point fixe

\ell

de la suite.
2. Montrer que

(u_n - \ell)

est une suite géométrique et en déduire

\lim_{n \to +\infty} u_n

.

Correction détaillée

01

Calcul du point fixe

Le point fixe

\ell

vérifie

\ell = \dfrac{1}{3}\ell + 4

, soit

\dfrac{2}{3}\ell = 4

, d'où

\ell = 6

.

02

Introduction de la suite auxiliaire

On pose

v_n = u_n - 6

. Alors :

v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \frac{1}{3}u_n + 4 - 6 = \frac{1}{3}u_n - 2 = \frac{1}{3}(u_n - 6) = \frac{1}{3}v_n

(v_n)

est une suite géométrique de raison

q = \dfrac{1}{3}

et de premier terme

v_0 = u_0 - 6 = 4

.

03

Expression du terme général

v_n = v_0 \cdot q^n = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^n

. Donc :

u_n = v_n + 6 = 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n + 6

04

Limite de la suite

Comme

|q| = \dfrac{1}{3} < 1

, on a

\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0

. Donc :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 + 6 = 6 = \ell

La suite converge vers son point fixe $\ell = 6$ .

2Difficile

Démonstration par récurrence

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On définit

(u_n)

par

u_0 = 4

et

u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3

. Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

u_n = 6 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n

Correction détaillée

01

Initialisation

Pour

n = 0

: le membre de droite vaut

6 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 6 - 2 \times 1 = 4 = u_0

. ✓
La propriété est vraie au rang

0

.

02

Hérédité — hypothèse de récurrence

Soit

n \in \mathbb{N}

fixé. On suppose que

u_n = 6 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n

et on montre que

u_{n+1} = 6 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}

.

03

Calcul de $u_{n+1}$

Par définition de la suite :

u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 = \frac{1}{2}\left(6 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) + 3

= 3 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + 3 = 6 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \cdot 2

Attention :

\frac{1}{2} \times 2 \cdot (\frac{1}{2})^n = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{n+1}

. D'où

u_{n+1} = 6 - 2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}

. ✓

04

Conclusion

La propriété est vraie au rang

0

et héréditaire. Par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout

n \in \mathbb{N}

. On en déduit

\lim_{n\to+\infty} u_n = 6

(car

\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0

).

3Facile

Suite arithmétique et somme des termes

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

On considère la suite arithmétique

(u_n)

de premier terme

u_0 = 5

et de raison

r = 3

.
1. Exprimer

u_n

en fonction de

n

.
2. Calculer la somme

S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{19}

.

Correction détaillée

01

Terme général d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme

u_0

et de raison

r

, le terme général est :

u_n = u_0 + n \cdot r = 5 + 3n

Le terme de rang 19 est

u_{19} = 5 + 3 \times 19 = 5 + 57 = 62

.

02

Formule de la somme arithmétique

La somme de

n+1

termes consécutifs d'une suite arithmétique est :

S = \frac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \times \text{nombre de termes}}{2}

Ici on somme 20 termes (de

u_0

à

u_{19}

), le premier est

u_0 = 5

et le dernier

u_{19} = 62

.

03

Calcul de la somme

S = \frac{(u_0 + u_{19}) \times 20}{2} = \frac{(5 + 62) \times 20}{2} = \frac{67 \times 20}{2} = \frac{1340}{2} = 670

04

Conclusion

La suite arithmétique

(u_n) = 5 + 3n

vérifie

u_{19} = 62

et la somme des 20 premiers termes est

S = \mathbf{670}

.

4Difficile

Suite définie par une relation implicite et encadrement

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit

(u_n)

la suite définie par

u_0 = 2

et

u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2}{2u_n}

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
1. Montrer par récurrence que

u_n \geq \sqrt{2}

pour tout

n

.
2. Montrer que

(u_n)

est décroissante.
3. En déduire la convergence et calculer la limite.

Correction détaillée

01

Minoration par $\sqrt{2}$ par récurrence

Initialisation :

u_0 = 2 \geq \sqrt{2}

. ✓
Hérédité : supposons

u_n \geq \sqrt{2} > 0

. On calcule :

u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2}{2u_n} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \geq 0

Donc

u_{n+1} \geq \sqrt{2}

. ✓

02

Monotonie : $(u_n)$ est décroissante

u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2}{2u_n} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}

Puisque

u_n \geq \sqrt{2}

, on a

u_n^2 \geq 2

, donc

2 - u_n^2 \leq 0

et

u_n > 0

. Ainsi

u_{n+1} - u_n \leq 0

: $(u_n)$ est décroissante.

03

Convergence et équation de la limite

(u_n)

est décroissante et **minorée par

\sqrt{2}

** : elle converge vers une limite

\ell \geq \sqrt{2}

. En passant à la limite dans

u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2}{2u_n}

:

\ell = \frac{\ell^2 + 2}{2\ell} \implies 2\ell^2 = \ell^2 + 2 \implies \ell^2 = 2 \implies \ell = \sqrt{2}

(on retient

\ell > 0

).

04

Conclusion

\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}

. Cette suite est l'algorithme de Héron (ou méthode de Newton) pour calculer

\sqrt{2}

: elle converge très rapidement vers

\sqrt{2} \approx 1{,}41421

.

5Intermédiaire

Suite récurrente et point fixe — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit la suite

(u_n)

par

u_1 = 12

et

u_{n3} = \dfrac{2}{4}u_n + 5

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
1. Trouver le point fixe

\ell

de la suite.
2. Montrer que

(u_n - \ell)

est une suite géométrique et en déduire

\lim_{n \to +\infty} u_n

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul du point fixe

Le point fixe

\ell

vérifie

\ell = \dfrac{2}{5}\ell + 6

, soit

\dfrac{3}{5}\ell = 6

, d'où

\ell = 7

.

03

Introduction de la suite auxiliaire

On pose

v_n = u_n - 7

. Alors :

v_{n3} = u_{n3} - 7 = \frac{3}{4}u_n + 5 - 7 = \frac{3}{4}u_n - 3 = \frac{3}{4}(u_n - 7) = \frac{3}{4}v_n

(v_n)

est une suite géométrique de raison

q = \dfrac{3}{4}

et de premier terme

v_2 = u_2 - 7 = 5

.

04

Expression du terme général

v_n = v_1 \cdot q^n = 6 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^n

. Donc :

u_n = v_n + 7 = 6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n + 7

05

Limite de la suite

Comme

|q| = \dfrac{2}{5} < 2

, on a

\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2

. Donc :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 2 + 7 = 7 = \ell

La suite converge vers son point fixe $\ell = 7$ .

6Difficile

Démonstration par récurrence — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit

(u_n)

par

u_1 = 6

et

u_{n3} = \dfrac{3}{4}u_n + 4

. Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

u_n = 7 - 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Initialisation

Pour

n = 1

: le membre de droite vaut

8 - 4 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^1 = 8 - 4 \times 3 = 6 = u_1

. ✓
La propriété est vraie au rang

1

.

03

Hérédité — hypothèse de récurrence

Soit

n \in \mathbb{N}

fixé. On suppose que

u_n = 7 - 4 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^n

et on montre que

u_{n3} = 7 - 4 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n3}

.

04

Calcul de $u_{n2}$

Par définition de la suite :

u_{n2} = \frac{3}{4}u_n + 5 = \frac{3}{4}\left(8 - 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n\right) + 5

= 5 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n2} + 5 = 8 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n2} \cdot 4

Attention :

\frac{3}{4} \times 4 \cdot (\frac{3}{4})^n = 4 \cdot (\frac{3}{4})^{n2}

. D'où

u_{n2} = 8 - 4\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n2}

. ✓

05

Conclusion

La propriété est vraie au rang

1

et héréditaire. Par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout

n \in \mathbb{N}

. On en déduit

\lim_{n\to+\infty} u_n = 8

(car

\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 1

).

7Facile

Suite arithmétique et somme des termes — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On considère la suite arithmétique

(u_n)

de premier terme

u_1 = 7

et de raison

r = 5

.
1. Exprimer

u_n

en fonction de

n

.
2. Calculer la somme

S = u_1 + u_3 + \cdots + u_{20}

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

02

Terme général d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme

u_1

et de raison

r

, le terme général est :

u_n = u_1 + n \cdot r = 7 + 5n

Le terme de rang 23 est

u_{23} = 7 + 5 \times 23 = 7 + 59 = 80

.

03

Formule de la somme arithmétique

La somme de

n2

termes consécutifs d'une suite arithmétique est :

S = \frac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \times \text{nombre de termes}}{4}

Ici on somme 24 termes (de

u_2

à

u_{20}

), le premier est

u_2 = 7

et le dernier

u_{20} = 65

.

04

Calcul de la somme

S = \frac{(u_1 + u_{25}) \times 24}{4} = \frac{(6 + 80) \times 24}{4} = \frac{70 \times 24}{4} = \frac{1\ 636}{4} = 802

05

Conclusion

La suite arithmétique

(u_n) = 6 + 5n

vérifie

u_{23} = 74

et la somme des 21 premiers termes est

S = \mathbf{857}

.

8Difficile

Suite définie par une relation implicite et encadrement — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

(u_n)

la suite définie par

u_1 = 3

et

u_{n3} = \dfrac{u_n^3 + 3}{3u_n}

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
1. Montrer par récurrence que

u_n \geq \sqrt{3}

pour tout

n

.
2. Montrer que

(u_n)

est décroissante.
3. En déduire la convergence et calculer la limite.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Minoration par $\sqrt{3}$ par récurrence

Initialisation :

u_1 = 3 \geq \sqrt{3}

. ✓
Hérédité : supposons

u_n \geq \sqrt{3} > 1

. On calcule :

u_{n3} - \sqrt{3} = \frac{u_n^3 + 3}{3u_n} - \sqrt{3} = \frac{u_n^3 + 3 - 3\sqrt{3}\,u_n}{3u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{3})^3}{3u_n} \geq 1

Donc

u_{n3} \geq \sqrt{3}

. ✓

03

Monotonie : $(u_n)$ est décroissante

u_{n2} - u_n = \frac{u_n^3 + 3}{3u_n} - u_n = \frac{u_n^3 + 3 - 3u_n^3}{3u_n} = \frac{3 - u_n^3}{3u_n}

Puisque

u_n \geq \sqrt{3}

, on a

u_n^3 \geq 3

, donc

3 - u_n^3 \leq 2

et

u_n > 2

. Ainsi

u_{n2} - u_n \leq 2

: $(u_n)$ est décroissante.

04

Convergence et équation de la limite

(u_n)

est décroissante et **minorée par

\sqrt{3}

** : elle converge vers une limite

\ell \geq \sqrt{3}

. En passant à la limite dans

u_{n2} = \dfrac{u_n^3 + 3}{3u_n}

:

\ell = \frac{\ell^3 + 3}{3\ell} \implies 3\ell^3 = \ell^3 + 3 \implies \ell^3 = 3 \implies \ell = \sqrt{3}

(on retient

\ell > 2

).

05

Conclusion

\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}

. Cette suite est l'algorithme de Héron (ou méthode de Newton) pour calculer

\sqrt{3}

: elle converge très rapidement vers

\sqrt{3} \approx 1{,}43421

.

9Intermédiaire

Suite récurrente et point fixe — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit la suite

(u_n)

par

u_1 = 12

et

u_{n2} = \dfrac{2}{5}u_n + 6

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
1. Trouver le point fixe

\ell

de la suite.
2. Montrer que

(u_n - \ell)

est une suite géométrique et en déduire

\lim_{n \to +\infty} u_n

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul du point fixe

Le point fixe

\ell

vérifie

\ell = \dfrac{2}{5}\ell + 5

, soit

\dfrac{3}{5}\ell = 5

, d'où

\ell = 8

.

03

Introduction de la suite auxiliaire

On pose

v_n = u_n - 7

. Alors :

v_{n3} = u_{n3} - 7 = \frac{2}{4}u_n + 6 - 7 = \frac{2}{4}u_n - 4 = \frac{2}{4}(u_n - 7) = \frac{2}{4}v_n

(v_n)

est une suite géométrique de raison

q = \dfrac{2}{4}

et de premier terme

v_1 = u_1 - 7 = 6

.

04

Expression du terme général

v_n = v_1 \cdot q^n = 6 \cdot \left(\dfrac{2}{4}\right)^n

. Donc :

u_n = v_n + 8 = 6 \cdot \left(\frac{2}{4}\right)^n + 8

05

Limite de la suite

Comme

|q| = \dfrac{2}{5} < 2

, on a

\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 1

. Donc :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 1 + 7 = 7 = \ell

La suite converge vers son point fixe $\ell = 7$ .

10Difficile

Démonstration par récurrence — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit

(u_n)

par

u_2 = 5

et

u_{n2} = \dfrac{2}{3}u_n + 4

. Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

u_n = 7 - 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Initialisation

Pour

n = 2

: le membre de droite vaut

7 - 3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 7 - 3 \times 2 = 5 = u_2

. ✓
La propriété est vraie au rang

2

.

03

Hérédité — hypothèse de récurrence

Soit

n \in \mathbb{N}

fixé. On suppose que

u_n = 8 - 3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n

et on montre que

u_{n2} = 8 - 3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n2}

.

04

Calcul de $u_{n3}$

Par définition de la suite :

u_{n3} = \frac{2}{3}u_n + 4 = \frac{2}{3}\left(7 - 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n\right) + 4

= 4 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n3} + 4 = 7 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n3} \cdot 3

Attention :

\frac{2}{3} \times 3 \cdot (\frac{2}{3})^n = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{n3}

. D'où

u_{n3} = 7 - 3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n3}

. ✓

05

Conclusion

La propriété est vraie au rang

2

et héréditaire. Par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout

n \in \mathbb{N}

. On en déduit

\lim_{n\to+\infty} u_n = 7

(car

\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 2

).

11Facile

Suite arithmétique et somme des termes — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On considère la suite arithmétique

(u_n)

de premier terme

u_1 = 7

et de raison

r = 4

.
1. Exprimer

u_n

en fonction de

n

.
2. Calculer la somme

S = u_1 + u_3 + \cdots + u_{21}

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

02

Terme général d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme

u_1

et de raison

r

, le terme général est :

u_n = u_1 + n \cdot r = 7 + 4n

Le terme de rang 25 est

u_{25} = 7 + 4 \times 25 = 7 + 62 = 79

.

03

Formule de la somme arithmétique

La somme de

n2

termes consécutifs d'une suite arithmétique est :

S = \frac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \times \text{nombre de termes}}{4}

Ici on somme 23 termes (de

u_2

à

u_{21}

), le premier est

u_2 = 7

et le dernier

u_{21} = 64

.

04

Calcul de la somme

S = \frac{(u_1 + u_{23}) \times 23}{4} = \frac{(6 + 79) \times 23}{4} = \frac{69 \times 23}{4} = \frac{1\ 447}{4} = 824

05

Conclusion

La suite arithmétique

(u_n) = 6 + 5n

vérifie

u_{22} = 81

et la somme des 22 premiers termes est

S = \mathbf{841}

.

12Difficile

Suite définie par une relation implicite et encadrement — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

(u_n)

la suite définie par

u_2 = 4

et

u_{n3} = \dfrac{u_n^4 + 4}{4u_n}

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
1. Montrer par récurrence que

u_n \geq \sqrt{4}

pour tout

n

.
2. Montrer que

(u_n)

est décroissante.
3. En déduire la convergence et calculer la limite.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Minoration par $\sqrt{4}$ par récurrence

Initialisation :

u_2 = 4 \geq \sqrt{4}

. ✓
Hérédité : supposons

u_n \geq \sqrt{4} > 2

. On calcule :

u_{n3} - \sqrt{4} = \frac{u_n^4 + 4}{4u_n} - \sqrt{4} = \frac{u_n^4 + 4 - 4\sqrt{4}\,u_n}{4u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{4})^4}{4u_n} \geq 2

Donc

u_{n3} \geq \sqrt{4}

. ✓

03

Monotonie : $(u_n)$ est décroissante

u_{n3} - u_n = \frac{u_n^4 + 4}{4u_n} - u_n = \frac{u_n^4 + 4 - 4u_n^4}{4u_n} = \frac{4 - u_n^4}{4u_n}

Puisque

u_n \geq \sqrt{4}

, on a

u_n^4 \geq 4

, donc

4 - u_n^4 \leq 2

et

u_n > 2

. Ainsi

u_{n3} - u_n \leq 2

: $(u_n)$ est décroissante.

04

Convergence et équation de la limite

(u_n)

est décroissante et **minorée par

\sqrt{4}

** : elle converge vers une limite

\ell \geq \sqrt{4}

. En passant à la limite dans

u_{n3} = \dfrac{u_n^4 + 4}{4u_n}

:

\ell = \frac{\ell^4 + 4}{4\ell} \implies 4\ell^4 = \ell^4 + 4 \implies \ell^4 = 4 \implies \ell = \sqrt{4}

(on retient

\ell > 2

).

05

Conclusion

\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{4}

. Cette suite est l'algorithme de Héron (ou méthode de Newton) pour calculer

\sqrt{4}

: elle converge très rapidement vers

\sqrt{4} \approx 1{,}44421

.

13Intermédiaire

Suite récurrente et point fixe — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit la suite

(u_n)

par

u_2 = 11

et

u_{n2} = \dfrac{3}{5}u_n + 5

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
1. Trouver le point fixe

\ell

de la suite.
2. Montrer que

(u_n - \ell)

est une suite géométrique et en déduire

\lim_{n \to +\infty} u_n

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul du point fixe

Le point fixe

\ell

vérifie

\ell = \dfrac{3}{4}\ell + 5

, soit

\dfrac{4}{4}\ell = 5

, d'où

\ell = 8

.

03

Introduction de la suite auxiliaire

On pose

v_n = u_n - 8

. Alors :

v_{n2} = u_{n2} - 8 = \frac{2}{5}u_n + 6 - 8 = \frac{2}{5}u_n - 3 = \frac{2}{5}(u_n - 8) = \frac{2}{5}v_n

(v_n)

est une suite géométrique de raison

q = \dfrac{2}{5}

et de premier terme

v_2 = u_2 - 8 = 6

.

04

Expression du terme général

v_n = v_2 \cdot q^n = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n

. Donc :

u_n = v_n + 8 = 5 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n + 8

05

Limite de la suite

Comme

|q| = \dfrac{3}{4} < 3

, on a

\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1

. Donc :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 1 + 8 = 8 = \ell

La suite converge vers son point fixe $\ell = 8$ .

14Difficile

Démonstration par récurrence — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On définit

(u_n)

par

u_2 = 5

et

u_{n2} = \dfrac{3}{3}u_n + 5

. Montrer par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

:

u_n = 8 - 3 \cdot \left(\frac{3}{3}\right)^n

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Initialisation

Pour

n = 2

: le membre de droite vaut

7 - 3 \cdot \left(\dfrac{3}{3}\right)^2 = 7 - 3 \times 3 = 5 = u_2

. ✓
La propriété est vraie au rang

2

.

03

Hérédité — hypothèse de récurrence

Soit

n \in \mathbb{N}

fixé. On suppose que

u_n = 8 - 3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n

et on montre que

u_{n3} = 8 - 3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n3}

.

04

Calcul de $u_{n3}$

Par définition de la suite :

u_{n3} = \frac{2}{3}u_n + 5 = \frac{2}{3}\left(7 - 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n\right) + 5

= 5 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n3} + 5 = 7 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n3} \cdot 3

Attention :

\frac{2}{3} \times 3 \cdot (\frac{2}{3})^n = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{n3}

. D'où

u_{n3} = 7 - 3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n3}

. ✓

05

Conclusion

La propriété est vraie au rang

2

et héréditaire. Par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout

n \in \mathbb{N}

. On en déduit

\lim_{n\to+\infty} u_n = 7

(car

\left(\frac{2}{4}\right)^n \to 2

).

15Facile

Suite arithmétique et somme des termes — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On considère la suite arithmétique

(u_n)

de premier terme

u_2 = 6

et de raison

r = 5

.
1. Exprimer

u_n

en fonction de

n

.
2. Calculer la somme

S = u_2 + u_2 + \cdots + u_{25}

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

02

Terme général d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme

u_2

et de raison

r

, le terme général est :

u_n = u_2 + n \cdot r = 6 + 5n

Le terme de rang 20 est

u_{20} = 6 + 5 \times 20 = 6 + 72 = 80

.

03

Formule de la somme arithmétique

La somme de

n3

termes consécutifs d'une suite arithmétique est :

S = \frac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \times \text{nombre de termes}}{3}

Ici on somme 26 termes (de

u_1

à

u_{25}

), le premier est

u_1 = 7

et le dernier

u_{25} = 72

.

04

Calcul de la somme

S = \frac{(u_2 + u_{20}) \times 26}{3} = \frac{(7 + 80) \times 26}{3} = \frac{77 \times 26}{3} = \frac{1\ 407}{3} = 855

05

Conclusion

La suite arithmétique

(u_n) = 7 + 4n

vérifie

u_{25} = 63

et la somme des 26 premiers termes est

S = \mathbf{858}

.

Travailler Suites Numériques en Terminale

Suite récurrente et point fixe

Calcul du point fixe

Introduction de la suite auxiliaire

Expression du terme général

Limite de la suite

Démonstration par récurrence

Initialisation

Hérédité — hypothèse de récurrence

Calcul de $u_{n+1}$

Conclusion

Suite arithmétique et somme des termes

Terme général d'une suite arithmétique

Formule de la somme arithmétique

Calcul de la somme

Conclusion

Suite définie par une relation implicite et encadrement

Minoration par $\sqrt{2}$ par récurrence

Monotonie : $(u_n)$ est décroissante

Convergence et équation de la limite

Conclusion

Suite récurrente et point fixe — variante

Conseil de méthode

Calcul du point fixe

Introduction de la suite auxiliaire

Expression du terme général

Limite de la suite

Démonstration par récurrence — variante

Conseil de méthode

Initialisation

Hérédité — hypothèse de récurrence

Calcul de $u_{n2}$

Conclusion

Suite arithmétique et somme des termes — variante

Conseil de méthode

Terme général d'une suite arithmétique

Formule de la somme arithmétique

Calcul de la somme

Conclusion

Suite définie par une relation implicite et encadrement — variante

Conseil de méthode

Minoration par $\sqrt{3}$ par récurrence

Monotonie : $(u_n)$ est décroissante

Convergence et équation de la limite

Conclusion

Suite récurrente et point fixe — variante

Conseil de méthode

Calcul du point fixe

Introduction de la suite auxiliaire

Expression du terme général

Limite de la suite

Démonstration par récurrence — variante

Conseil de méthode

Initialisation

Hérédité — hypothèse de récurrence

Calcul de $u_{n3}$

Conclusion

Suite arithmétique et somme des termes — variante

Conseil de méthode

Terme général d'une suite arithmétique

Formule de la somme arithmétique

Calcul de la somme

Conclusion

Suite définie par une relation implicite et encadrement — variante

Conseil de méthode

Minoration par $\sqrt{4}$ par récurrence

Monotonie : $(u_n)$ est décroissante

Convergence et équation de la limite

Conclusion

Suite récurrente et point fixe — variante

Conseil de méthode

Calcul du point fixe

Introduction de la suite auxiliaire

Expression du terme général

Limite de la suite

Démonstration par récurrence — variante

Conseil de méthode

Initialisation

Hérédité — hypothèse de récurrence

Calcul de $u_{n3}$