MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 08 · Terminale

Suites Numériques

Suites récurrentes, convergence et raisonnement par récurrence

1Intermédiaire

Suite récurrente et point fixe

Énoncé

On définit la suite (un)(u_n) par u0=10u_0 = 10 et un+1=13un+4u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 4 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1. Trouver le point fixe ℓ\ell de la suite.
2. Montrer que (un−ℓ)(u_n - \ell) est une suite géométrique et en déduire lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n.

Correction détaillée

01

Calcul du point fixe

Le point fixe ℓ\ell vérifie ℓ=13ℓ+4\ell = \dfrac{1}{3}\ell + 4, soit 23ℓ=4\dfrac{2}{3}\ell = 4, d'où ℓ=6\ell = 6.
02

Introduction de la suite auxiliaire

On pose vn=un−6v_n = u_n - 6. Alors :
vn+1=un+1−6=13un+4−6=13un−2=13(un−6)=13vnv_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \frac{1}{3}u_n + 4 - 6 = \frac{1}{3}u_n - 2 = \frac{1}{3}(u_n - 6) = \frac{1}{3}v_n
(vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=13q = \dfrac{1}{3} et de premier terme v0=u0−6=4v_0 = u_0 - 6 = 4.
03

Expression du terme général

vn=v0⋅qn=4⋅(13)nv_n = v_0 \cdot q^n = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^n. Donc :
un=vn+6=4⋅(13)n+6u_n = v_n + 6 = 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n + 6
04

Limite de la suite

Comme ∣q∣=13<1|q| = \dfrac{1}{3} < 1, on a lim⁡n→+∞(13)n=0\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0. Donc :
lim⁡n→+∞un=0+6=6=ℓ\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 + 6 = 6 = \ell
La suite converge vers son point fixe ℓ=6\ell = 6.
2Difficile

Démonstration par récurrence

Énoncé

On définit (un)(u_n) par u0=4u_0 = 4 et un+1=12un+3u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3. Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
un=6−2⋅(12)nu_n = 6 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n

Correction détaillée

01

Initialisation

Pour n=0n = 0 : le membre de droite vaut 6−2⋅(12)0=6−2×1=4=u06 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 6 - 2 \times 1 = 4 = u_0. ✓
La propriété est vraie au rang 00.
02

Hérédité — hypothèse de récurrence

Soit n∈Nn \in \mathbb{N} fixé. On suppose que un=6−2⋅(12)nu_n = 6 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n et on montre que un+1=6−2⋅(12)n+1u_{n+1} = 6 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}.
03

Calcul de $u_{n+1}$

Par définition de la suite :
un+1=12un+3=12(6−2⋅(12)n)+3u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 = \frac{1}{2}\left(6 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) + 3
=3−(12)n+1+3=6−(12)n+1⋅2= 3 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + 3 = 6 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \cdot 2
Attention : 12×2⋅(12)n=2⋅(12)n+1\frac{1}{2} \times 2 \cdot (\frac{1}{2})^n = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{n+1}. D'où un+1=6−2⋅(12)n+1u_{n+1} = 6 - 2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}. ✓
04

Conclusion

La propriété est vraie au rang 00 et héréditaire. Par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. On en déduit lim⁡n→+∞un=6\lim_{n\to+\infty} u_n = 6 (car (12)n→0\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0).
3Facile

Suite arithmétique et somme des termes

Énoncé

On considère la suite arithmétique (un)(u_n) de premier terme u0=5u_0 = 5 et de raison r=3r = 3.
1. Exprimer unu_n en fonction de nn.
2. Calculer la somme S=u0+u1+⋯+u19S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{19}.

Correction détaillée

01

Terme général d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme u0u_0 et de raison rr, le terme général est :
un=u0+n⋅r=5+3nu_n = u_0 + n \cdot r = 5 + 3n
Le terme de rang 19 est u19=5+3×19=5+57=62u_{19} = 5 + 3 \times 19 = 5 + 57 = 62.
02

Formule de la somme arithmétique

La somme de n+1n+1 termes consécutifs d'une suite arithmétique est :
S=(premier terme+dernier terme)×nombre de termes2S = \frac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \times \text{nombre de termes}}{2}
Ici on somme 20 termes (de u0u_0 à u19u_{19}), le premier est u0=5u_0 = 5 et le dernier u19=62u_{19} = 62.
03

Calcul de la somme

S=(u0+u19)×202=(5+62)×202=67×202=13402=670S = \frac{(u_0 + u_{19}) \times 20}{2} = \frac{(5 + 62) \times 20}{2} = \frac{67 \times 20}{2} = \frac{1340}{2} = 670
04

Conclusion

La suite arithmétique (un)=5+3n(u_n) = 5 + 3n vérifie u19=62u_{19} = 62 et la somme des 20 premiers termes est S=670S = \mathbf{670}.
4Difficile

Suite définie par une relation implicite et encadrement

Énoncé

Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=un2+22unu_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2}{2u_n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1. Montrer par récurrence que un≥2u_n \geq \sqrt{2} pour tout nn.
2. Montrer que (un)(u_n) est décroissante.
3. En déduire la convergence et calculer la limite.

Correction détaillée

01

Minoration par $\sqrt{2}$ par récurrence

Initialisation : u0=2≥2u_0 = 2 \geq \sqrt{2}. ✓
Hérédité : supposons un≥2>0u_n \geq \sqrt{2} > 0. On calcule :
un+1−2=un2+22un−2=un2+2−22 un2un=(un−2)22un≥0u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2}{2u_n} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \geq 0
Donc un+1≥2u_{n+1} \geq \sqrt{2}. ✓
02

Monotonie : $(u_n)$ est décroissante

un+1−un=un2+22un−un=un2+2−2un22un=2−un22unu_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2}{2u_n} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}
Puisque un≥2u_n \geq \sqrt{2}, on a un2≥2u_n^2 \geq 2, donc 2−un2≤02 - u_n^2 \leq 0 et un>0u_n > 0. Ainsi un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \leq 0 : (un)(u_n) est décroissante.
03

Convergence et équation de la limite

(un)(u_n) est décroissante et **minorée par 2\sqrt{2}** : elle converge vers une limite ℓ≥2\ell \geq \sqrt{2}. En passant à la limite dans un+1=un2+22unu_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2}{2u_n} :
ℓ=ℓ2+22ℓ  ⟹  2ℓ2=ℓ2+2  ⟹  ℓ2=2  ⟹  ℓ=2\ell = \frac{\ell^2 + 2}{2\ell} \implies 2\ell^2 = \ell^2 + 2 \implies \ell^2 = 2 \implies \ell = \sqrt{2}
(on retient ℓ>0\ell > 0).
04

Conclusion

lim⁡n→+∞un=2\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}. Cette suite est l'algorithme de Héron (ou méthode de Newton) pour calculer 2\sqrt{2} : elle converge très rapidement vers 2≈1,41421\sqrt{2} \approx 1{,}41421.