Logarithme et Exponentielle

Le logarithme n'est défini que pour des arguments strictement positifs :
- $\ln(x)$ exige $x > 0$
- $\ln(x-1)$ exige $x - 1 > 0$, soit $x > 1$
La condition la plus restrictive est $x > 1$.

Pour $x > 1$, on utilise $k\ln(a) = \ln(a^k)$ et $\ln(a) - \ln(b) = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)$ :
$$\ln(x^2) - \ln(x-1) = \ln(4) \implies \ln\!\left(\frac{x^2}{x-1}\right) = \ln(4)$$

$\ln$ est injective, donc : $\dfrac{x^2}{x-1} = 4$, d'où $x^2 = 4(x-1) = 4x - 4$, soit :
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2$$

$x = 2 > 1$ : la condition d'existence est satisfaite. Vérification : $2\ln(2) - \ln(1) = 2\ln(2) - 0 = \ln(4)$. ✓
L'équation admet une unique solution : $x = 2$.

On pose $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = e^{-x}$. Alors $u'(x) = 2$ et $v'(x) = -e^{-x}$. Par la règle du produit :
$$f'(x) = u'v + uv' = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}\bigl(2 - (2x-1)\bigr)$$
$$f'(x) = e^{-x}(3 - 2x)$$

Comme $e^{-x} > 0$ toujours, le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - 2x$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$.
- Sur $\left]-\infty, \frac{3}{2}\right[$: $f'(x) > 0$ → $f$ croissante
- Sur $\left]\frac{3}{2}, +\infty\right[$: $f'(x) < 0$ → $f$ décroissante
$f$ admet un maximum en $x = \frac{3}{2}$ : $f\!\left(\frac{3}{2}\right) = (3-1)e^{-3/2} = 2e^{-3/2}$.

En $+\infty$ : $f(x) = (2x-1)e^{-x}$. On sait que les exponentielles l'emportent sur les polynômes : $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. La droite $y = 0$ est une asymptote horizontale en $+\infty$.
En $-\infty$ : $e^{-x} \to +\infty$ et $2x - 1 \to -\infty$, donc $f(x) \to -\infty$.

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & \frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 2e^{-3/2} & \searrow & 0 \end{array}$$
$f$ admet un maximum global de $2e^{-3/2} \approx 0{,}446$ en $x = \frac{3}{2}$.

$f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1 - x}{x}$.
- Pour $0 < x < 1$ : $f'(x) > 0$ → $f$ croissante.
- Pour $x > 1$ : $f'(x) < 0$ → $f$ décroissante.
$f$ admet un maximum en $x = 1$.

$f(1) = \ln(1) - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$.
Le maximum de $f$ sur $]0, +\infty[$ est 0, atteint en $x = 1$. Donc pour tout $x > 0$ :
$$f(x) \leq f(1) = 0$$

De $f(x) \leq 0$, on tire $\ln(x) - x + 1 \leq 0$, soit :
$$\ln(x) \leq x - 1 \quad \text{pour tout } x > 0$$
C'est une inégalité fondamentale du logarithme.

L'égalité $\ln(x) = x - 1$ est atteinte si et seulement si $f(x) = 0$, c'est-à-dire en $x = 1$ uniquement. Résumé :
$$\forall x > 0 : \ln(x) \leq x - 1 \quad \text{avec égalité ssi } x = 1$$

On pose $x = t^2$ avec $t \to +\infty$ : $f(t^2) = \dfrac{\ln(t^2)}{t} = \dfrac{2\ln(t)}{t}$. Or $\lim_{t \to +\infty} \dfrac{\ln t}{t} = 0$ (croissance comparée). Donc :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$$
Les puissances de $x$ l'emportent sur $\ln(x)$ en $+\infty$.

On calcule $f'(x)$ par la règle du quotient avec $u = \ln(x)$, $v = \sqrt{x}$ :
$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} - \ln(x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = 2 \Leftrightarrow x = e^2$. Pour $x < e^2$ : $f' > 0$ (croissante), pour $x > e^2$ : $f' < 0$ (décroissante).

Le maximum est atteint en $x = e^2$ :
$$f(e^2) = \frac{\ln(e^2)}{\sqrt{e^2}} = \frac{2}{e}$$
Le maximum de $f$ est $\dfrac{2}{e}$, atteint en $x = e^2$.

En $0^+$ : $\sqrt{x} \to 0^+$ et $\ln(x) \to -\infty$. On pose $t = \ln x$ avec $t \to -\infty$ : $\sqrt{x} = e^{t/2}$, donc $f = \dfrac{t}{e^{t/2}}$. Or $\lim_{t \to -\infty} t \cdot e^{-t/2} = 0$ (l'exponentielle l'emporte). Donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$.