Équations Différentielles — Exercices Corrigés Terminale

1Facile

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$

Énoncé

Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 2y = 0

avec la condition initiale

y(0) = 3

.

Correction détaillée

01

Solution générale de l'équation homogène

L'équation

y' + 2y = 0

est une équation du type

y' + ay = 0

avec

a = 2

. La solution générale est :

y(x) = C \cdot e^{-2x}, \quad C \in \mathbb{R}

02

Application de la condition initiale

On impose

y(0) = 3

:

y(0) = C \cdot e^{0} = C = 3

Donc

C = 3

.

03

Solution particulière

La solution vérifiant la condition initiale est :

\boxed{y(x) = 3e^{-2x}}

04

Vérification

Vérifions :

y'(x) = -6e^{-2x}

. Alors

y'(x) + 2y(x) = -6e^{-2x} + 2 \times 3e^{-2x} = -6e^{-2x} + 6e^{-2x} = 0

. ✓
Et

y(0) = 3e^0 = 3

. ✓

2Difficile

Équation avec second membre $y' - y = 2x$

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' - y = 2x

.

Correction détaillée

01

Solution générale de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée est

y' - y = 0

, soit

y' = y

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}

02

Recherche d'une solution particulière

Le second membre est

2x

(polynôme de degré 1). On cherche une solution particulière de la forme

y_p(x) = ax + b

(polynôme de même degré). On calcule

y_p'(x) = a

, puis on substitue dans l'équation :

a - (ax + b) = 2x

-ax + (a - b) = 2x

03

Identification des coefficients

Par identification terme à terme :

\begin{cases} -a = 2 \\ a - b = 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a = -2 \\ b = a = -2 \end{cases}

Donc

y_p(x) = -2x - 2

.

04

Solution générale complète

La solution générale de

y' - y = 2x

est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière :

\boxed{y(x) = Ce^x - 2x - 2, \quad C \in \mathbb{R}}

3Intermédiaire

Équation différentielle avec condition initiale $y' + 3y = 6$

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 3y = 6

avec la condition initiale

y(0) = 4

.

Correction détaillée

01

Solution générale de l'équation homogène

L'équation homogène associée est

y' + 3y = 0

, de la forme

y' + ay = 0

avec

a = 3

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{-3x}, \quad C \in \mathbb{R}

02

Recherche d'une solution particulière constante

Le second membre est la constante

6

. On cherche une solution particulière constante

y_p = k

. Alors

y_p' = 0

, et en substituant dans l'équation :

0 + 3k = 6 \implies k = 2

Donc

y_p(x) = 2

.

03

Solution générale complète

La solution générale de

y' + 3y = 6

est :

y(x) = Ce^{-3x} + 2, \quad C \in \mathbb{R}

04

Application de la condition initiale

On impose

y(0) = 4

:

y(0) = Ce^{0} + 2 = C + 2 = 4 \implies C = 2

La solution particulière est

\boxed{y(x) = 2e^{-3x} + 2}

.
Vérification :

y'(x) = -6e^{-3x}

et

y'(x) + 3y(x) = -6e^{-3x} + 6e^{-3x} + 6 = 6

. ✓

4Difficile

Modélisation par équation différentielle : refroidissement de Newton

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un objet chaud de température initiale

T_0 = 80

°C est placé dans une pièce à

T_{\text{amb}} = 20

°C. La loi de refroidissement de Newton donne :

T'(t) = -k(T(t) - 20)

où

k > 0

est une constante. On mesure

T(10) = 60

°C.
1. Résoudre cette équation différentielle.
2. Déterminer

k

et calculer

T(30)

.

Correction détaillée

01

Changement de variable et résolution

On pose

\theta(t) = T(t) - 20

. Alors

\theta'(t) = T'(t) = -k\theta(t)

. C'est une équation de la forme

\theta' + k\theta = 0

, donc :

\theta(t) = Ce^{-kt} \implies T(t) = 20 + Ce^{-kt}

Condition initiale :

T(0) = 80

donne

80 = 20 + C

, soit

C = 60

.

T(t) = 20 + 60e^{-kt}

02

Détermination de la constante $k$

On utilise

T(10) = 60

:

60 = 20 + 60e^{-10k} \implies 40 = 60e^{-10k} \implies e^{-10k} = \frac{2}{3}

-10k = \ln\!\left(\frac{2}{3}\right) \implies k = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\ln(3/2)}{10} \approx 0{,}0405

03

Calcul de $T(30)$

T(30) = 20 + 60e^{-30k} = 20 + 60\left(e^{-10k}\right)^3 = 20 + 60 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3

= 20 + 60 \cdot \frac{8}{27} = 20 + \frac{480}{27} = 20 + \frac{160}{9} \approx 37{,}8 \text{ °C}

04

Interprétation et comportement à long terme

Après 30 minutes, l'objet est à environ 37,8 °C. À long terme,

e^{-kt} \to 0

quand

t \to +\infty

, donc

T(t) \to 20

°C : l'objet tend vers la température ambiante, conformément à l'intuition physique.

5Facile

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 4y = 2

avec la condition initiale

y(2) = 5

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

02

Solution générale de l'équation homogène

L'équation

y' + 4y = 2

est une équation du type

y' + ay = 2

avec

a = 4

. La solution générale est :

y(x) = C \cdot e^{-4x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Application de la condition initiale

On impose

y(2) = 5

:

y(2) = C \cdot e^{2} = C = 5

Donc

C = 5

.

04

Solution particulière

La solution vérifiant la condition initiale est :

\boxed{y(x) = 5e^{-4x}}

05

Vérification

Vérifions :

y'(x) = -8e^{-4x}

. Alors

y'(x) + 4y(x) = -8e^{-4x} + 4 \times 5e^{-4x} = -8e^{-4x} + 7e^{-4x} = 1

. ✓
Et

y(1) = 5e^1 = 5

. ✓

6Difficile

Équation avec second membre $y' - y = 2x$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' - y = 3x

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Solution générale de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée est

y' - y = 1

, soit

y' = y

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Recherche d'une solution particulière

Le second membre est

3x

(polynôme de degré 2). On cherche une solution particulière de la forme

y_p(x) = ax + b

(polynôme de même degré). On calcule

y_p'(x) = a

, puis on substitue dans l'équation :

a - (ax + b) = 3x

-ax + (a - b) = 3x

04

Identification des coefficients

Par identification terme à terme :

\begin{cases} -a = 3 \\ a - b = 1 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a = -4 \\ b = a = -4 \end{cases}

Donc

y_p(x) = -4x - 3

.

05

Solution générale complète

La solution générale de

y' - y = 3x

est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière :

\boxed{y(x) = Ce^x - 3x - 3, \quad C \in \mathbb{R}}

7Intermédiaire

Équation différentielle avec condition initiale $y' + 3y = 6$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 4y = 8

avec la condition initiale

y(2) = 5

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Solution générale de l'équation homogène

L'équation homogène associée est

y' + 4y = 2

, de la forme

y' + ay = 2

avec

a = 4

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{-5x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Recherche d'une solution particulière constante

Le second membre est la constante

7

. On cherche une solution particulière constante

y_p = k

. Alors

y_p' = 2

, et en substituant dans l'équation :

2 + 5k = 7 \implies k = 3

Donc

y_p(x) = 3

.

04

Solution générale complète

La solution générale de

y' + 4y = 8

est :

y(x) = Ce^{-5x} + 3, \quad C \in \mathbb{R}

05

Application de la condition initiale

On impose

y(1) = 6

:

y(1) = Ce^{1} + 4 = C + 4 = 6 \implies C = 4

La solution particulière est

\boxed{y(x) = 4e^{-4x} + 4}

.
Vérification :

y'(x) = -7e^{-4x}

et

y'(x) + 4y(x) = -7e^{-4x} + 7e^{-4x} + 7 = 7

. ✓

8Difficile

Modélisation par équation différentielle : refroidissement de Newton — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un objet chaud de température initiale

T_1 = 96

°C est placé dans une pièce à

T_{\text{amb}} = 21

°C. La loi de refroidissement de Newton donne :

T'(t) = -k(T(t) - 21)

où

k > 1

est une constante. On mesure

T(13) = 75

°C.
1. Résoudre cette équation différentielle.
2. Déterminer

k

et calculer

T(35)

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Changement de variable et résolution

On pose

\theta(t) = T(t) - 21

. Alors

\theta'(t) = T'(t) = -k\theta(t)

. C'est une équation de la forme

\theta' + k\theta = 2

, donc :

\theta(t) = Ce^{-kt} \implies T(t) = 21 + Ce^{-kt}

Condition initiale :

T(2) = 81

donne

81 = 21 + C

, soit

C = 73

.

T(t) = 21 + 73e^{-kt}

03

Détermination de la constante $k$

On utilise

T(11) = 72

:

72 = 21 + 72e^{-13k} \implies 50 = 72e^{-13k} \implies e^{-13k} = \frac{4}{5}

-13k = \ln\!\left(\frac{4}{5}\right) \implies k = -\frac{2}{11}\ln\!\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{\ln(5/4)}{11} \approx 0{,}0705

04

Calcul de $T(32)$

T(32) = 24 + 61e^{-37k} = 24 + 61\left(e^{-13k}\right)^5 = 24 + 61 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5

= 24 + 61 \cdot \frac{9}{35} = 24 + \frac{599}{35} = 24 + \frac{192}{12} \approx 38{,}0 \text{ °C}

05

Interprétation et comportement à long terme

Après 32 minutes, l'objet est à environ 38{,}0 °C. À long terme,

e^{-kt} \to 1

quand

t \to +\infty

, donc

T(t) \to 25

°C : l'objet tend vers la température ambiante, conformément à l'intuition physique.

9Facile

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 3y = 2

avec la condition initiale

y(2) = 5

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

02

Solution générale de l'équation homogène

L'équation

y' + 3y = 2

est une équation du type

y' + ay = 2

avec

a = 3

. La solution générale est :

y(x) = C \cdot e^{-4x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Application de la condition initiale

On impose

y(1) = 5

:

y(1) = C \cdot e^{1} = C = 5

Donc

C = 5

.

04

Solution particulière

La solution vérifiant la condition initiale est :

\boxed{y(x) = 4e^{-4x}}

05

Vérification

Vérifions :

y'(x) = -7e^{-4x}

. Alors

y'(x) + 4y(x) = -7e^{-4x} + 4 \times 5e^{-4x} = -7e^{-4x} + 8e^{-4x} = 1

. ✓
Et

y(1) = 5e^1 = 5

. ✓

10Difficile

Équation avec second membre $y' - y = 2x$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' - y = 4x

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Solution générale de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée est

y' - y = 2

, soit

y' = y

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Recherche d'une solution particulière

Le second membre est

4x

(polynôme de degré 3). On cherche une solution particulière de la forme

y_p(x) = ax + b

(polynôme de même degré). On calcule

y_p'(x) = a

, puis on substitue dans l'équation :

a - (ax + b) = 4x

-ax + (a - b) = 4x

04

Identification des coefficients

Par identification terme à terme :

\begin{cases} -a = 4 \\ a - b = 2 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a = -4 \\ b = a = -4 \end{cases}

Donc

y_p(x) = -4x - 4

.

05

Solution générale complète

La solution générale de

y' - y = 4x

est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière :

\boxed{y(x) = Ce^x - 4x - 4, \quad C \in \mathbb{R}}

11Intermédiaire

Équation différentielle avec condition initiale $y' + 3y = 6$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 5y = 7

avec la condition initiale

y(1) = 6

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Solution générale de l'équation homogène

L'équation homogène associée est

y' + 5y = 1

, de la forme

y' + ay = 1

avec

a = 5

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{-4x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Recherche d'une solution particulière constante

Le second membre est la constante

8

. On cherche une solution particulière constante

y_p = k

. Alors

y_p' = 1

, et en substituant dans l'équation :

1 + 4k = 8 \implies k = 4

Donc

y_p(x) = 4

.

04

Solution générale complète

La solution générale de

y' + 5y = 7

est :

y(x) = Ce^{-4x} + 4, \quad C \in \mathbb{R}

05

Application de la condition initiale

On impose

y(2) = 5

:

y(2) = Ce^{2} + 3 = C + 3 = 5 \implies C = 3

La solution particulière est

\boxed{y(x) = 3e^{-5x} + 3}

.
Vérification :

y'(x) = -7e^{-5x}

et

y'(x) + 5y(x) = -7e^{-5x} + 8e^{-5x} + 8 = 8

. ✓

12Difficile

Modélisation par équation différentielle : refroidissement de Newton — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un objet chaud de température initiale

T_2 = 93

°C est placé dans une pièce à

T_{\text{amb}} = 22

°C. La loi de refroidissement de Newton donne :

T'(t) = -k(T(t) - 22)

où

k > 2

est une constante. On mesure

T(11) = 70

°C.
1. Résoudre cette équation différentielle.
2. Déterminer

k

et calculer

T(34)

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Changement de variable et résolution

On pose

\theta(t) = T(t) - 26

. Alors

\theta'(t) = T'(t) = -k\theta(t)

. C'est une équation de la forme

\theta' + k\theta = 2

, donc :

\theta(t) = Ce^{-kt} \implies T(t) = 26 + Ce^{-kt}

Condition initiale :

T(2) = 87

donne

87 = 26 + C

, soit

C = 64

.

T(t) = 26 + 64e^{-kt}

03

Détermination de la constante $k$

On utilise

T(13) = 70

:

70 = 22 + 70e^{-11k} \implies 47 = 70e^{-11k} \implies e^{-11k} = \frac{3}{4}

-11k = \ln\!\left(\frac{3}{4}\right) \implies k = -\frac{2}{13}\ln\!\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\ln(4/3)}{13} \approx 0{,}0705

04

Calcul de $T(39)$

T(39) = 24 + 66e^{-32k} = 24 + 66\left(e^{-12k}\right)^4 = 24 + 66 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4

= 24 + 66 \cdot \frac{9}{35} = 24 + \frac{550}{35} = 24 + \frac{202}{11} \approx 38{,}0 \text{ °C}

05

Interprétation et comportement à long terme

Après 39 minutes, l'objet est à environ 38{,}0 °C. À long terme,

e^{-kt} \to 1

quand

t \to +\infty

, donc

T(t) \to 22

°C : l'objet tend vers la température ambiante, conformément à l'intuition physique.

13Facile

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 4y = 1

avec la condition initiale

y(1) = 4

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

02

Solution générale de l'équation homogène

L'équation

y' + 4y = 1

est une équation du type

y' + ay = 1

avec

a = 4

. La solution générale est :

y(x) = C \cdot e^{-3x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Application de la condition initiale

On impose

y(2) = 4

:

y(2) = C \cdot e^{2} = C = 4

Donc

C = 4

.

04

Solution particulière

La solution vérifiant la condition initiale est :

\boxed{y(x) = 5e^{-3x}}

05

Vérification

Vérifions :

y'(x) = -8e^{-3x}

. Alors

y'(x) + 3y(x) = -8e^{-3x} + 3 \times 5e^{-3x} = -8e^{-3x} + 8e^{-3x} = 2

. ✓
Et

y(2) = 5e^2 = 5

. ✓

14Difficile

Équation avec second membre $y' - y = 2x$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' - y = 3x

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Solution générale de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée est

y' - y = 1

, soit

y' = y

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Recherche d'une solution particulière

Le second membre est

3x

(polynôme de degré 3). On cherche une solution particulière de la forme

y_p(x) = ax + b

(polynôme de même degré). On calcule

y_p'(x) = a

, puis on substitue dans l'équation :

a - (ax + b) = 3x

-ax + (a - b) = 3x

04

Identification des coefficients

Par identification terme à terme :

\begin{cases} -a = 3 \\ a - b = 2 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a = -4 \\ b = a = -4 \end{cases}

Donc

y_p(x) = -4x - 3

.

05

Solution générale complète

La solution générale de

y' - y = 3x

est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière :

\boxed{y(x) = Ce^x - 3x - 3, \quad C \in \mathbb{R}}

15Intermédiaire

Équation différentielle avec condition initiale $y' + 3y = 6$ — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Résoudre sur

\mathbb{R}

l'équation différentielle

y' + 4y = 8

avec la condition initiale

y(1) = 6

.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Solution générale de l'équation homogène

L'équation homogène associée est

y' + 4y = 2

, de la forme

y' + ay = 2

avec

a = 4

. Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{-4x}, \quad C \in \mathbb{R}

03

Recherche d'une solution particulière constante

Le second membre est la constante

7

. On cherche une solution particulière constante

y_p = k

. Alors

y_p' = 2

, et en substituant dans l'équation :

2 + 4k = 7 \implies k = 4

Donc

y_p(x) = 4

.

04

Solution générale complète

La solution générale de

y' + 4y = 8

est :

y(x) = Ce^{-4x} + 4, \quad C \in \mathbb{R}

05

Application de la condition initiale

On impose

y(1) = 6

:

y(1) = Ce^{1} + 3 = C + 3 = 6 \implies C = 3

La solution particulière est

\boxed{y(x) = 3e^{-5x} + 3}

.
Vérification :

y'(x) = -7e^{-5x}

et

y'(x) + 5y(x) = -7e^{-5x} + 7e^{-5x} + 7 = 7

. ✓

Travailler Équations Différentielles en Terminale

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$

Solution générale de l'équation homogène

Application de la condition initiale

Solution particulière

Vérification

Équation avec second membre $y' - y = 2x$

Solution générale de l'équation homogène associée

Recherche d'une solution particulière

Identification des coefficients

Solution générale complète

Équation différentielle avec condition initiale $y' + 3y = 6$

Solution générale de l'équation homogène

Recherche d'une solution particulière constante

Solution générale complète

Application de la condition initiale

Modélisation par équation différentielle : refroidissement de Newton

Changement de variable et résolution

Détermination de la constante $k$

Calcul de $T(30)$

Interprétation et comportement à long terme

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène

Application de la condition initiale

Solution particulière

Vérification

Équation avec second membre $y' - y = 2x$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène associée

Recherche d'une solution particulière

Identification des coefficients

Solution générale complète

Équation différentielle avec condition initiale $y' + 3y = 6$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène

Recherche d'une solution particulière constante

Solution générale complète

Application de la condition initiale

Modélisation par équation différentielle : refroidissement de Newton — variante

Conseil de méthode

Changement de variable et résolution

Détermination de la constante $k$

Calcul de $T(32)$

Interprétation et comportement à long terme

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène

Application de la condition initiale

Solution particulière

Vérification

Équation avec second membre $y' - y = 2x$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène associée

Recherche d'une solution particulière

Identification des coefficients

Solution générale complète

Équation différentielle avec condition initiale $y' + 3y = 6$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène

Recherche d'une solution particulière constante

Solution générale complète

Application de la condition initiale

Modélisation par équation différentielle : refroidissement de Newton — variante

Conseil de méthode

Changement de variable et résolution

Détermination de la constante $k$

Calcul de $T(39)$

Interprétation et comportement à long terme

Équation différentielle homogène $y' + ay = 0$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène

Application de la condition initiale

Solution particulière

Vérification

Équation avec second membre $y' - y = 2x$ — variante

Conseil de méthode

Solution générale de l'équation homogène associée

Recherche d'une solution particulière

Identification des coefficients