Primitives et Intégration

On cherche une primitive de $g(x) = 3x - 2x^{-1/2}$. En utilisant les formules $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ :
$$G(x) = \frac{3x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{3x^2}{2} - 4\sqrt{x}$$

On applique $I = \left[G(x)\right]_1^4 = G(4) - G(1)$ :
$$G(4) = \frac{3 \times 16}{2} - 4\sqrt{4} = 24 - 8 = 16$$
$$G(1) = \frac{3 \times 1}{2} - 4\sqrt{1} = \frac{3}{2} - 4 = -\frac{5}{2}$$

Pour $x \in [0,1]$, étudions $h(x) = g(x) - f(x) = \sqrt{x} - x^2$. On a $h(0) = 0$ et $h(1) = 0$. Pour $x \in ]0,1[$ :
$$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2x$$
$h'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x \Leftrightarrow x^{3/2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{16}} > 0$.
On vérifie que $h'(x) > 0$ près de $0$, donc $h > 0$ sur $]0,1[$. Ainsi $g(x) \geq f(x)$ sur $[0,1]$.

L'aire est donnée par :
$$\mathcal{A} = \int_0^1 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_0^1 \bigl(\sqrt{x} - x^2\bigr)\,dx$$

Une primitive de $\sqrt{x} - x^2 = x^{1/2} - x^2$ est $H(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{x^3}{3}$. On applique le TFA :
$$\mathcal{A} = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$

L'aire de la région délimitée par les courbes de $f$ et $g$ sur $[0,1]$ est $\mathcal{A} = \dfrac{1}{3}$ unité d'aire.

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a, b]$, alors :
$$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$$

On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$. Alors $u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x$. Ce choix est judicieux car la dérivée de $u$ est plus simple, permettant de simplifier l'intégrale restante.

$$I = e - e + 1 = 1$$
L'intégrale $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx = 1$.

La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a, b]$ est :
$$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\, dt$$
Ici $a = 0$, $b = 24$ et $f(t) = T(t) = 18 + 4\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$.

$\cos(2\pi) = 1$ et $\cos(0) = 1$, donc $\cos(2\pi) - \cos(0) = 0$. La contribution du sinus est nulle :
$$\int_0^{24} T(t)\,dt = 432 + 0 = 432$$
$$\bar{T} = \frac{432}{24} = 18 \text{ °C}$$

La température moyenne sur la journée est 18 °C. Ce résultat est cohérent : la fonction $\sin$ est symétrique autour de zéro sur une période complète, donc ses variations autour de la valeur centrale 18 °C se compensent exactement.