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Chapitre 05 · Terminale

Primitives et Intégration

Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'aires

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Travailler Primitives et Intégration en Terminale

Ce chapitre de primitives et intégration en terminale te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours completVoir le programme du niveauMéthodologie de révision

Prérequis

  • Reprendre les bases de terminale liées à primitives et intégration.
  • Refaire un exercice facile avant de viser les questions de synthèse.

Compétences à maîtriser

  • Maîtriser les méthodes essentielles de primitives et intégration.
  • Rédiger une solution propre et exploiter la correction pour progresser.

Erreurs fréquentes

  • Chercher à aller trop vite au lieu de poser clairement les étapes.
  • Lire la correction sans refaire l’exercice ensuite seul.

En contrôle ou en examen : Ce chapitre sert surtout à consolider des automatismes et à préparer les exercices plus transversaux du niveau.

1Facile

Calcul d'une intégrale par le TFA

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Énoncé

Calculer l'intégrale suivante :
I=∫14(3x−2x)dxI = \int_1^4 \left(3x - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)dx

Correction détaillée

01

Recherche d'une primitive

On cherche une primitive de g(x)=3x−2x−1/2g(x) = 3x - 2x^{-1/2}. En utilisant les formules ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C :
G(x)=3x22−2⋅x1/21/2=3x22−4xG(x) = \frac{3x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{3x^2}{2} - 4\sqrt{x}
02

Application du théorème fondamental

On applique I=[G(x)]14=G(4)−G(1)I = \left[G(x)\right]_1^4 = G(4) - G(1) :
G(4)=3×162−44=24−8=16G(4) = \frac{3 \times 16}{2} - 4\sqrt{4} = 24 - 8 = 16
G(1)=3×12−41=32−4=−52G(1) = \frac{3 \times 1}{2} - 4\sqrt{1} = \frac{3}{2} - 4 = -\frac{5}{2}
03

Résultat final

I=G(4)−G(1)=16−(−52)=16+52=372I = G(4) - G(1) = 16 - \left(-\frac{5}{2}\right) = 16 + \frac{5}{2} = \frac{37}{2}
2Intermédiaire

Aire entre deux courbes

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Énoncé

Soient f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=xg(x) = \sqrt{x} définies sur [0,1][0, 1].
1. Montrer que g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,1][0,1].
2. Calculer l'aire en unités d'aire de la région délimitée par les deux courbes.

Correction détaillée

01

Comparaison des deux fonctions sur $[0,1]$

Pour x∈[0,1]x \in [0,1], étudions h(x)=g(x)−f(x)=x−x2h(x) = g(x) - f(x) = \sqrt{x} - x^2. On a h(0)=0h(0) = 0 et h(1)=0h(1) = 0. Pour x∈]0,1[x \in ]0,1[ :
h′(x)=12x−2xh'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2x
h′(x)=0⇔12x=2x⇔x3/2=14⇔x=1163>0h'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x \Leftrightarrow x^{3/2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{16}} > 0.
On vérifie que h′(x)>0h'(x) > 0 près de 00, donc h>0h > 0 sur ]0,1[]0,1[. Ainsi g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,1][0,1].
02

Mise en place du calcul d'aire

L'aire est donnée par :
A=∫01(g(x)−f(x)) dx=∫01(x−x2) dx\mathcal{A} = \int_0^1 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_0^1 \bigl(\sqrt{x} - x^2\bigr)\,dx
03

Calcul de l'intégrale

Une primitive de x−x2=x1/2−x2\sqrt{x} - x^2 = x^{1/2} - x^2 est H(x)=23x3/2−x33H(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{x^3}{3}. On applique le TFA :
A=[23x3/2−x33]01=23−13−0=13\mathcal{A} = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}
04

Conclusion

L'aire de la région délimitée par les courbes de ff et gg sur [0,1][0,1] est A=13\mathcal{A} = \dfrac{1}{3} unité d'aire.
3Difficile

Intégration par parties

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Énoncé

Calculer l'intégrale I=∫01xex dxI = \displaystyle\int_0^1 x e^x \, dx en utilisant une intégration par parties.

Correction détaillée

01

Rappel de la formule d'intégration par parties

Si uu et vv sont dérivables sur [a,b][a, b], alors :
∫abu(x) v′(x) dx=[u(x) v(x)]ab−∫abu′(x) v(x) dx\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx
02

Choix de $u$ et $v'$

On pose u(x)=xu(x) = x et v′(x)=exv'(x) = e^x. Alors u′(x)=1u'(x) = 1 et v(x)=exv(x) = e^x. Ce choix est judicieux car la dérivée de uu est plus simple, permettant de simplifier l'intégrale restante.
03

Application de la formule

I=[x⋅ex]01−∫011⋅ex dx=[xex]01−[ex]01I = \Big[x \cdot e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x \, dx = \Big[xe^x\Big]_0^1 - \Big[e^x\Big]_0^1
=(1⋅e1−0⋅e0)−(e1−e0)=e−(e−1)= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - (e - 1)
04

Résultat final

I=e−e+1=1I = e - e + 1 = 1
L'intégrale ∫01xex dx=1\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx = 1.
4Intermédiaire

Valeur moyenne d'une fonction

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Énoncé

La température (en °C) d'une pièce au cours d'une journée est modélisée par T(t)=18+4sin⁡ ⁣(πt12)T(t) = 18 + 4\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) où t∈[0,24]t \in [0, 24] est l'heure.
1. Calculer la valeur moyenne de TT sur [0,24][0, 24].
2. Interpréter le résultat.

Correction détaillée

01

Rappel : valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction ff sur [a,b][a, b] est :
fˉ=1b−a∫abf(t) dt\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\, dt
Ici a=0a = 0, b=24b = 24 et f(t)=T(t)=18+4sin⁡ ⁣(πt12)f(t) = T(t) = 18 + 4\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right).
02

Calcul de l'intégrale

∫024T(t) dt=∫02418 dt+∫0244sin⁡ ⁣(πt12)dt\int_0^{24} T(t)\,dt = \int_0^{24} 18\,dt + \int_0^{24} 4\sin\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)dt
=[18t]024+4⋅[−12πcos⁡ ⁣(πt12)]024= \Big[18t\Big]_0^{24} + 4 \cdot \left[-\frac{12}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right]_0^{24}
=432+4⋅(−12π)[cos⁡(2π)−cos⁡(0)]= 432 + 4 \cdot \left(-\frac{12}{\pi}\right)\Big[\cos(2\pi) - \cos(0)\Big]
03

Évaluation du terme sinusoïdal

cos⁡(2π)=1\cos(2\pi) = 1 et cos⁡(0)=1\cos(0) = 1, donc cos⁡(2π)−cos⁡(0)=0\cos(2\pi) - \cos(0) = 0. La contribution du sinus est nulle :
∫024T(t) dt=432+0=432\int_0^{24} T(t)\,dt = 432 + 0 = 432
Tˉ=43224=18 °C\bar{T} = \frac{432}{24} = 18 \text{ °C}
04

Interprétation

La température moyenne sur la journée est 18 °C. Ce résultat est cohérent : la fonction sin⁡\sin est symétrique autour de zéro sur une période complète, donc ses variations autour de la valeur centrale 18 °C se compensent exactement.
5Facile

Calcul d'une intégrale par le TFA — variante

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Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer l'intégrale suivante :
I=∫35(5x−3x)dxI = \int_3^5 \left(5x - \frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Recherche d'une primitive

On cherche une primitive de g(x)=5x−3x−3/3g(x) = 5x - 3x^{-3/3}. En utilisant les formules ∫xn dx=xn2n2+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n2}}{n2} + C :
G(x)=5x33−3⋅x2/32/3=5x33−6xG(x) = \frac{5x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{5x^3}{3} - 6\sqrt{x}
03

Application du théorème fondamental

On applique I=[G(x)]35=G(5)−G(3)I = \left[G(x)\right]_3^5 = G(5) - G(3) :
G(5)=5×183−55=30−10=18G(5) = \frac{5 \times 18}{3} - 5\sqrt{5} = 30 - 10 = 18
G(3)=5×33−53=53−5=−73G(3) = \frac{5 \times 3}{3} - 5\sqrt{3} = \frac{5}{3} - 5 = -\frac{7}{3}
04

Résultat final

I=G(6)−G(2)=19−(−63)=19+63=463I = G(6) - G(2) = 19 - \left(-\frac{6}{3}\right) = 19 + \frac{6}{3} = \frac{46}{3}
6Intermédiaire

Aire entre deux courbes — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soient f(x)=x3f(x) = x^3 et g(x)=xg(x) = \sqrt{x} définies sur [1,2][1, 2].
1. Montrer que g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,2][0{,}2].
2. Calculer l'aire en unités d'aire de la région délimitée par les deux courbes.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Comparaison des deux fonctions sur $[0{,}2]$

Pour x∈[0,2]x \in [0{,}2], étudions h(x)=g(x)−f(x)=x−x3h(x) = g(x) - f(x) = \sqrt{x} - x^3. On a h(1)=1h(1) = 1 et h(2)=1h(2) = 1. Pour x∈]0,2[x \in ]0{,}2[ :
h′(x)=23x−3xh'(x) = \frac{2}{3\sqrt{x}} - 3x
h′(x)=1⇔23x=3x⇔x5/3=25⇔x=2195>1h'(x) = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{3\sqrt{x}} = 3x \Leftrightarrow x^{5/3} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow x = \frac{2}{\sqrt[5]{19}} > 1.
On vérifie que h′(x)>1h'(x) > 1 près de 11, donc h>1h > 1 sur ]0,2[]0{,}2[. Ainsi g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,2][0{,}2].
03

Mise en place du calcul d'aire

L'aire est donnée par :
A=∫12(g(x)−f(x)) dx=∫12(x−x3) dx\mathcal{A} = \int_1^2 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_1^2 \bigl(\sqrt{x} - x^3\bigr)\,dx
04

Calcul de l'intégrale

Une primitive de x−x3=x2/3−x3\sqrt{x} - x^3 = x^{2/3} - x^3 est H(x)=34x4/3−x44H(x) = \dfrac{3}{4}x^{4/3} - \dfrac{x^4}{4}. On applique le TFA :
A=[34x4/3−x44]12=34−24−1=24\mathcal{A} = \left[\frac{3}{4}x^{4/3} - \frac{x^4}{4}\right]_1^2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} - 1 = \frac{2}{4}
05

Conclusion

L'aire de la région délimitée par les courbes de ff et gg sur [0,2][0{,}2] est A=24\mathcal{A} = \dfrac{2}{4} unité d'aire.
7Difficile

Intégration par parties — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer l'intégrale I=∫12xex dxI = \displaystyle\int_1^2 x e^x \, dx en utilisant une intégration par parties.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Rappel de la formule d'intégration par parties

Si uu et vv sont dérivables sur [a,b][a, b], alors :
∫abu(x) v′(x) dx=[u(x) v(x)]ab−∫abu′(x) v(x) dx\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx
03

Choix de $u$ et $v'$

On pose u(x)=xu(x) = x et v′(x)=exv'(x) = e^x. Alors u′(x)=2u'(x) = 2 et v(x)=exv(x) = e^x. Ce choix est judicieux car la dérivée de uu est plus simple, permettant de simplifier l'intégrale restante.
04

Application de la formule

I=[x⋅ex]12−∫122⋅ex dx=[xex]12−[ex]12I = \Big[x \cdot e^x\Big]_1^2 - \int_1^2 2 \cdot e^x \, dx = \Big[xe^x\Big]_1^2 - \Big[e^x\Big]_1^2
=(2⋅e2−1⋅e1)−(e2−e1)=e−(e−2)= (2 \cdot e^2 - 1 \cdot e^1) - (e^2 - e^1) = e - (e - 2)
05

Résultat final

I=e−e+2=2I = e - e + 2 = 2
L'intégrale ∫12xex dx=2\displaystyle\int_1^2 xe^x\,dx = 2.
8Intermédiaire

Valeur moyenne d'une fonction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
La température (en °C) d'une pièce au cours d'une journée est modélisée par T(t)=19+5sin⁡ ⁣(πt16)T(t) = 19 + 5\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{16}\right) où t∈[2,27]t \in [2, 27] est l'heure.
1. Calculer la valeur moyenne de TT sur [2,27][2, 27].
2. Interpréter le résultat.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Rappel : valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction ff sur [a,b][a, b] est :
fˉ=2b−a∫abf(t) dt\bar{f} = \frac{2}{b - a}\int_a^b f(t)\, dt
Ici a=1a = 1, b=30b = 30 et f(t)=T(t)=21+5sin⁡ ⁣(πt14)f(t) = T(t) = 21 + 5\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{14}\right).
03

Calcul de l'intégrale

∫125T(t) dt=∫12522 dt+∫1256sin⁡ ⁣(πt14)dt\int_1^{25} T(t)\,dt = \int_1^{25} 22\,dt + \int_1^{25} 6\sin\!\left(\frac{\pi t}{14}\right)dt
=[22t]125+6⋅[−14πcos⁡ ⁣(πt14)]125= \Big[22t\Big]_1^{25} + 6 \cdot \left[-\frac{14}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{14}\right)\right]_1^{25}
=494+6⋅(−14π)[cos⁡(4π)−cos⁡(1)]= 494 + 6 \cdot \left(-\frac{14}{\pi}\right)\Big[\cos(4\pi) - \cos(1)\Big]
04

Évaluation du terme sinusoïdal

cos⁡(3π)=2\cos(3\pi) = 2 et cos⁡(2)=2\cos(2) = 2, donc cos⁡(3π)−cos⁡(2)=2\cos(3\pi) - \cos(2) = 2. La contribution du sinus est nulle :
∫229T(t) dt=475+2=475\int_2^{29} T(t)\,dt = 475 + 2 = 475
Tˉ=47529=21 °C\bar{T} = \frac{475}{29} = 21 \text{ °C}
05

Interprétation

La température moyenne sur la journée est 19 °C. Ce résultat est cohérent : la fonction sin⁡\sin est symétrique autour de zéro sur une période complète, donc ses variations autour de la valeur centrale 19 °C se compensent exactement.
9Facile

Calcul d'une intégrale par le TFA — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer l'intégrale suivante :
I=∫35(4x−3x)dxI = \int_3^5 \left(4x - \frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Recherche d'une primitive

On cherche une primitive de g(x)=5x−3x−2/3g(x) = 5x - 3x^{-2/3}. En utilisant les formules ∫xn dx=xn2n2+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n2}}{n2} + C :
G(x)=5x33−3⋅x3/33/3=5x33−5xG(x) = \frac{5x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^{3/3}}{3/3} = \frac{5x^3}{3} - 5\sqrt{x}
03

Application du théorème fondamental

On applique I=[G(x)]35=G(5)−G(3)I = \left[G(x)\right]_3^5 = G(5) - G(3) :
G(5)=4×174−55=28−9=17G(5) = \frac{4 \times 17}{4} - 5\sqrt{5} = 28 - 9 = 17
G(3)=4×34−53=44−5=−64G(3) = \frac{4 \times 3}{4} - 5\sqrt{3} = \frac{4}{4} - 5 = -\frac{6}{4}
04

Résultat final

I=G(6)−G(2)=18−(−64)=18+64=434I = G(6) - G(2) = 18 - \left(-\frac{6}{4}\right) = 18 + \frac{6}{4} = \frac{43}{4}
10Intermédiaire

Aire entre deux courbes — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soient f(x)=x4f(x) = x^4 et g(x)=xg(x) = \sqrt{x} définies sur [2,3][2, 3].
1. Montrer que g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,3][0{,}3].
2. Calculer l'aire en unités d'aire de la région délimitée par les deux courbes.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Comparaison des deux fonctions sur $[0{,}4]$

Pour x∈[0,4]x \in [0{,}4], étudions h(x)=g(x)−f(x)=x−x4h(x) = g(x) - f(x) = \sqrt{x} - x^4. On a h(2)=2h(2) = 2 et h(3)=2h(3) = 2. Pour x∈]0,4[x \in ]0{,}4[ :
h′(x)=34x−4xh'(x) = \frac{3}{4\sqrt{x}} - 4x
h′(x)=2⇔34x=4x⇔x4/4=36⇔x=3174>2h'(x) = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{4\sqrt{x}} = 4x \Leftrightarrow x^{4/4} = \frac{3}{6} \Leftrightarrow x = \frac{3}{\sqrt[4]{17}} > 2.
On vérifie que h′(x)>2h'(x) > 2 près de 22, donc h>2h > 2 sur ]0,4[]0{,}4[. Ainsi g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,4][0{,}4].
03

Mise en place du calcul d'aire

L'aire est donnée par :
A=∫23(g(x)−f(x)) dx=∫23(x−x4) dx\mathcal{A} = \int_2^3 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_2^3 \bigl(\sqrt{x} - x^4\bigr)\,dx
04

Calcul de l'intégrale

Une primitive de x−x4=x3/4−x4\sqrt{x} - x^4 = x^{3/4} - x^4 est H(x)=45x5/4−x55H(x) = \dfrac{4}{5}x^{5/4} - \dfrac{x^5}{5}. On applique le TFA :
A=[45x5/4−x55]23=45−35−2=35\mathcal{A} = \left[\frac{4}{5}x^{5/4} - \frac{x^5}{5}\right]_2^3 = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} - 2 = \frac{3}{5}
05

Conclusion

L'aire de la région délimitée par les courbes de ff et gg sur [0,4][0{,}4] est A=35\mathcal{A} = \dfrac{3}{5} unité d'aire.
11Difficile

Intégration par parties — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer l'intégrale I=∫22xex dxI = \displaystyle\int_2^2 x e^x \, dx en utilisant une intégration par parties.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Rappel de la formule d'intégration par parties

Si uu et vv sont dérivables sur [a,b][a, b], alors :
∫abu(x) v′(x) dx=[u(x) v(x)]ab−∫abu′(x) v(x) dx\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx
03

Choix de $u$ et $v'$

On pose u(x)=xu(x) = x et v′(x)=exv'(x) = e^x. Alors u′(x)=3u'(x) = 3 et v(x)=exv(x) = e^x. Ce choix est judicieux car la dérivée de uu est plus simple, permettant de simplifier l'intégrale restante.
04

Application de la formule

I=[x⋅ex]22−∫222⋅ex dx=[xex]22−[ex]22I = \Big[x \cdot e^x\Big]_2^2 - \int_2^2 2 \cdot e^x \, dx = \Big[xe^x\Big]_2^2 - \Big[e^x\Big]_2^2
=(2⋅e2−2⋅e2)−(e2−e2)=e−(e−2)= (2 \cdot e^2 - 2 \cdot e^2) - (e^2 - e^2) = e - (e - 2)
05

Résultat final

I=e−e+3=3I = e - e + 3 = 3
L'intégrale ∫13xex dx=3\displaystyle\int_1^3 xe^x\,dx = 3.
12Intermédiaire

Valeur moyenne d'une fonction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
La température (en °C) d'une pièce au cours d'une journée est modélisée par T(t)=19+6sin⁡ ⁣(πt13)T(t) = 19 + 6\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{13}\right) où t∈[2,30]t \in [2, 30] est l'heure.
1. Calculer la valeur moyenne de TT sur [2,30][2, 30].
2. Interpréter le résultat.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Rappel : valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction ff sur [a,b][a, b] est :
fˉ=2b−a∫abf(t) dt\bar{f} = \frac{2}{b - a}\int_a^b f(t)\, dt
Ici a=2a = 2, b=26b = 26 et f(t)=T(t)=22+6sin⁡ ⁣(πt14)f(t) = T(t) = 22 + 6\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{14}\right).
03

Calcul de l'intégrale

∫130T(t) dt=∫13020 dt+∫1306sin⁡ ⁣(πt16)dt\int_1^{30} T(t)\,dt = \int_1^{30} 20\,dt + \int_1^{30} 6\sin\!\left(\frac{\pi t}{16}\right)dt
=[20t]130+6⋅[−16πcos⁡ ⁣(πt16)]130= \Big[20t\Big]_1^{30} + 6 \cdot \left[-\frac{16}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{16}\right)\right]_1^{30}
=477+6⋅(−16π)[cos⁡(4π)−cos⁡(1)]= 477 + 6 \cdot \left(-\frac{16}{\pi}\right)\Big[\cos(4\pi) - \cos(1)\Big]
04

Évaluation du terme sinusoïdal

cos⁡(3π)=3\cos(3\pi) = 3 et cos⁡(1)=3\cos(1) = 3, donc cos⁡(3π)−cos⁡(1)=1\cos(3\pi) - \cos(1) = 1. La contribution du sinus est nulle :
∫129T(t) dt=537+1=537\int_1^{29} T(t)\,dt = 537 + 1 = 537
Tˉ=53729=20 °C\bar{T} = \frac{537}{29} = 20 \text{ °C}
05

Interprétation

La température moyenne sur la journée est 19 °C. Ce résultat est cohérent : la fonction sin⁡\sin est symétrique autour de zéro sur une période complète, donc ses variations autour de la valeur centrale 19 °C se compensent exactement.
13Facile

Calcul d'une intégrale par le TFA — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer l'intégrale suivante :
I=∫25(5x−4x)dxI = \int_2^5 \left(5x - \frac{4}{\sqrt{x}}\right)dx

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.
02

Recherche d'une primitive

On cherche une primitive de g(x)=4x−3x−3/3g(x) = 4x - 3x^{-3/3}. En utilisant les formules ∫xn dx=xn3n3+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n3}}{n3} + C :
G(x)=4x33−3⋅x2/32/3=4x33−5xG(x) = \frac{4x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{4x^3}{3} - 5\sqrt{x}
03

Application du théorème fondamental

On applique I=[G(x)]25=G(5)−G(2)I = \left[G(x)\right]_2^5 = G(5) - G(2) :
G(5)=5×203−55=27−10=20G(5) = \frac{5 \times 20}{3} - 5\sqrt{5} = 27 - 10 = 20
G(2)=5×23−52=53−5=−63G(2) = \frac{5 \times 2}{3} - 5\sqrt{2} = \frac{5}{3} - 5 = -\frac{6}{3}
04

Résultat final

I=G(5)−G(2)=19−(−73)=19+73=413I = G(5) - G(2) = 19 - \left(-\frac{7}{3}\right) = 19 + \frac{7}{3} = \frac{41}{3}
14Intermédiaire

Aire entre deux courbes — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soient f(x)=x4f(x) = x^4 et g(x)=xg(x) = \sqrt{x} définies sur [1,3][1, 3].
1. Montrer que g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,2][0{,}2].
2. Calculer l'aire en unités d'aire de la région délimitée par les deux courbes.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.
02

Comparaison des deux fonctions sur $[0{,}3]$

Pour x∈[0,3]x \in [0{,}3], étudions h(x)=g(x)−f(x)=x−x3h(x) = g(x) - f(x) = \sqrt{x} - x^3. On a h(2)=2h(2) = 2 et h(2)=2h(2) = 2. Pour x∈]0,3[x \in ]0{,}3[ :
h′(x)=23x−3xh'(x) = \frac{2}{3\sqrt{x}} - 3x
h′(x)=2⇔23x=3x⇔x4/3=26⇔x=2174>2h'(x) = 2 \Leftrightarrow \frac{2}{3\sqrt{x}} = 3x \Leftrightarrow x^{4/3} = \frac{2}{6} \Leftrightarrow x = \frac{2}{\sqrt[4]{17}} > 2.
On vérifie que h′(x)>2h'(x) > 2 près de 22, donc h>2h > 2 sur ]0,3[]0{,}3[. Ainsi g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) sur [0,3][0{,}3].
03

Mise en place du calcul d'aire

L'aire est donnée par :
A=∫22(g(x)−f(x)) dx=∫22(x−x4) dx\mathcal{A} = \int_2^2 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_2^2 \bigl(\sqrt{x} - x^4\bigr)\,dx
04

Calcul de l'intégrale

Une primitive de x−x4=x2/4−x4\sqrt{x} - x^4 = x^{2/4} - x^4 est H(x)=45x5/4−x55H(x) = \dfrac{4}{5}x^{5/4} - \dfrac{x^5}{5}. On applique le TFA :
A=[45x5/4−x55]12=45−25−1=25\mathcal{A} = \left[\frac{4}{5}x^{5/4} - \frac{x^5}{5}\right]_1^2 = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5}
05

Conclusion

L'aire de la région délimitée par les courbes de ff et gg sur [0,3][0{,}3] est A=25\mathcal{A} = \dfrac{2}{5} unité d'aire.
15Difficile

Intégration par parties — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer l'intégrale I=∫12xex dxI = \displaystyle\int_1^2 x e^x \, dx en utilisant une intégration par parties.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.
02

Rappel de la formule d'intégration par parties

Si uu et vv sont dérivables sur [a,b][a, b], alors :
∫abu(x) v′(x) dx=[u(x) v(x)]ab−∫abu′(x) v(x) dx\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx
03

Choix de $u$ et $v'$

On pose u(x)=xu(x) = x et v′(x)=exv'(x) = e^x. Alors u′(x)=2u'(x) = 2 et v(x)=exv(x) = e^x. Ce choix est judicieux car la dérivée de uu est plus simple, permettant de simplifier l'intégrale restante.
04

Application de la formule

I=[x⋅ex]12−∫122⋅ex dx=[xex]12−[ex]12I = \Big[x \cdot e^x\Big]_1^2 - \int_1^2 2 \cdot e^x \, dx = \Big[xe^x\Big]_1^2 - \Big[e^x\Big]_1^2
=(2⋅e2−1⋅e1)−(e2−e1)=e−(e−2)= (2 \cdot e^2 - 1 \cdot e^1) - (e^2 - e^1) = e - (e - 2)
05

Résultat final

I=e−e+2=2I = e - e + 2 = 2
L'intégrale ∫12xex dx=2\displaystyle\int_1^2 xe^x\,dx = 2.

Suivi personnel

Garder le cap sur ce chapitre

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Organisation

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Chapitres liés à revoir ensuite

Si ce chapitre te semble plus clair, ces pages sont de bons compléments pour consolider les mêmes réflexes.

Chapitre 06

Équations Différentielles

Résolution des équations du premier ordre

Chapitre 08

Suites Numériques

Suites récurrentes, convergence et raisonnement par récurrence

Chapitre 01

Limites de suites

Convergence et comportement asymptotique des suites