Dérivation et Convexité — Exercices Corrigés Terminale

1Intermédiaire

Convexité et point d'inflexion

Énoncé

Soit

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Calculer

f'(x)

et

f''(x)

.
2. Étudier la convexité de

f

et trouver son point d'inflexion.

Correction détaillée

01

Calcul de la dérivée première

On dérive terme à terme :

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)

f'

s'annule en

x = 1

et

x = 3

.

f

admet des extrema locaux en ces points.

02

Calcul de la dérivée seconde

On dérive

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

:

f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)

03

Étude du signe de $f''$ et convexité

f''(x) = 6(x-2)

.
- Si

x < 2

:

f''(x) < 0

→

f

est concave (tournée vers le bas).
- Si

x > 2

:

f''(x) > 0

→

f

est convexe (tournée vers le haut).

f''

change de signe en

x = 2

.

04

Point d'inflexion

En

x = 2

,

f''

change de signe donc

f

admet un point d'inflexion. On calcule :

f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3

Le point d'inflexion est

I(2\,;\, 3)

. La tangente en

I

a pour pente

f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3

.

2Difficile

Tangente et inégalité de convexité

Énoncé

Soit

f(x) = e^x

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Montrer que

f

est convexe sur

\mathbb{R}

.
2. En déduire que pour tout réel

x

:

e^x \geq x + 1

.
3. Préciser dans quel cas il y a égalité.

Correction détaillée

01

Convexité de $e^x$

On calcule la dérivée seconde de

f(x) = e^x

:

f'(x) = e^x \quad \text{et} \quad f''(x) = e^x

Or

e^x > 0

pour tout

x \in \mathbb{R}

, donc

f''(x) > 0

partout. $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

02

Équation de la tangente en $x = 0$

En

x_0 = 0

:

f(0) = e^0 = 1

et

f'(0) = e^0 = 1

. L'équation de la tangente en

(0, 1)

est :

T : y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 1 \cdot x + 1 = x + 1

03

Inégalité par convexité

Une propriété fondamentale des fonctions convexes : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc pour tout

x \in \mathbb{R}

:

f(x) \geq T(x) \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \geq x + 1

04

Cas d'égalité

L'égalité

e^x = x + 1

a lieu exactement au point de tangence, c'est-à-dire en

x = 0

(car

f

est strictement convexe, la courbe ne touche la tangente qu'en un seul point). L'égalité $e^x = x + 1$ est vraie si et seulement si $x = 0$ .

3Intermédiaire

Dérivée et optimisation d'une fonction

Énoncé

Un agriculteur dispose de 120 mètres de grillage pour clôturer un terrain rectangulaire adossé à un mur (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note

x

la longueur du côté perpendiculaire au mur.
1. Exprimer l'aire

A(x)

du terrain en fonction de

x

.
2. Déterminer la valeur de

x

qui maximise l'aire.

Correction détaillée

01

Mise en équation du problème

Le terrain est un rectangle de largeur

x

et de longueur

y

. Le grillage couvre 2 côtés de longueur

x

et 1 côté de longueur

y

(le côté contre le mur est libre) :

2x + y = 120 \implies y = 120 - 2x

Contrainte :

x > 0

et

y > 0

, soit

x \in ]0, 60[

.

02

Expression de l'aire

L'aire du terrain est :

A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2

A

est une fonction polynomiale du second degré en

x

, définie sur

]0, 60[

.

03

Dérivée et recherche du maximum

A'(x) = 120 - 4x

A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 30

.
- Sur

]0, 30[

:

A'(x) > 0

→

A

croissante.
- Sur

]30, 60[

:

A'(x) < 0

→

A

décroissante.

A

admet un maximum en

x = 30

.

04

Conclusion

Pour

x = 30

m :

y = 120 - 60 = 60

m, et l'aire maximale est :

A(30) = 120 \times 30 - 2 \times 900 = 3600 - 1800 = 1800 \text{ m}^2

Le terrain de 30 m × 60 m offre l'aire maximale de 1 800 m².

4Difficile

Règle de la chaîne et dérivée de fonctions composées

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1.

f(x) = (3x^2 + 2)^5

2.

g(x) = \ln(x^2 + 1)

3.

h(x) = e^{\sin(x)}

Correction détaillée

01

Rappel : règle de dérivation des fonctions composées

Si

F(x) = f(g(x))

, alors

F'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))

(règle de la chaîne). En pratique : on dérive la fonction "extérieure" en gardant la fonction "intérieure", puis on multiplie par la dérivée de la fonction "intérieure".

02

Dérivée de $f(x) = (3x^2 + 2)^5$

Ici

u = 3x^2 + 2

(intérieure) et on prend la puissance 5 (extérieure).

u' = 6x

et

(u^5)' = 5u^4

. Donc :

f'(x) = 6x \cdot 5(3x^2 + 2)^4 = 30x(3x^2 + 2)^4

03

Dérivée de $g(x) = \ln(x^2 + 1)$

Ici

u = x^2 + 1

(intérieure) et

\ln(u)

(extérieure).

u' = 2x

et

(\ln u)' = \dfrac{1}{u}

. Donc :

g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}

04

Dérivée de $h(x) = e^{\sin(x)}$

Ici

u = \sin(x)

(intérieure) et

e^u

(extérieure).

u' = \cos(x)

et

(e^u)' = e^u

. Donc :

h'(x) = \cos(x) \cdot e^{\sin(x)}

Résumé :

f'(x) = 30x(3x^2+2)^4

,

g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}

,

h'(x) = \cos(x)\,e^{\sin(x)}

.