Dérivation et Convexité — Exercices Corrigés Terminale

1Intermédiaire

Convexité et point d'inflexion

Énoncé

Soit

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Calculer

f'(x)

et

f''(x)

.
2. Étudier la convexité de

f

et trouver son point d'inflexion.

Correction détaillée

01

Calcul de la dérivée première

On dérive terme à terme :

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)

f'

s'annule en

x = 1

et

x = 3

.

f

admet des extrema locaux en ces points.

02

Calcul de la dérivée seconde

On dérive

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

:

f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)

03

Étude du signe de $f''$ et convexité

f''(x) = 6(x-2)

.
- Si

x < 2

:

f''(x) < 0

→

f

est concave (tournée vers le bas).
- Si

x > 2

:

f''(x) > 0

→

f

est convexe (tournée vers le haut).

f''

change de signe en

x = 2

.

04

Point d'inflexion

En

x = 2

,

f''

change de signe donc

f

admet un point d'inflexion. On calcule :

f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3

Le point d'inflexion est

I(2\,;\, 3)

. La tangente en

I

a pour pente

f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3

.

2Difficile

Tangente et inégalité de convexité

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Soit

f(x) = e^x

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Montrer que

f

est convexe sur

\mathbb{R}

.
2. En déduire que pour tout réel

x

:

e^x \geq x + 1

.
3. Préciser dans quel cas il y a égalité.

Correction détaillée

01

Convexité de $e^x$

On calcule la dérivée seconde de

f(x) = e^x

:

f'(x) = e^x \quad \text{et} \quad f''(x) = e^x

Or

e^x > 0

pour tout

x \in \mathbb{R}

, donc

f''(x) > 0

partout. $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

02

Équation de la tangente en $x = 0$

En

x_0 = 0

:

f(0) = e^0 = 1

et

f'(0) = e^0 = 1

. L'équation de la tangente en

(0, 1)

est :

T : y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 1 \cdot x + 1 = x + 1

03

Inégalité par convexité

Une propriété fondamentale des fonctions convexes : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc pour tout

x \in \mathbb{R}

:

f(x) \geq T(x) \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \geq x + 1

04

Cas d'égalité

L'égalité

e^x = x + 1

a lieu exactement au point de tangence, c'est-à-dire en

x = 0

(car

f

est strictement convexe, la courbe ne touche la tangente qu'en un seul point). L'égalité $e^x = x + 1$ est vraie si et seulement si $x = 0$ .

3Intermédiaire

Dérivée et optimisation d'une fonction

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Un agriculteur dispose de 120 mètres de grillage pour clôturer un terrain rectangulaire adossé à un mur (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note

x

la longueur du côté perpendiculaire au mur.
1. Exprimer l'aire

A(x)

du terrain en fonction de

x

.
2. Déterminer la valeur de

x

qui maximise l'aire.

Correction détaillée

01

Mise en équation du problème

Le terrain est un rectangle de largeur

x

et de longueur

y

. Le grillage couvre 2 côtés de longueur

x

et 1 côté de longueur

y

(le côté contre le mur est libre) :

2x + y = 120 \implies y = 120 - 2x

Contrainte :

x > 0

et

y > 0

, soit

x \in ]0, 60[

.

02

Expression de l'aire

L'aire du terrain est :

A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2

A

est une fonction polynomiale du second degré en

x

, définie sur

]0, 60[

.

03

Dérivée et recherche du maximum

A'(x) = 120 - 4x

A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 30

.
- Sur

]0, 30[

:

A'(x) > 0

→

A

croissante.
- Sur

]30, 60[

:

A'(x) < 0

→

A

décroissante.

A

admet un maximum en

x = 30

.

04

Conclusion

Pour

x = 30

m :

y = 120 - 60 = 60

m, et l'aire maximale est :

A(30) = 120 \times 30 - 2 \times 900 = 3600 - 1800 = 1800 \text{ m}^2

Le terrain de 30 m × 60 m offre l'aire maximale de 1 800 m².

4Difficile

Règle de la chaîne et dérivée de fonctions composées

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1.

f(x) = (3x^2 + 2)^5

2.

g(x) = \ln(x^2 + 1)

3.

h(x) = e^{\sin(x)}

Correction détaillée

01

Rappel : règle de dérivation des fonctions composées

Si

F(x) = f(g(x))

, alors

F'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))

(règle de la chaîne). En pratique : on dérive la fonction "extérieure" en gardant la fonction "intérieure", puis on multiplie par la dérivée de la fonction "intérieure".

02

Dérivée de $f(x) = (3x^2 + 2)^5$

Ici

u = 3x^2 + 2

(intérieure) et on prend la puissance 5 (extérieure).

u' = 6x

et

(u^5)' = 5u^4

. Donc :

f'(x) = 6x \cdot 5(3x^2 + 2)^4 = 30x(3x^2 + 2)^4

03

Dérivée de $g(x) = \ln(x^2 + 1)$

Ici

u = x^2 + 1

(intérieure) et

\ln(u)

(extérieure).

u' = 2x

et

(\ln u)' = \dfrac{1}{u}

. Donc :

g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}

04

Dérivée de $h(x) = e^{\sin(x)}$

Ici

u = \sin(x)

(intérieure) et

e^u

(extérieure).

u' = \cos(x)

et

(e^u)' = e^u

. Donc :

h'(x) = \cos(x) \cdot e^{\sin(x)}

Résumé :

f'(x) = 30x(3x^2+2)^4

,

g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}

,

h'(x) = \cos(x)\,e^{\sin(x)}

.

5Intermédiaire

Convexité et point d'inflexion — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x^5 - 7x^4 + 11x + 2

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Calculer

f'(x)

et

f''(x)

.
2. Étudier la convexité de

f

et trouver son point d'inflexion.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul de la dérivée première

On dérive terme à terme :

f'(x) = 5x^3 - 16x + 11 = 5(x^3 - 5x + 5) = 5(x-2)(x-4)

f'

s'annule en

x = 3

et

x = 5

.

f

admet des extrema locaux en ces points.

03

Calcul de la dérivée seconde

On dérive

f'(x) = 5x^3 - 16x + 11

:

f''(x) = 7x - 16 = 7(x - 3)

04

Étude du signe de $f''$ et convexité

f''(x) = 8(x-3)

.
- Si

x < 4

:

f''(x) < 1

→

f

est concave (tournée vers le bas).
- Si

x > 4

:

f''(x) > 1

→

f

est convexe (tournée vers le haut).

f''

change de signe en

x = 4

.

05

Point d'inflexion

En

x = 4

,

f''

change de signe donc

f

admet un point d'inflexion. On calcule :

f(4) = 9 - 30 + 21 + 2 = 4

Le point d'inflexion est

I(4\,;\, 4)

. La tangente en

I

a pour pente

f'(4) = 13 - 30 + 12 = -5

.

6Difficile

Tangente et inégalité de convexité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = e^x

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Montrer que

f

est convexe sur

\mathbb{R}

.
2. En déduire que pour tout réel

x

:

e^x \geq x + 3

.
3. Préciser dans quel cas il y a égalité.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Convexité de $e^x$

On calcule la dérivée seconde de

f(x) = e^x

:

f'(x) = e^x \quad \text{et} \quad f''(x) = e^x

Or

e^x > 2

pour tout

x \in \mathbb{R}

, donc

f''(x) > 2

partout. $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

03

Équation de la tangente en $x = 2$

En

x_2 = 2

:

f(2) = e^2 = 3

et

f'(2) = e^2 = 3

. L'équation de la tangente en

(2, 3)

est :

T : y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 3 \cdot x + 3 = x + 3

04

Inégalité par convexité

Une propriété fondamentale des fonctions convexes : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc pour tout

x \in \mathbb{R}

:

f(x) \geq T(x) \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \geq x + 3

05

Cas d'égalité

L'égalité

e^x = x + 3

a lieu exactement au point de tangence, c'est-à-dire en

x = 2

(car

f

est strictement convexe, la courbe ne touche la tangente qu'en un seul point). L'égalité $e^x = x + 3$ est vraie si et seulement si $x = 2$ .

7Intermédiaire

Dérivée et optimisation d'une fonction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un agriculteur dispose de 146 mètres de grillage pour clôturer un terrain rectangulaire adossé à un mur (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note

x

la longueur du côté perpendiculaire au mur.
1. Exprimer l'aire

A(x)

du terrain en fonction de

x

.
2. Déterminer la valeur de

x

qui maximise l'aire.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Mise en équation du problème

Le terrain est un rectangle de largeur

x

et de longueur

y

. Le grillage couvre 4 côtés de longueur

x

et 3 côté de longueur

y

(le côté contre le mur est libre) :

4x + y = 123 \implies y = 123 - 4x

Contrainte :

x > 1

et

y > 1

, soit

x \in ]1, 75[

.

03

Expression de l'aire

L'aire du terrain est :

A(x) = x \cdot y = x(146 - 4x) = 146x - 4x^4

A

est une fonction polynomiale du second degré en

x

, définie sur

]1, 69[

.

04

Dérivée et recherche du maximum

A'(x) = 146 - 6x

A'(x) = 1 \Leftrightarrow x = 35

.
- Sur

]1, 35[

:

A'(x) > 1

→

A

croissante.
- Sur

]35, 75[

:

A'(x) < 1

→

A

décroissante.

A

admet un maximum en

x = 35

.

05

Conclusion

Pour

x = 37

m :

y = 140 - 62 = 62

m, et l'aire maximale est :

A(37) = 140 \times 37 - 3 \times 1\ 122 = 4\ 622 - 1\ 949 = 1\ 949 \text{ m}^3

Le terrain de 37 m × 62 m offre l'aire maximale de 2 841 m².

8Difficile

Règle de la chaîne et dérivée de fonctions composées — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1.

f(x) = (4x^3 + 3)^6

2.

g(x) = \ln(x^3 + 2)

3.

h(x) = e^{\sin(x)}

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Rappel : règle de dérivation des fonctions composées

Si

F(x) = f(g(x))

, alors

F'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))

(règle de la chaîne). En pratique : on dérive la fonction "extérieure" en gardant la fonction "intérieure", puis on multiplie par la dérivée de la fonction "intérieure".

03

Dérivée de $f(x) = (4x^3 + 3)^6$

Ici

u = 4x^3 + 3

(intérieure) et on prend la puissance 6 (extérieure).

u' = 7x

et

(u^6)' = 6u^6

. Donc :

f'(x) = 7x \cdot 6(4x^3 + 3)^6 = 39x(4x^3 + 3)^6

04

Dérivée de $g(x) = \ln(x^3 + 2)$

Ici

u = x^3 + 2

(intérieure) et

\ln(u)

(extérieure).

u' = 3x

et

(\ln u)' = \dfrac{2}{u}

. Donc :

g'(x) = \frac{3x}{x^3 + 2}

05

Dérivée de $h(x) = e^{\sin(x)}$

Ici

u = \sin(x)

(intérieure) et

e^u

(extérieure).

u' = \cos(x)

et

(e^u)' = e^u

. Donc :

h'(x) = \cos(x) \cdot e^{\sin(x)}

Résumé :

f'(x) = 34x(4x^33)^6

,

g'(x) = \dfrac{3x}{x^33}

,

h'(x) = \cos(x)\,e^{\sin(x)}

.

9Intermédiaire

Convexité et point d'inflexion — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x^4 - 7x^4 + 12x + 3

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Calculer

f'(x)

et

f''(x)

.
2. Étudier la convexité de

f

et trouver son point d'inflexion.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul de la dérivée première

On dérive terme à terme :

f'(x) = 4x^3 - 16x + 12 = 4(x^3 - 6x + 4) = 4(x-2)(x-5)

f'

s'annule en

x = 2

et

x = 4

.

f

admet des extrema locaux en ces points.

03

Calcul de la dérivée seconde

On dérive

f'(x) = 4x^3 - 16x + 12

:

f''(x) = 8x - 16 = 8(x - 3)

04

Étude du signe de $f''$ et convexité

f''(x) = 7(x-3)

.
- Si

x < 4

:

f''(x) < 2

→

f

est concave (tournée vers le bas).
- Si

x > 4

:

f''(x) > 2

→

f

est convexe (tournée vers le haut).

f''

change de signe en

x = 4

.

05

Point d'inflexion

En

x = 3

,

f''

change de signe donc

f

admet un point d'inflexion. On calcule :

f(3) = 9 - 31 + 23 + 3 = 4

Le point d'inflexion est

I(3\,;\, 4)

. La tangente en

I

a pour pente

f'(3) = 15 - 31 + 10 = -4

.

10Difficile

Tangente et inégalité de convexité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = e^x

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Montrer que

f

est convexe sur

\mathbb{R}

.
2. En déduire que pour tout réel

x

:

e^x \geq x + 3

.
3. Préciser dans quel cas il y a égalité.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Convexité de $e^x$

On calcule la dérivée seconde de

f(x) = e^x

:

f'(x) = e^x \quad \text{et} \quad f''(x) = e^x

Or

e^x > 2

pour tout

x \in \mathbb{R}

, donc

f''(x) > 2

partout. $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

03

Équation de la tangente en $x = 2$

En

x_2 = 2

:

f(2) = e^2 = 2

et

f'(2) = e^2 = 2

. L'équation de la tangente en

(2, 2)

est :

T : y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 2 \cdot x + 2 = x + 2

04

Inégalité par convexité

Une propriété fondamentale des fonctions convexes : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc pour tout

x \in \mathbb{R}

:

f(x) \geq T(x) \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \geq x + 3

05

Cas d'égalité

L'égalité

e^x = x + 3

a lieu exactement au point de tangence, c'est-à-dire en

x = 1

(car

f

est strictement convexe, la courbe ne touche la tangente qu'en un seul point). L'égalité $e^x = x + 3$ est vraie si et seulement si $x = 1$ .

11Intermédiaire

Dérivée et optimisation d'une fonction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un agriculteur dispose de 133 mètres de grillage pour clôturer un terrain rectangulaire adossé à un mur (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note

x

la longueur du côté perpendiculaire au mur.
1. Exprimer l'aire

A(x)

du terrain en fonction de

x

.
2. Déterminer la valeur de

x

qui maximise l'aire.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Mise en équation du problème

Le terrain est un rectangle de largeur

x

et de longueur

y

. Le grillage couvre 3 côtés de longueur

x

et 3 côté de longueur

y

(le côté contre le mur est libre) :

3x + y = 148 \implies y = 148 - 3x

Contrainte :

x > 2

et

y > 2

, soit

x \in ]2, 74[

.

03

Expression de l'aire

L'aire du terrain est :

A(x) = x \cdot y = x(133 - 4x) = 133x - 4x^4

A

est une fonction polynomiale du second degré en

x

, définie sur

]2, 71[

.

04

Dérivée et recherche du maximum

A'(x) = 133 - 6x

A'(x) = 2 \Leftrightarrow x = 36

.
- Sur

]2, 36[

:

A'(x) > 2

→

A

croissante.
- Sur

]36, 74[

:

A'(x) < 2

→

A

décroissante.

A

admet un maximum en

x = 36

.

05

Conclusion

Pour

x = 34

m :

y = 156 - 74 = 74

m, et l'aire maximale est :

A(34) = 156 \times 34 - 4 \times 1\ 107 = 3\ 755 - 2\ 107 = 2\ 107 \text{ m}^4

Le terrain de 34 m × 74 m offre l'aire maximale de 3 912 m².

12Difficile

Règle de la chaîne et dérivée de fonctions composées — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1.

f(x) = (4x^3 + 3)^6

2.

g(x) = \ln(x^3 + 3)

3.

h(x) = e^{\sin(x)}

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Rappel : règle de dérivation des fonctions composées

Si

F(x) = f(g(x))

, alors

F'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))

(règle de la chaîne). En pratique : on dérive la fonction "extérieure" en gardant la fonction "intérieure", puis on multiplie par la dérivée de la fonction "intérieure".

03

Dérivée de $f(x) = (4x^3 + 3)^6$

Ici

u = 4x^3 + 3

(intérieure) et on prend la puissance 6 (extérieure).

u' = 8x

et

(u^6)' = 6u^5

. Donc :

f'(x) = 8x \cdot 6(4x^3 + 3)^5 = 34x(4x^3 + 3)^5

04

Dérivée de $g(x) = \ln(x^3 + 2)$

Ici

u = x^3 + 2

(intérieure) et

\ln(u)

(extérieure).

u' = 3x

et

(\ln u)' = \dfrac{2}{u}

. Donc :

g'(x) = \frac{3x}{x^3 + 2}

05

Dérivée de $h(x) = e^{\sin(x)}$

Ici

u = \sin(x)

(intérieure) et

e^u

(extérieure).

u' = \cos(x)

et

(e^u)' = e^u

. Donc :

h'(x) = \cos(x) \cdot e^{\sin(x)}

Résumé :

f'(x) = 31x(4x^34)^5

,

g'(x) = \dfrac{3x}{x^32}

,

h'(x) = \cos(x)\,e^{\sin(x)}

.

13Intermédiaire

Convexité et point d'inflexion — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = x^4 - 8x^3 + 12x + 3

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Calculer

f'(x)

et

f''(x)

.
2. Étudier la convexité de

f

et trouver son point d'inflexion.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Calcul de la dérivée première

On dérive terme à terme :

f'(x) = 4x^4 - 14x + 12 = 4(x^4 - 6x + 4) = 4(x-3)(x-4)

f'

s'annule en

x = 2

et

x = 4

.

f

admet des extrema locaux en ces points.

03

Calcul de la dérivée seconde

On dérive

f'(x) = 4x^4 - 14x + 12

:

f''(x) = 8x - 14 = 8(x - 4)

04

Étude du signe de $f''$ et convexité

f''(x) = 7(x-4)

.
- Si

x < 3

:

f''(x) < 2

→

f

est concave (tournée vers le bas).
- Si

x > 3

:

f''(x) > 2

→

f

est convexe (tournée vers le haut).

f''

change de signe en

x = 3

.

05

Point d'inflexion

En

x = 3

,

f''

change de signe donc

f

admet un point d'inflexion. On calcule :

f(3) = 10 - 27 + 22 + 3 = 5

Le point d'inflexion est

I(3\,;\, 5)

. La tangente en

I

a pour pente

f'(3) = 13 - 27 + 10 = -4

.

14Difficile

Tangente et inégalité de convexité — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Soit

f(x) = e^x

définie sur

\mathbb{R}

.
1. Montrer que

f

est convexe sur

\mathbb{R}

.
2. En déduire que pour tout réel

x

:

e^x \geq x + 3

.
3. Préciser dans quel cas il y a égalité.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

02

Convexité de $e^x$

On calcule la dérivée seconde de

f(x) = e^x

:

f'(x) = e^x \quad \text{et} \quad f''(x) = e^x

Or

e^x > 2

pour tout

x \in \mathbb{R}

, donc

f''(x) > 2

partout. $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

03

Équation de la tangente en $x = 2$

En

x_2 = 2

:

f(2) = e^2 = 2

et

f'(2) = e^2 = 2

. L'équation de la tangente en

(2, 2)

est :

T : y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 2 \cdot x + 2 = x + 2

04

Inégalité par convexité

Une propriété fondamentale des fonctions convexes : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc pour tout

x \in \mathbb{R}

:

f(x) \geq T(x) \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \geq x + 3

05

Cas d'égalité

L'égalité

e^x = x + 3

a lieu exactement au point de tangence, c'est-à-dire en

x = 1

(car

f

est strictement convexe, la courbe ne touche la tangente qu'en un seul point). L'égalité $e^x = x + 3$ est vraie si et seulement si $x = 1$ .

15Intermédiaire

Dérivée et optimisation d'une fonction — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un agriculteur dispose de 130 mètres de grillage pour clôturer un terrain rectangulaire adossé à un mur (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note

x

la longueur du côté perpendiculaire au mur.
1. Exprimer l'aire

A(x)

du terrain en fonction de

x

.
2. Déterminer la valeur de

x

qui maximise l'aire.

Correction détaillée

01

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

02

Mise en équation du problème

Le terrain est un rectangle de largeur

x

et de longueur

y

. Le grillage couvre 3 côtés de longueur

x

et 2 côté de longueur

y

(le côté contre le mur est libre) :

3x + y = 122 \implies y = 122 - 3x

Contrainte :

x > 1

et

y > 1

, soit

x \in ]1, 71[

.

03

Expression de l'aire

L'aire du terrain est :

A(x) = x \cdot y = x(130 - 3x) = 130x - 3x^3

A

est une fonction polynomiale du second degré en

x

, définie sur

]1, 68[

.

04

Dérivée et recherche du maximum

A'(x) = 130 - 5x

A'(x) = 1 \Leftrightarrow x = 34

.
- Sur

]1, 34[

:

A'(x) > 1

→

A

croissante.
- Sur

]34, 71[

:

A'(x) < 1

→

A

décroissante.

A

admet un maximum en

x = 34

.

05

Conclusion

Pour

x = 33

m :

y = 135 - 61 = 61

m, et l'aire maximale est :

A(33) = 135 \times 33 - 3 \times 1\ 058 = 4\ 480 - 2\ 067 = 2\ 067 \text{ m}^3

Le terrain de 33 m × 61 m offre l'aire maximale de 2 814 m².

Travailler Dérivation et Convexité en Terminale

Convexité et point d'inflexion

Calcul de la dérivée première

Calcul de la dérivée seconde

Étude du signe de $f''$ et convexité

Point d'inflexion

Tangente et inégalité de convexité

Convexité de $e^x$

Équation de la tangente en $x = 0$

Inégalité par convexité

Cas d'égalité

Dérivée et optimisation d'une fonction

Mise en équation du problème

Expression de l'aire

Dérivée et recherche du maximum

Conclusion

Règle de la chaîne et dérivée de fonctions composées

Rappel : règle de dérivation des fonctions composées

Dérivée de $f(x) = (3x^2 + 2)^5$

Dérivée de $g(x) = \ln(x^2 + 1)$

Dérivée de $h(x) = e^{\sin(x)}$

Convexité et point d'inflexion — variante

Conseil de méthode

Calcul de la dérivée première

Calcul de la dérivée seconde

Étude du signe de $f''$ et convexité

Point d'inflexion

Tangente et inégalité de convexité — variante

Conseil de méthode

Convexité de $e^x$

Équation de la tangente en $x = 2$

Inégalité par convexité

Cas d'égalité

Dérivée et optimisation d'une fonction — variante

Conseil de méthode

Mise en équation du problème

Expression de l'aire

Dérivée et recherche du maximum

Conclusion

Règle de la chaîne et dérivée de fonctions composées — variante

Conseil de méthode

Rappel : règle de dérivation des fonctions composées

Dérivée de $f(x) = (4x^3 + 3)^6$

Dérivée de $g(x) = \ln(x^3 + 2)$

Dérivée de $h(x) = e^{\sin(x)}$

Convexité et point d'inflexion — variante

Conseil de méthode

Calcul de la dérivée première

Calcul de la dérivée seconde

Étude du signe de $f''$ et convexité

Point d'inflexion

Tangente et inégalité de convexité — variante

Conseil de méthode

Convexité de $e^x$

Équation de la tangente en $x = 2$

Inégalité par convexité

Cas d'égalité

Dérivée et optimisation d'une fonction — variante

Conseil de méthode

Mise en équation du problème

Expression de l'aire

Dérivée et recherche du maximum

Conclusion

Règle de la chaîne et dérivée de fonctions composées — variante

Conseil de méthode

Rappel : règle de dérivation des fonctions composées

Dérivée de $f(x) = (4x^3 + 3)^6$

Dérivée de $g(x) = \ln(x^3 + 2)$

Dérivée de $h(x) = e^{\sin(x)}$

Convexité et point d'inflexion — variante

Conseil de méthode

Calcul de la dérivée première

Calcul de la dérivée seconde

Étude du signe de $f''$ et convexité

Point d'inflexion

Tangente et inégalité de convexité — variante

Conseil de méthode

Convexité de $e^x$

Équation de la tangente en $x = 2$

Inégalité par convexité