Dénombrement — Exercices Corrigés Terminale | Mathématiques by Kaizen Market

1Intermédiaire

Formations de groupes avec contraintes

Énoncé

Un club de 12 membres (7 hommes et 5 femmes) doit élire un comité de 4 personnes.
1. Combien de comités de 4 membres peut-on former ?
2. Combien de comités contiennent au moins 2 femmes ?

Correction détaillée

01

Nombre total de comités

On choisit 4 membres parmi 12 sans tenir compte de l'ordre (un comité est un ensemble). Le nombre de comités est :

\binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11\,880}{24} = 495

02

Comités avec exactement 2 femmes

On choisit 2 femmes parmi 5 ET 2 hommes parmi 7 :

\binom{5}{2} \times \binom{7}{2} = 10 \times 21 = 210

03

Comités avec exactement 3 femmes

On choisit 3 femmes parmi 5 ET 1 homme parmi 7 :

\binom{5}{3} \times \binom{7}{1} = 10 \times 7 = 70

04

Comités avec exactement 4 femmes

On choisit 4 femmes parmi 5 ET 0 homme parmi 7 :

\binom{5}{4} \times \binom{7}{0} = 5 \times 1 = 5

Au total : comités avec au moins 2 femmes

= 210 + 70 + 5 = \mathbf{285}

.

2Intermédiaire

Probabilités par dénombrement

Énoncé

On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 (4 couleurs × 8 valeurs). Calculer la probabilité que les 3 cartes soient de la même couleur.

Correction détaillée

01

Univers équiprobable

Le nombre de façons de tirer 3 cartes parmi 32 est :

|\Omega| = \binom{32}{3} = \frac{32 \times 31 \times 30}{3!} = \frac{29\,760}{6} = 4\,960

02

Événement favorable

L'événement

A

= "les 3 cartes sont de la même couleur". Il y a 4 couleurs, chacune ayant 8 cartes. Le nombre de façons de choisir 3 cartes de la même couleur :

|A| = 4 \times \binom{8}{3} = 4 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 4 \times 56 = 224

03

Calcul de la probabilité

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{224}{4\,960} = \frac{14}{310} = \frac{7}{155}

04

Conclusion

La probabilité que les 3 cartes tirées soient de la même couleur est

P(A) = \dfrac{7}{155} \approx 4{,}5\%

.

3Intermédiaire

Arrangements et permutations

Énoncé

Un professeur dispose de 8 élèves à placer sur une rangée de 8 chaises.
1. Combien de façons différentes peut-il les placer ?
2. Parmi ces élèves, Alice et Bob refusent d'être voisins. Combien de dispositions respectent cette contrainte ?

Correction détaillée

01

Nombre total de placements (permutations)

Il s'agit de placer 8 élèves distincts sur 8 chaises distinctes, c'est une permutation de 8 éléments :

n_{\text{total}} = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40\,320

02

Nombre de placements où Alice et Bob sont voisins (événement complémentaire)

On groupe Alice et Bob en un bloc. Ce bloc peut être placé dans 7 positions (chaises 1-2, 2-3, ..., 7-8). À l'intérieur du bloc, Alice et Bob peuvent permuter en

2! = 2

façons. Les 6 autres élèves se placent en

6!

façons :

n_{\text{voisins}} = 7 \times 2 \times 6! = 7 \times 2 \times 720 = 10\,080

03

Application du principe complémentaire

Le nombre de dispositions où Alice et Bob ne sont pas voisins :

n_{\text{non-voisins}} = n_{\text{total}} - n_{\text{voisins}} = 40\,320 - 10\,080 = 30\,240

04

Conclusion

Il y a 40 320 façons de placer les 8 élèves, dont 30 240 respectent la contrainte qu'Alice et Bob ne soient pas voisins, soit environ 75% des dispositions possibles.

4Difficile

Probabilités conditionnelles et indépendance

Énoncé

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise.
1. Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge, sachant que la première était rouge.
2. Calculer la probabilité que les deux boules soient de la même couleur.
3. Ces deux tirages sont-ils indépendants ?

Correction détaillée

01

Probabilité conditionnelle (2e rouge | 1re rouge)

Si la première boule tirée est rouge, il reste dans l'urne 3 rouges et 6 bleues (9 boules au total). La probabilité que la 2e soit rouge :

P(R_2 | R_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

02

Probabilité que les deux boules soient de même couleur

On utilise la loi des probabilités totales.

P(R_1) = \dfrac{4}{10}

et

P(B_1) = \dfrac{6}{10}

.

P(\text{même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(B_1 \cap B_2)

= P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) + P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}

03

Calcul numérique

P(\text{même couleur}) = \frac{12}{90} + \frac{30}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \approx 0{,}467

04

Indépendance des tirages

Les tirages sont indépendants si

P(R_2|R_1) = P(R_2)

. Or

P(R_2) = P(R_1)\cdot P(R_2|R_1) + P(B_1)\cdot P(R_2|B_1) = \dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9} + \dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9} = \dfrac{12+24}{90} = \dfrac{36}{90} = \dfrac{2}{5}

. Et

P(R_2|R_1) = \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}

. Les deux tirages sont donc dépendants (tirage sans remise).