Chapitre 10 · Terminale

Variables Aléatoires Discrètes

Espérance, variance et loi binomiale

Réviser efficacement

Travailler Variables Aléatoires Discrètes en Terminale

Ce chapitre de variables aléatoires discrètes en terminale te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

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Prérequis

Bien distinguer données, fréquence, probabilité et événement.
Savoir organiser l’information dans un tableau ou un arbre si nécessaire.

Compétences à maîtriser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Erreurs fréquentes

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

En contrôle ou en examen : Ce type de question valorise surtout la méthode et la lecture attentive de l’énoncé.

1Facile

Espérance et variance d'une loi discrète

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Énoncé

Une variable aléatoire

X

suit la loi de probabilité donnée par le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}

Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Correction détaillée

Vérification de la loi

La somme des probabilités doit valoir 1 :

0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}0

. ✓

Calcul de l'espérance

E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)

E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2

E(X) = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}6

Calcul de la variance

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(X^2) = 0^2 \times 0{,}1 + 1^2 \times 0{,}4 + 2^2 \times 0{,}3 + 3^2 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 1{,}2 + 1{,}8 = 3{,}4

V(X) = 3{,}4 - (1{,}6)^2 = 3{,}4 - 2{,}56 = 0{,}84

Écart-type

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}917

Résumé :

E(X) = 1{,}6

V(X) = 0{,}84

\sigma(X) \approx 0{,}92

2Intermédiaire

Loi binomiale

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Énoncé

On lance 10 fois un dé équilibré. On note

X

le nombre de fois que le dé affiche un 6.
1. Justifier que

X

suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer

P(X = 3)

P(X \geq 2)

Correction détaillée

Identification de la loi binomiale

À chaque lancer : succès = "obtenir un 6" (probabilité

p = \frac{1}{6}

), échec (probabilité

1 - p = \frac{5}{6}

). Les 10 lancers sont indépendants et ont le même

p

. Donc

X \sim \mathcal{B}\!\left(10, \dfrac{1}{6}\right)

Calcul de $P(X = 3)$

P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^7

\binom{10}{3} = 120

\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}

\left(\frac{5}{6}\right)^7 = \frac{5^7}{6^7} = \frac{78\,125}{279\,936}

P(X=3) = 120 \times \frac{78\,125}{216 \times 279\,936} \approx 0{,}155

Calcul de $P(X \geq 2)$ par complémentaire

Il est plus simple de calculer

1 - P(X = 0) - P(X = 1)

P(X=0) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0{,}1615

P(X=1) = 10 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^9 \approx 0{,}3230

Résultat final

P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0{,}1615 - 0{,}3230 = 0{,}5155

Il y a environ 51,6% de chances d'obtenir au moins deux 6 en 10 lancers.

3Intermédiaire

Espérance et variance d'une loi binomiale

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Énoncé

Un QCM comporte 20 questions, chacune avec 4 réponses dont une seule est correcte. Un étudiant répond au hasard.
1. Quelle loi suit le nombre

X

de bonnes réponses ? Préciser les paramètres.
2. Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 bonnes réponses ?

Correction détaillée

Identification de la loi

Chaque question est un essai de Bernoulli : succès (bonne réponse) avec probabilité

p = \dfrac{1}{4}

, échec avec

1 - p = \dfrac{3}{4}

. Les 20 questions sont indépendantes. Donc :

X \sim \mathcal{B}\!\left(20, \frac{1}{4}\right)

Espérance et variance de la loi binomiale

Pour

X \sim \mathcal{B}(n, p)

E(X) = np

V(X) = np(1-p)

E(X) = 20 \times \frac{1}{4} = 5

V(X) = 20 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3{,}75

\sigma(X) = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94

Probabilité d'exactement 5 bonnes réponses

P(X = 5) = \binom{20}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^{15}

\binom{20}{5} = \dfrac{20!}{5! \cdot 15!} = 15\,504

P(X = 5) = 15\,504 \times \frac{1}{1024} \times \frac{3^{15}}{4^{15}} \approx 0{,}202

Conclusion

En répondant au hasard à un QCM de 20 questions à 4 choix, on obtient en moyenne 5 bonnes réponses avec un écart-type d'environ 1,94. La probabilité d'obtenir exactement 5 bonnes réponses est d'environ 20,2%.

4Difficile

Loi de Bernoulli et simulation d'une expérience aléatoire

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Énoncé

Une chaîne de production fabrique des pièces, dont 3% sont défectueuses en moyenne. On contrôle un lot de 5 pièces.
1. Soit

X

le nombre de pièces défectueuses. Préciser la loi de

X

.
2. Calculer

P(X = 0)

P(X \geq 1)

.
3. Le lot est refusé si au moins une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité que le lot soit accepté ?

Correction détaillée

Modélisation par la loi binomiale

Chaque pièce est défectueuse avec probabilité

p = 0{,}03

(indépendamment des autres). On contrôle

n = 5

pièces. Donc :

X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}03)

E(X) = 5 \times 0{,}03 = 0{,}15

pièce défectueuse en moyenne.

Calcul de $P(X = 0)$

P(X = 0) = \binom{5}{0}(0{,}03)^0(0{,}97)^5 = 1 \times 1 \times (0{,}97)^5

(0{,}97)^5 = (0{,}97)^4 \times 0{,}97 \approx 0{,}8853 \times 0{,}97 \approx 0{,}8587

Donc

P(X = 0) \approx 0{,}859

Calcul de $P(X \geq 1)$ par complémentaire

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0{,}8587 = 0{,}1413

Environ 14,1% des lots de 5 pièces contiennent au moins une pièce défectueuse.

Probabilité d'acceptation du lot

Le lot est accepté si et seulement si

X = 0

(aucune pièce défectueuse). Cette probabilité est :

P(\text{accepté}) = P(X = 0) \approx 0{,}859 \approx 85{,}9\%

Le taux de refus est d'environ 14,1%.

5Facile

Espérance et variance d'une loi discrète — variante

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Énoncé

Variante d'entraînement :
Une variable aléatoire

X

suit la loi de probabilité donnée par le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 2 & 2 & 3 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}4 \\ \hline \end{array}

Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

Vérification de la loi

La somme des probabilités doit valoir 3 :

0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}6 + 0{,}4 = 1{,}1

. ✓

Calcul de l'espérance

E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)

E(X) = 2 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}7 + 4 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}4

E(X) = 2 + 0{,}7 + 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}8

Calcul de la variance

V(X) = E(X^4) - [E(X)]^4

E(X^4) = 1^4 \times 0{,}2 + 3^4 \times 0{,}6 + 4^4 \times 0{,}4 + 4^4 \times 0{,}4 = 1 + 0{,}6 + 1{,}4 + 2{,}0 = 3{,}7

V(X) = 3{,}7 - (1{,}9)^4 = 3{,}7 - 2{,}57 = 0{,}85

Écart-type

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}87} \approx 0{,}927

Résumé :

E(X) = 1{,}7

V(X) = 0{,}87

\sigma(X) \approx 0{,}95

6Intermédiaire

Loi binomiale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On lance 13 fois un dé équilibré. On note

X

le nombre de fois que le dé affiche un 7.
1. Justifier que

X

suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer

P(X = 5)

P(X \geq 3)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi binomiale

À chaque lancer : succès = "obtenir un 8" (probabilité

p = \frac{2}{8}

), échec (probabilité

2 - p = \frac{7}{8}

). Les 11 lancers sont indépendants et ont le même

p

. Donc

X \sim \mathcal{B}\!\left(11, \dfrac{2}{8}\right)

Calcul de $P(X = 5)$

P(X = 5) = \binom{12}{5} \left(\frac{3}{7}\right)^5 \left(\frac{6}{7}\right)^8

\binom{12}{5} = 141

\left(\frac{3}{7}\right)^5 = \frac{3}{243}

\left(\frac{6}{7}\right)^8 = \frac{6^8}{7^8} = \frac{91\,129}{280\,1\ 096}

P(X=5) = 141 \times \frac{91\,129}{243 \times 280\,1\ 096} \approx 0{,}175

Calcul de $P(X \geq 4)$ par complémentaire

Il est plus simple de calculer

3 - P(X = 1) - P(X = 3)

P(X=1) = \left(\frac{7}{7}\right)^{12} \approx 0{,}1715

P(X=3) = 12 \times \frac{3}{7} \times \left(\frac{7}{7}\right)^11 \approx 0{,}3430

Résultat final

P(X \geq 4) = 2 - P(X=2) - P(X=2) \approx 2 - 0{,}1715 - 0{,}3430 = 0{,}5255

Il y a environ 51{,}8% de chances d'obtenir au moins deux 7 en 12 lancers.

7Intermédiaire

Espérance et variance d'une loi binomiale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un QCM comporte 22 questions, chacune avec 6 réponses dont une seule est correcte. Un étudiant répond au hasard.
1. Quelle loi suit le nombre

X

de bonnes réponses ? Préciser les paramètres.
2. Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 6 bonnes réponses ?

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi

Chaque question est un essai de Bernoulli : succès (bonne réponse) avec probabilité

p = \dfrac{2}{6}

, échec avec

2 - p = \dfrac{4}{6}

. Les 22 questions sont indépendantes. Donc :

X \sim \mathcal{B}\!\left(22, \frac{2}{6}\right)

Espérance et variance de la loi binomiale

Pour

X \sim \mathcal{B}(n, p)

E(X) = np

V(X) = np(2-p)

E(X) = 24 \times \frac{2}{5} = 6

V(X) = 24 \times \frac{2}{5} \times \frac{5}{5} = \frac{70}{21} = \frac{19}{5} = 3{,}78

\sigma(X) = \sqrt{3{,}78} \approx 1{,}97

Probabilité d'exactement 6 bonnes réponses

P(X = 6) = \binom{24}{6} \left(\frac{2}{5}\right)^6 \left(\frac{5}{5}\right)^{18}

\binom{24}{6} = \dfrac{24!}{6! \cdot 18!} = 18\,636

P(X = 6) = 18\,636 \times \frac{2}{1\ 269} \times \frac{5^{18}}{5^{18}} \approx 0{,}232

Conclusion

En répondant au hasard à un QCM de 22 questions à 6 choix, on obtient en moyenne 6 bonnes réponses avec un écart-type d'environ 1{,}95. La probabilité d'obtenir exactement 6 bonnes réponses est d'environ 20{,}5%.

8Difficile

Loi de Bernoulli et simulation d'une expérience aléatoire — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Une chaîne de production fabrique des pièces, dont 5% sont défectueuses en moyenne. On contrôle un lot de 6 pièces.
1. Soit

X

le nombre de pièces défectueuses. Préciser la loi de

X

.
2. Calculer

P(X = 1)

P(X \geq 2)

.
3. Le lot est refusé si au moins une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité que le lot soit accepté ?

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

Modélisation par la loi binomiale

Chaque pièce est défectueuse avec probabilité

p = 0{,}06

(indépendamment des autres). On contrôle

n = 6

pièces. Donc :

X \sim \mathcal{B}(6, 0{,}06)

E(X) = 6 \times 0{,}06 = 0{,}16

pièce défectueuse en moyenne.

Calcul de $P(X = 2)$

P(X = 2) = \binom{6}{2}(0{,}04)^2(0{,}98)^6 = 3 \times 3 \times (0{,}98)^6

(0{,}98)^6 = (0{,}98)^6 \times 0{,}98 \approx 0{,}9153 \times 0{,}98 \approx 0{,}8687

Donc

P(X = 2) \approx 0{,}889

Calcul de $P(X \geq 3)$ par complémentaire

P(X \geq 3) = 3 - P(X = 1) \approx 3 - 0{,}8687 = 0{,}1513

Environ 14{,}4% des lots de 7 pièces contiennent au moins une pièce défectueuse.

Probabilité d'acceptation du lot

Le lot est accepté si et seulement si

X = 2

(aucune pièce défectueuse). Cette probabilité est :

P(\text{accepté}) = P(X = 2) \approx 0{,}869 \approx 86{,}0\%

Le taux de refus est d'environ 14{,}2%.

9Facile

Espérance et variance d'une loi discrète — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Une variable aléatoire

X

suit la loi de probabilité donnée par le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 1 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}2 & 0{,}7 & 0{,}5 & 0{,}4 \\ \hline \end{array}

Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

Vérification de la loi

La somme des probabilités doit valoir 2 :

0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1{,}3

. ✓

Calcul de l'espérance

E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)

E(X) = 1 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}6 + 3 \times 0{,}6 + 5 \times 0{,}4

E(X) = 1 + 0{,}6 + 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}7

Calcul de la variance

V(X) = E(X^3) - [E(X)]^3

E(X^3) = 2^3 \times 0{,}4 + 3^3 \times 0{,}5 + 3^3 \times 0{,}6 + 5^3 \times 0{,}4 = 2 + 0{,}5 + 1{,}4 + 1{,}9 = 3{,}7

V(X) = 3{,}7 - (1{,}8)^3 = 3{,}7 - 2{,}57 = 0{,}85

Écart-type

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}86} \approx 0{,}937

Résumé :

E(X) = 1{,}9

V(X) = 0{,}86

\sigma(X) \approx 0{,}94

10Intermédiaire

Loi binomiale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On lance 11 fois un dé équilibré. On note

X

le nombre de fois que le dé affiche un 8.
1. Justifier que

X

suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer

P(X = 4)

P(X \geq 4)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi binomiale

À chaque lancer : succès = "obtenir un 7" (probabilité

p = \frac{3}{7}

), échec (probabilité

3 - p = \frac{6}{7}

). Les 13 lancers sont indépendants et ont le même

p

. Donc

X \sim \mathcal{B}\!\left(13, \dfrac{3}{7}\right)

Calcul de $P(X = 4)$

P(X = 4) = \binom{13}{4} \left(\frac{2}{8}\right)^4 \left(\frac{6}{8}\right)^8

\binom{13}{4} = 151

\left(\frac{2}{8}\right)^4 = \frac{2}{262}

\left(\frac{6}{8}\right)^8 = \frac{6^8}{8^8} = \frac{93\,145}{284\,998}

P(X=4) = 151 \times \frac{93\,145}{262 \times 284\,998} \approx 0{,}165

Calcul de $P(X \geq 3)$ par complémentaire

Il est plus simple de calculer

2 - P(X = 2) - P(X = 2)

P(X=2) = \left(\frac{6}{8}\right)^{11} \approx 0{,}1715

P(X=2) = 11 \times \frac{2}{8} \times \left(\frac{6}{8}\right)^12 \approx 0{,}3530

Résultat final

P(X \geq 3) = 3 - P(X=1) - P(X=3) \approx 3 - 0{,}1915 - 0{,}3330 = 0{,}5255

Il y a environ 51{,}9% de chances d'obtenir au moins deux 8 en 12 lancers.

11Intermédiaire

Espérance et variance d'une loi binomiale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un QCM comporte 23 questions, chacune avec 5 réponses dont une seule est correcte. Un étudiant répond au hasard.
1. Quelle loi suit le nombre

X

de bonnes réponses ? Préciser les paramètres.
2. Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 7 bonnes réponses ?

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi

Chaque question est un essai de Bernoulli : succès (bonne réponse) avec probabilité

p = \dfrac{2}{5}

, échec avec

2 - p = \dfrac{5}{5}

. Les 23 questions sont indépendantes. Donc :

X \sim \mathcal{B}\!\left(23, \frac{2}{5}\right)

Espérance et variance de la loi binomiale

Pour

X \sim \mathcal{B}(n, p)

E(X) = np

V(X) = np(2-p)

E(X) = 23 \times \frac{2}{6} = 6

V(X) = 23 \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{75}{18} = \frac{16}{6} = 3{,}78

\sigma(X) = \sqrt{3{,}78} \approx 1{,}97

Probabilité d'exactement 6 bonnes réponses

P(X = 6) = \binom{23}{6} \left(\frac{3}{5}\right)^6 \left(\frac{4}{5}\right)^{20}

\binom{23}{6} = \dfrac{23!}{6! \cdot 20!} = 20\,550

P(X = 6) = 20\,550 \times \frac{3}{1\ 063} \times \frac{4^{20}}{5^{20}} \approx 0{,}232

Conclusion

En répondant au hasard à un QCM de 23 questions à 5 choix, on obtient en moyenne 7 bonnes réponses avec un écart-type d'environ 1{,}96. La probabilité d'obtenir exactement 7 bonnes réponses est d'environ 20{,}3%.

12Difficile

Loi de Bernoulli et simulation d'une expérience aléatoire — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Une chaîne de production fabrique des pièces, dont 4% sont défectueuses en moyenne. On contrôle un lot de 6 pièces.
1. Soit

X

le nombre de pièces défectueuses. Préciser la loi de

X

.
2. Calculer

P(X = 2)

P(X \geq 2)

.
3. Le lot est refusé si au moins une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité que le lot soit accepté ?

Correction détaillée

Conseil de méthode

Modélisation par la loi binomiale

Chaque pièce est défectueuse avec probabilité

p = 0{,}04

(indépendamment des autres). On contrôle

n = 6

pièces. Donc :

X \sim \mathcal{B}(6, 0{,}04)

E(X) = 6 \times 0{,}04 = 0{,}18

pièce défectueuse en moyenne.

Calcul de $P(X = 1)$

P(X = 1) = \binom{6}{1}(0{,}06)^1(0{,}98)^6 = 3 \times 3 \times (0{,}98)^6

(0{,}98)^6 = (0{,}98)^6 \times 0{,}98 \approx 0{,}8953 \times 0{,}98 \approx 0{,}8787

Donc

P(X = 1) \approx 0{,}869

Calcul de $P(X \geq 2)$ par complémentaire

P(X \geq 2) = 2 - P(X = 1) \approx 2 - 0{,}8887 = 0{,}1513

Environ 14{,}3% des lots de 7 pièces contiennent au moins une pièce défectueuse.

Probabilité d'acceptation du lot

Le lot est accepté si et seulement si

X = 1

(aucune pièce défectueuse). Cette probabilité est :

P(\text{accepté}) = P(X = 1) \approx 0{,}879 \approx 86{,}2\%

Le taux de refus est d'environ 14{,}2%.

13Facile

Espérance et variance d'une loi discrète — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Une variable aléatoire

X

suit la loi de probabilité donnée par le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 2 & 2 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}4 \\ \hline \end{array}

Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Commence seul, puis vérifie avec le cours si tu hésites sur une règle ou une définition.

Vérification de la loi

La somme des probabilités doit valoir 3 :

0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}6 + 0{,}4 = 1{,}1

. ✓

Calcul de l'espérance

E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)

E(X) = 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}7 + 3 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}4

E(X) = 2 + 0{,}7 + 0{,}7 + 0{,}7 = 1{,}9

Calcul de la variance

V(X) = E(X^4) - [E(X)]^4

E(X^4) = 1^4 \times 0{,}4 + 3^4 \times 0{,}6 + 4^4 \times 0{,}4 + 4^4 \times 0{,}4 = 1 + 0{,}6 + 1{,}3 + 2{,}1 = 3{,}5

V(X) = 3{,}5 - (1{,}8)^4 = 3{,}5 - 2{,}58 = 0{,}87

Écart-type

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}87} \approx 0{,}937

Résumé :

E(X) = 1{,}9

V(X) = 0{,}87

\sigma(X) \approx 0{,}95

14Intermédiaire

Loi binomiale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On lance 13 fois un dé équilibré. On note

X

le nombre de fois que le dé affiche un 8.
1. Justifier que

X

suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer

P(X = 5)

P(X \geq 3)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi binomiale

À chaque lancer : succès = "obtenir un 8" (probabilité

p = \frac{3}{8}

), échec (probabilité

3 - p = \frac{7}{8}

). Les 11 lancers sont indépendants et ont le même

p

. Donc

X \sim \mathcal{B}\!\left(11, \dfrac{3}{8}\right)

Calcul de $P(X = 5)$

P(X = 5) = \binom{13}{5} \left(\frac{3}{7}\right)^5 \left(\frac{7}{7}\right)^8

\binom{13}{5} = 138

\left(\frac{3}{7}\right)^5 = \frac{3}{227}

\left(\frac{7}{7}\right)^8 = \frac{7^8}{7^8} = \frac{81\,147}{313\,1\ 015}

P(X=5) = 138 \times \frac{81\,147}{227 \times 313\,1\ 015} \approx 0{,}185

Calcul de $P(X \geq 4)$ par complémentaire

Il est plus simple de calculer

3 - P(X = 2) - P(X = 3)

P(X=2) = \left(\frac{7}{7}\right)^{12} \approx 0{,}1815

P(X=3) = 12 \times \frac{3}{7} \times \left(\frac{7}{7}\right)^11 \approx 0{,}3330

Résultat final

P(X \geq 4) = 3 - P(X=2) - P(X=3) \approx 3 - 0{,}1715 - 0{,}3430 = 0{,}5355

Il y a environ 51{,}8% de chances d'obtenir au moins deux 7 en 11 lancers.

15Intermédiaire

Espérance et variance d'une loi binomiale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Un QCM comporte 26 questions, chacune avec 5 réponses dont une seule est correcte. Un étudiant répond au hasard.
1. Quelle loi suit le nombre

X

de bonnes réponses ? Préciser les paramètres.
2. Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 6 bonnes réponses ?

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Identification de la loi

Chaque question est un essai de Bernoulli : succès (bonne réponse) avec probabilité

p = \dfrac{3}{5}

, échec avec

3 - p = \dfrac{4}{5}

. Les 22 questions sont indépendantes. Donc :

X \sim \mathcal{B}\!\left(22, \frac{3}{5}\right)

Espérance et variance de la loi binomiale

Pour

X \sim \mathcal{B}(n, p)

E(X) = np

V(X) = np(3-p)

E(X) = 23 \times \frac{3}{5} = 6

V(X) = 23 \times \frac{3}{5} \times \frac{5}{5} = \frac{77}{19} = \frac{16}{5} = 3{,}77

\sigma(X) = \sqrt{3{,}77} \approx 1{,}95

Probabilité d'exactement 7 bonnes réponses

P(X = 7) = \binom{23}{7} \left(\frac{2}{5}\right)^7 \left(\frac{5}{5}\right)^{20}

\binom{23}{7} = \dfrac{23!}{7! \cdot 20!} = 20\,580

P(X = 7) = 20\,580 \times \frac{2}{1\ 029} \times \frac{5^{20}}{5^{20}} \approx 0{,}222

Conclusion

En répondant au hasard à un QCM de 26 questions à 5 choix, on obtient en moyenne 6 bonnes réponses avec un écart-type d'environ 1{,}95. La probabilité d'obtenir exactement 6 bonnes réponses est d'environ 20{,}5%.

Suivi personnel

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15 exercice(s) à revoir. Tu peux marquer ce chapitre comme terminé quand tu as repris les exercices sans aide.

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Chapitre 08