MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 10 · Terminale

Variables Aléatoires Discrètes

Espérance, variance et loi binomiale

1Facile

Espérance et variance d'une loi discrète

Énoncé

Une variable aléatoire XX suit la loi de probabilité donnée par le tableau :
xi0123P(X=xi)0,10,40,30,2\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}
Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X).

Correction détaillée

01

Vérification de la loi

La somme des probabilités doit valoir 1 : 0,1+0,4+0,3+0,2=1,00{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}0. ✓
02

Calcul de l'espérance

E(X)=∑ixi⋅P(X=xi)E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)
E(X)=0×0,1+1×0,4+2×0,3+3×0,2E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2
E(X)=0+0,4+0,6+0,6=1,6E(X) = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}6
03

Calcul de la variance

V(X)=E(X2)−[E(X)]2V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
E(X2)=02×0,1+12×0,4+22×0,3+32×0,2=0+0,4+1,2+1,8=3,4E(X^2) = 0^2 \times 0{,}1 + 1^2 \times 0{,}4 + 2^2 \times 0{,}3 + 3^2 \times 0{,}2 = 0 + 0{,}4 + 1{,}2 + 1{,}8 = 3{,}4
V(X)=3,4−(1,6)2=3,4−2,56=0,84V(X) = 3{,}4 - (1{,}6)^2 = 3{,}4 - 2{,}56 = 0{,}84
04

Écart-type

σ(X)=V(X)=0,84≈0,917\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}917
Résumé : E(X)=1,6E(X) = 1{,}6, V(X)=0,84V(X) = 0{,}84, σ(X)≈0,92\sigma(X) \approx 0{,}92.
2Intermédiaire

Loi binomiale

Énoncé

On lance 10 fois un dé équilibré. On note XX le nombre de fois que le dé affiche un 6.
1. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer P(X=3)P(X = 3) et P(X≥2)P(X \geq 2).

Correction détaillée

01

Identification de la loi binomiale

À chaque lancer : succès = "obtenir un 6" (probabilité p=16p = \frac{1}{6}), échec (probabilité 1−p=561 - p = \frac{5}{6}). Les 10 lancers sont indépendants et ont le même pp. Donc X∼B ⁣(10,16)X \sim \mathcal{B}\!\left(10, \dfrac{1}{6}\right).
02

Calcul de $P(X = 3)$

P(X=3)=(103)(16)3(56)7P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^7
(103)=120\binom{10}{3} = 120, (16)3=1216\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}, (56)7=5767=78 125279 936\left(\frac{5}{6}\right)^7 = \frac{5^7}{6^7} = \frac{78\,125}{279\,936}.
P(X=3)=120×78 125216×279 936≈0,155P(X=3) = 120 \times \frac{78\,125}{216 \times 279\,936} \approx 0{,}155
03

Calcul de $P(X \geq 2)$ par complémentaire

Il est plus simple de calculer 1−P(X=0)−P(X=1)1 - P(X = 0) - P(X = 1).
P(X=0)=(56)10≈0,1615P(X=0) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0{,}1615
P(X=1)=10×16×(56)9≈0,3230P(X=1) = 10 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^9 \approx 0{,}3230
04

Résultat final

P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)≈1−0,1615−0,3230=0,5155P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0{,}1615 - 0{,}3230 = 0{,}5155
Il y a environ 51,6% de chances d'obtenir au moins deux 6 en 10 lancers.
3Intermédiaire

Espérance et variance d'une loi binomiale

Énoncé

Un QCM comporte 20 questions, chacune avec 4 réponses dont une seule est correcte. Un étudiant répond au hasard.
1. Quelle loi suit le nombre XX de bonnes réponses ? Préciser les paramètres.
2. Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X).
3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 bonnes réponses ?

Correction détaillée

01

Identification de la loi

Chaque question est un essai de Bernoulli : succès (bonne réponse) avec probabilité p=14p = \dfrac{1}{4}, échec avec 1−p=341 - p = \dfrac{3}{4}. Les 20 questions sont indépendantes. Donc :
X∼B ⁣(20,14)X \sim \mathcal{B}\!\left(20, \frac{1}{4}\right)
02

Espérance et variance de la loi binomiale

Pour X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p) : E(X)=npE(X) = np et V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p).
E(X)=20×14=5E(X) = 20 \times \frac{1}{4} = 5
V(X)=20×14×34=6016=154=3,75V(X) = 20 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3{,}75
σ(X)=3,75≈1,94\sigma(X) = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94
03

Probabilité d'exactement 5 bonnes réponses

P(X=5)=(205)(14)5(34)15P(X = 5) = \binom{20}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^{15}
(205)=20!5!⋅15!=15 504\binom{20}{5} = \dfrac{20!}{5! \cdot 15!} = 15\,504
P(X=5)=15 504×11024×315415≈0,202P(X = 5) = 15\,504 \times \frac{1}{1024} \times \frac{3^{15}}{4^{15}} \approx 0{,}202
04

Conclusion

En répondant au hasard à un QCM de 20 questions à 4 choix, on obtient en moyenne 5 bonnes réponses avec un écart-type d'environ 1,94. La probabilité d'obtenir exactement 5 bonnes réponses est d'environ 20,2%.
4Difficile

Loi de Bernoulli et simulation d'une expérience aléatoire

Énoncé

Une chaîne de production fabrique des pièces, dont 3% sont défectueuses en moyenne. On contrôle un lot de 5 pièces.
1. Soit XX le nombre de pièces défectueuses. Préciser la loi de XX.
2. Calculer P(X=0)P(X = 0) et P(X≥1)P(X \geq 1).
3. Le lot est refusé si au moins une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité que le lot soit accepté ?

Correction détaillée

01

Modélisation par la loi binomiale

Chaque pièce est défectueuse avec probabilité p=0,03p = 0{,}03 (indépendamment des autres). On contrôle n=5n = 5 pièces. Donc :
X∼B(5,0,03)X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}03)
E(X)=5×0,03=0,15E(X) = 5 \times 0{,}03 = 0{,}15 pièce défectueuse en moyenne.
02

Calcul de $P(X = 0)$

P(X=0)=(50)(0,03)0(0,97)5=1×1×(0,97)5P(X = 0) = \binom{5}{0}(0{,}03)^0(0{,}97)^5 = 1 \times 1 \times (0{,}97)^5
(0,97)5=(0,97)4×0,97≈0,8853×0,97≈0,8587(0{,}97)^5 = (0{,}97)^4 \times 0{,}97 \approx 0{,}8853 \times 0{,}97 \approx 0{,}8587
Donc P(X=0)≈0,859P(X = 0) \approx 0{,}859.
03

Calcul de $P(X \geq 1)$ par complémentaire

P(X≥1)=1−P(X=0)≈1−0,8587=0,1413P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0{,}8587 = 0{,}1413
Environ 14,1% des lots de 5 pièces contiennent au moins une pièce défectueuse.
04

Probabilité d'acceptation du lot

Le lot est accepté si et seulement si X=0X = 0 (aucune pièce défectueuse). Cette probabilité est :
P(accepteˊ)=P(X=0)≈0,859≈85,9%P(\text{accepté}) = P(X = 0) \approx 0{,}859 \approx 85{,}9\%
Le taux de refus est d'environ 14,1%.