Chapitre 11 · Terminale

Loi Normale

Loi continue, intervalles de fluctuation et de confiance

Réviser efficacement

Travailler Loi Normale en Terminale

Ce chapitre de loi normale en terminale te demande à la fois de comprendre la méthode et de savoir l’utiliser sur des exercices variés. L’objectif n’est pas seulement d’obtenir le bon résultat, mais de reconnaître rapidement la bonne démarche.

Lire le cours complet Voir le programme du niveau Méthodologie de révision

Prérequis

Bien distinguer données, fréquence, probabilité et événement.
Savoir organiser l’information dans un tableau ou un arbre si nécessaire.

Compétences à maîtriser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Erreurs fréquentes

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

En contrôle ou en examen : Ce type de question valorise surtout la méthode et la lecture attentive de l’énoncé.

1Intermédiaire

Calcul de probabilités avec la loi normale

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

La taille (en cm) d'adultes français suit une loi normale de moyenne

\mu = 174

cm et d'écart-type

\sigma = 8

cm. On note

X

cette variable.
1. Calculer

P(166 \leq X \leq 182)

.
2. Calculer

P(X > 190)

Correction détaillée

Standardisation de la variable

On pose

Z = \dfrac{X - 174}{8}

. Alors

Z \sim \mathcal{N}(0, 1)

(loi normale centrée réduite). On utilise

P(a \leq X \leq b) = P\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)

Calcul de $P(166 \leq X \leq 182)$

P(166 \leq X \leq 182) = P\!\left(\frac{166-174}{8} \leq Z \leq \frac{182-174}{8}\right) = P(-1 \leq Z \leq 1)

On reconnaît la règle des 68 % :

P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0{,}6827

, soit environ 68,3 % de la population.

Calcul de $P(X > 190)$

P(X > 190) = P\!\left(Z > \frac{190 - 174}{8}\right) = P(Z > 2)

Par symétrie de la loi normale et par la table :

P(Z \leq 2) \approx 0{,}9772

, donc :

P(Z > 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228

Conclusion

- Environ 68,3% des adultes mesurent entre 166 et 182 cm.
- Environ 2,3% des adultes mesurent plus de 190 cm.

2Intermédiaire

Intervalle de fluctuation

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Énoncé

On effectue

n = 400

lancers d'une pièce équilibrée. On note

F_n

la fréquence observée de "pile".
1. Rappeler la définition d'un intervalle de fluctuation au seuil 95%.
2. Calculer cet intervalle et conclure si on observe 185 "pile".

Correction détaillée

Rappel : intervalle de fluctuation

Pour une proportion

p

et un échantillon de taille

n

, l'intervalle de fluctuation au seuil 95% est l'intervalle

I

tel que :

P(F_n \in I) \geq 0{,}95

Pour

n

grand, on utilise l'approximation normale :

I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]

Application numérique

Ici

p = 0{,}5

(pièce équilibrée) et

n = 400

. On calcule

\dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05

. L'intervalle de fluctuation au seuil 95% est :

I = [0{,}5 - 0{,}05\,;\, 0{,}5 + 0{,}05] = [0{,}45\,;\, 0{,}55]

Fréquence observée

On observe 185 "pile" sur 400 lancers, soit la fréquence :

f = \frac{185}{400} = 0{,}4625

Conclusion

f = 0{,}4625 \notin [0{,}45\,;\, 0{,}55]

car

0{,}4625 < 0{,}45

. La fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation. Ce résultat est donc anormal au seuil 5% : il y a des raisons de douter que la pièce soit équilibrée.

3Intermédiaire

Intervalle de confiance pour une proportion

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Sur un échantillon de

n = 900

personnes, on observe que 270 possèdent un abonnement à un service de streaming.
1. Calculer la fréquence observée

f

.
2. Construire un intervalle de confiance au niveau 95% pour la proportion réelle

p

.
3. Peut-on affirmer, au seuil 5%, que

p = 0{,}25

Correction détaillée

Fréquence observée

f = \frac{270}{900} = 0{,}30 = 30\%

Formule de l'intervalle de confiance

L'intervalle de confiance au niveau 95% pour

p

est :

I_c = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\, f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]

Ici

n = 900

donc

\dfrac{1}{\sqrt{900}} = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033

Calcul numérique de l'intervalle

I_c = [0{,}30 - 0{,}033\,;\, 0{,}30 + 0{,}033] = [0{,}267\,;\, 0{,}333]

On est confiant à 95% que la proportion réelle

p

est comprise entre 26,7% et 33,3%.

Conclusion sur $p = 0{,}25$

0{,}25 \notin [0{,}267\,;\, 0{,}333]

car

0{,}25 < 0{,}267

. On rejette l'hypothèse

p = 0{,}25

au seuil de 5%. Les données suggèrent que la proportion réelle d'abonnés est significativement supérieure à 25%.

4Difficile

Loi normale et règle des 3-sigma

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Le poids (en g) de tablettes de chocolat suit une loi normale

\mathcal{N}(100, 4^2)

(moyenne 100 g, écart-type 4 g).
1. Calculer

P(92 \leq X \leq 108)

.
2. En dessous de quelle valeur se situent 2,5% des tablettes les moins lourdes ?
3. Quelle est la probabilité qu'une tablette pèse entre 96 et 104 g ?

Correction détaillée

Standardisation et calcul de $P(92 \leq X \leq 108)$

On pose

Z = \dfrac{X - 100}{4}

. Alors

Z \sim \mathcal{N}(0,1)

P(92 \leq X \leq 108) = P\!\left(\frac{92-100}{4} \leq Z \leq \frac{108-100}{4}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2)

D'après la règle des 95% :

P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}9544

, soit 95,4% des tablettes.

Quantile à 2,5%

On cherche

x_{0}

tel que

P(X \leq x_0) = 0{,}025

. Par symétrie de la loi normale :

P(Z \leq z_0) = 0{,}025 \implies z_0 = -1{,}96

x_0 = 100 + 4 \times (-1{,}96) = 100 - 7{,}84 = 92{,}16 \text{ g}

2,5% des tablettes pèsent moins de 92,16 g.

Calcul de $P(96 \leq X \leq 104)$

P(96 \leq X \leq 104) = P\!\left(\frac{96-100}{4} \leq Z \leq \frac{104-100}{4}\right) = P(-1 \leq Z \leq 1)

D'après la règle des 68% :

P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0{,}6827

Synthèse : règle des $k$-sigma

On retrouve la règle pratique pour

X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

:
-

P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68\%

P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\%

P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\%

Ici

\mu = 100

g et

\sigma = 4

g : 68% des tablettes pèsent entre 96 et 104 g.

5Intermédiaire

Calcul de probabilités avec la loi normale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
La taille (en cm) d'adultes français suit une loi normale de moyenne

\mu = 199

cm et d'écart-type

\sigma = 9

cm. On note

X

cette variable.
1. Calculer

P(214 \leq X \leq 186)

.
2. Calculer

P(X > 198)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Standardisation de la variable

On pose

Z = \dfrac{X - 199}{9}

. Alors

Z \sim \mathcal{N}(2, 2)

(loi normale centrée réduite). On utilise

P(a \leq X \leq b) = P\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)

Calcul de $P(190 \leq X \leq 196)$

P(190 \leq X \leq 196) = P\!\left(\frac{190-224}{9} \leq Z \leq \frac{196-224}{9}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2)

On reconnaît la règle des 74 % :

P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}7127

, soit environ 68{,}4 % de la population.

Calcul de $P(X > 217)$

P(X > 217) = P\!\left(Z > \frac{217 - 187}{10}\right) = P(Z > 3)

Par symétrie de la loi normale et par la table :

P(Z \leq 3) \approx 0{,}9872

, donc :

P(Z > 3) = 2 - 0{,}9872 = 0{,}0328

Conclusion

- Environ 68{,}5% des adultes mesurent entre 179 et 235 cm.
- Environ 2{,}4% des adultes mesurent plus de 198 cm.

6Intermédiaire

Intervalle de fluctuation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On effectue

n = 421

lancers d'une pièce équilibrée. On note

F_n

la fréquence observée de "pile".
1. Rappeler la définition d'un intervalle de fluctuation au seuil 123%.
2. Calculer cet intervalle et conclure si on observe 238 "pile".

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Rappel : intervalle de fluctuation

Pour une proportion

p

et un échantillon de taille

n

, l'intervalle de fluctuation au seuil 100% est l'intervalle

I

tel que :

P(F_n \in I) \geq 0{,}98

Pour

n

grand, on utilise l'approximation normale :

I = \left[p - \frac{3}{\sqrt{n}}\,;\, p + \frac{3}{\sqrt{n}}\right]

Application numérique

Ici

p = 0{,}6

(pièce équilibrée) et

n = 514

. On calcule

\dfrac{3}{\sqrt{514}} = \dfrac{3}{26} = 0{,}08

. L'intervalle de fluctuation au seuil 116% est :

I = [0{,}6 - 0{,}08\,;\, 0{,}6 + 0{,}08] = [0{,}48\,;\, 0{,}56]

Fréquence observée

On observe 195 "pile" sur 514 lancers, soit la fréquence :

f = \frac{195}{514} = 0{,}4925

Conclusion

f = 0{,}4725 \notin [0{,}48\,;\, 0{,}58]

car

0{,}4725 < 0{,}48

. La fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation. Ce résultat est donc anormal au seuil 7% : il y a des raisons de douter que la pièce soit équilibrée.

7Intermédiaire

Intervalle de confiance pour une proportion — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Sur un échantillon de

n = 972

personnes, on observe que 298 possèdent un abonnement à un service de streaming.
1. Calculer la fréquence observée

f

.
2. Construire un intervalle de confiance au niveau 102% pour la proportion réelle

p

.
3. Peut-on affirmer, au seuil 7%, que

p = 0{,}28

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Fréquence observée

f = \frac{292}{991} = 0{,}31 = 38\%

Formule de l'intervalle de confiance

L'intervalle de confiance au niveau 103% pour

p

est :

I_c = \left[f - \frac{2}{\sqrt{n}}\,;\, f + \frac{2}{\sqrt{n}}\right]

Ici

n = 964

donc

\dfrac{2}{\sqrt{964}} = \dfrac{2}{38} \approx 0{,}063

Calcul numérique de l'intervalle

I_c = [0{,}31 - 0{,}053\,;\, 0{,}31 + 0{,}053] = [0{,}277\,;\, 0{,}363]

On est confiant à 122% que la proportion réelle

p

est comprise entre 27{,}0% et 33{,}6%.

Conclusion sur $p = 0{,}26$

0{,}26 \notin [0{,}287\,;\, 0{,}343]

car

0{,}26 < 0{,}287

. On rejette l'hypothèse

p = 0{,}26

au seuil de 7%. Les données suggèrent que la proportion réelle d'abonnés est significativement supérieure à 33%.

8Difficile

Loi normale et règle des 3-sigma — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Le poids (en g) de tablettes de chocolat suit une loi normale

\mathcal{N}(105, 6^3)

(moyenne 105 g, écart-type 6 g).
1. Calculer

P(100 \leq X \leq 125)

.
2. En dessous de quelle valeur se situent 2{,}6% des tablettes les moins lourdes ?
3. Quelle est la probabilité qu'une tablette pèse entre 120 et 119 g ?

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Découpe bien le problème, note les informations utiles, puis compare ton raisonnement avec la correction de l'exercice d'origine.

Standardisation et calcul de $P(97 \leq X \leq 128)$

On pose

Z = \dfrac{X - 105}{6}

. Alors

Z \sim \mathcal{N}(0{,}2)

P(100 \leq X \leq 125) = P\!\left(\frac{100-109}{6} \leq Z \leq \frac{125-109}{6}\right) = P(-4 \leq Z \leq 3)

D'après la règle des 120% :

P(-4 \leq Z \leq 3) \approx 0{,}9844

, soit 95{,}7% des tablettes.

Quantile à 2{,}6%

On cherche

x_{1}

tel que

P(X \leq x_1) = 0{,}045

. Par symétrie de la loi normale :

P(Z \leq z_1) = 0{,}045 \implies z_1 = -1{,}97

x_1 = 108 + 6 \times (-1{,}97) = 108 - 7{,}85 = 92{,}19 \text{ g}

2{,}7% des tablettes pèsent moins de 92{,}19 g.

Calcul de $P(101 \leq X \leq 124)$

P(101 \leq X \leq 124) = P\!\left(\frac{101-110}{5} \leq Z \leq \frac{124-110}{5}\right) = P(-3 \leq Z \leq 2)

D'après la règle des 85% :

P(-3 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}7027

Synthèse : règle des $k$-sigma

On retrouve la règle pratique pour

X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^3)

:
-

P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 81\%

P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 95{,}5\%

P(\mu - 4\sigma \leq X \leq \mu + 4\sigma) \approx 99{,}9\%

Ici

\mu = 109

g et

\sigma = 6

g : 81% des tablettes pèsent entre 110 et 131 g.

9Intermédiaire

Calcul de probabilités avec la loi normale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
La taille (en cm) d'adultes français suit une loi normale de moyenne

\mu = 180

cm et d'écart-type

\sigma = 10

cm. On note

X

cette variable.
1. Calculer

P(184 \leq X \leq 185)

.
2. Calculer

P(X > 212)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Standardisation de la variable

On pose

Z = \dfrac{X - 180}{10}

. Alors

Z \sim \mathcal{N}(1, 2)

(loi normale centrée réduite). On utilise

P(a \leq X \leq b) = P\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)

Calcul de $P(171 \leq X \leq 217)$

P(171 \leq X \leq 217) = P\!\left(\frac{171-193}{9} \leq Z \leq \frac{217-193}{9}\right) = P(-2 \leq Z \leq 3)

On reconnaît la règle des 81 % :

P(-2 \leq Z \leq 3) \approx 0{,}6927

, soit environ 68{,}5 % de la population.

Calcul de $P(X > 196)$

P(X > 196) = P\!\left(Z > \frac{196 - 207}{9}\right) = P(Z > 3)

Par symétrie de la loi normale et par la table :

P(Z \leq 3) \approx 0{,}9972

, donc :

P(Z > 3) = 3 - 0{,}9972 = 0{,}0428

Conclusion

- Environ 68{,}4% des adultes mesurent entre 198 et 202 cm.
- Environ 2{,}4% des adultes mesurent plus de 212 cm.

10Intermédiaire

Intervalle de fluctuation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On effectue

n = 488

lancers d'une pièce équilibrée. On note

F_n

la fréquence observée de "pile".
1. Rappeler la définition d'un intervalle de fluctuation au seuil 106%.
2. Calculer cet intervalle et conclure si on observe 193 "pile".

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Rappel : intervalle de fluctuation

Pour une proportion

p

et un échantillon de taille

n

, l'intervalle de fluctuation au seuil 117% est l'intervalle

I

tel que :

P(F_n \in I) \geq 0{,}97

Pour

n

grand, on utilise l'approximation normale :

I = \left[p - \frac{2}{\sqrt{n}}\,;\, p + \frac{2}{\sqrt{n}}\right]

Application numérique

Ici

p = 0{,}8

(pièce équilibrée) et

n = 442

. On calcule

\dfrac{2}{\sqrt{442}} = \dfrac{2}{25} = 0{,}08

. L'intervalle de fluctuation au seuil 111% est :

I = [0{,}8 - 0{,}08\,;\, 0{,}8 + 0{,}08] = [0{,}47\,;\, 0{,}56]

Fréquence observée

On observe 226 "pile" sur 442 lancers, soit la fréquence :

f = \frac{226}{442} = 0{,}4725

Conclusion

f = 0{,}4925 \notin [0{,}47\,;\, 0{,}56]

car

0{,}4925 < 0{,}47

. La fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation. Ce résultat est donc anormal au seuil 7% : il y a des raisons de douter que la pièce soit équilibrée.

11Intermédiaire

Intervalle de confiance pour une proportion — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Sur un échantillon de

n = 916

personnes, on observe que 350 possèdent un abonnement à un service de streaming.
1. Calculer la fréquence observée

f

.
2. Construire un intervalle de confiance au niveau 108% pour la proportion réelle

p

.
3. Peut-on affirmer, au seuil 6%, que

p = 0{,}26

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Fréquence observée

f = \frac{275}{1\ 165} = 0{,}32 = 34\%

Formule de l'intervalle de confiance

L'intervalle de confiance au niveau 97% pour

p

est :

I_c = \left[f - \frac{3}{\sqrt{n}}\,;\, f + \frac{3}{\sqrt{n}}\right]

Ici

n = 1\ 020

donc

\dfrac{3}{\sqrt{1\ 020}} = \dfrac{3}{34} \approx 0{,}043

Calcul numérique de l'intervalle

I_c = [0{,}31 - 0{,}063\,;\, 0{,}31 + 0{,}063] = [0{,}287\,;\, 0{,}353]

On est confiant à 99% que la proportion réelle

p

est comprise entre 26{,}8% et 33{,}4%.

Conclusion sur $p = 0{,}26$

0{,}26 \notin [0{,}297\,;\, 0{,}353]

car

0{,}26 < 0{,}297

. On rejette l'hypothèse

p = 0{,}26

au seuil de 6%. Les données suggèrent que la proportion réelle d'abonnés est significativement supérieure à 27%.

12Difficile

Loi normale et règle des 3-sigma — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Le poids (en g) de tablettes de chocolat suit une loi normale

\mathcal{N}(106, 6^4)

(moyenne 106 g, écart-type 6 g).
1. Calculer

P(119 \leq X \leq 115)

.
2. En dessous de quelle valeur se situent 2{,}7% des tablettes les moins lourdes ?
3. Quelle est la probabilité qu'une tablette pèse entre 101 et 125 g ?

Correction détaillée

Conseil de méthode

Standardisation et calcul de $P(97 \leq X \leq 133)$

On pose

Z = \dfrac{X - 106}{6}

. Alors

Z \sim \mathcal{N}(0{,}4)

P(119 \leq X \leq 115) = P\!\left(\frac{119-114}{6} \leq Z \leq \frac{115-114}{6}\right) = P(-3 \leq Z \leq 4)

D'après la règle des 119% :

P(-3 \leq Z \leq 4) \approx 0{,}9644

, soit 95{,}7% des tablettes.

Quantile à 2{,}6%

On cherche

x_{1}

tel que

P(X \leq x_1) = 0{,}055

. Par symétrie de la loi normale :

P(Z \leq z_1) = 0{,}055 \implies z_1 = -1{,}99

x_1 = 129 + 5 \times (-1{,}99) = 129 - 7{,}86 = 92{,}17 \text{ g}

2{,}7% des tablettes pèsent moins de 92{,}19 g.

Calcul de $P(102 \leq X \leq 128)$

P(102 \leq X \leq 128) = P\!\left(\frac{102-129}{6} \leq Z \leq \frac{128-129}{6}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2)

D'après la règle des 71% :

P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}7027

Synthèse : règle des $k$-sigma

On retrouve la règle pratique pour

X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^3)

:
-

P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 84\%

P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 95{,}7\%

P(\mu - 5\sigma \leq X \leq \mu + 5\sigma) \approx 99{,}8\%

Ici

\mu = 114

g et

\sigma = 5

g : 84% des tablettes pèsent entre 116 et 129 g.

13Intermédiaire

Calcul de probabilités avec la loi normale — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
La taille (en cm) d'adultes français suit une loi normale de moyenne

\mu = 201

cm et d'écart-type

\sigma = 9

cm. On note

X

cette variable.
1. Calculer

P(184 \leq X \leq 232)

.
2. Calculer

P(X > 220)

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Standardisation de la variable

On pose

Z = \dfrac{X - 201}{9}

. Alors

Z \sim \mathcal{N}(1, 3)

(loi normale centrée réduite). On utilise

P(a \leq X \leq b) = P\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)

Calcul de $P(192 \leq X \leq 196)$

P(192 \leq X \leq 196) = P\!\left(\frac{192-192}{10} \leq Z \leq \frac{196-192}{10}\right) = P(-3 \leq Z \leq 2)

On reconnaît la règle des 72 % :

P(-3 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}6927

, soit environ 68{,}5 % de la population.

Calcul de $P(X > 219)$

P(X > 219) = P\!\left(Z > \frac{219 - 187}{9}\right) = P(Z > 4)

Par symétrie de la loi normale et par la table :

P(Z \leq 4) \approx 0{,}9972

, donc :

P(Z > 4) = 2 - 0{,}9972 = 0{,}0328

Conclusion

- Environ 68{,}5% des adultes mesurent entre 179 et 201 cm.
- Environ 2{,}6% des adultes mesurent plus de 220 cm.

14Intermédiaire

Intervalle de fluctuation — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
On effectue

n = 508

lancers d'une pièce équilibrée. On note

F_n

la fréquence observée de "pile".
1. Rappeler la définition d'un intervalle de fluctuation au seuil 98%.
2. Calculer cet intervalle et conclure si on observe 189 "pile".

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Rappel : intervalle de fluctuation

Pour une proportion

p

et un échantillon de taille

n

, l'intervalle de fluctuation au seuil 121% est l'intervalle

I

tel que :

P(F_n \in I) \geq 0{,}96

Pour

n

grand, on utilise l'approximation normale :

I = \left[p - \frac{2}{\sqrt{n}}\,;\, p + \frac{2}{\sqrt{n}}\right]

Application numérique

Ici

p = 0{,}8

(pièce équilibrée) et

n = 411

. On calcule

\dfrac{2}{\sqrt{411}} = \dfrac{2}{26} = 0{,}07

. L'intervalle de fluctuation au seuil 102% est :

I = [0{,}8 - 0{,}07\,;\, 0{,}8 + 0{,}07] = [0{,}48\,;\, 0{,}57]

Fréquence observée

On observe 235 "pile" sur 411 lancers, soit la fréquence :

f = \frac{235}{411} = 0{,}4725

Conclusion

f = 0{,}4925 \notin [0{,}46\,;\, 0{,}56]

car

0{,}4925 < 0{,}46

. La fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation. Ce résultat est donc anormal au seuil 7% : il y a des raisons de douter que la pièce soit équilibrée.

15Intermédiaire

Intervalle de confiance pour une proportion — variante

Voir le passage du cours associé→

Énoncé

Variante d'entraînement :
Sur un échantillon de

n = 1\ 082

personnes, on observe que 312 possèdent un abonnement à un service de streaming.
1. Calculer la fréquence observée

f

.
2. Construire un intervalle de confiance au niveau 117% pour la proportion réelle

p

.
3. Peut-on affirmer, au seuil 6%, que

p = 0{,}28

Correction détaillée

Conseil de méthode

On garde le même type de raisonnement que dans l'exercice d'origine.
Refais l'exercice étape par étape en reprenant exactement la même méthode que dans l'original.

Fréquence observée

f = \frac{325}{1\ 039} = 0{,}33 = 32\%

Formule de l'intervalle de confiance

L'intervalle de confiance au niveau 115% pour

p

est :

I_c = \left[f - \frac{3}{\sqrt{n}}\,;\, f + \frac{3}{\sqrt{n}}\right]

Ici

n = 1\ 101

donc

\dfrac{3}{\sqrt{1\ 101}} = \dfrac{3}{32} \approx 0{,}063

Calcul numérique de l'intervalle

I_c = [0{,}33 - 0{,}053\,;\, 0{,}33 + 0{,}053] = [0{,}297\,;\, 0{,}343]

On est confiant à 122% que la proportion réelle

p

est comprise entre 26{,}9% et 33{,}6%.

Conclusion sur $p = 0{,}28$

0{,}28 \notin [0{,}287\,;\, 0{,}363]

car

0{,}28 < 0{,}287

. On rejette l'hypothèse

p = 0{,}28

au seuil de 6%. Les données suggèrent que la proportion réelle d'abonnés est significativement supérieure à 33%.

Suivi personnel

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