MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 11 · Terminale

Loi Normale

Loi continue, intervalles de fluctuation et de confiance

1Intermédiaire

Calcul de probabilités avec la loi normale

Énoncé

La taille (en cm) d'adultes français suit une loi normale de moyenne μ=174\mu = 174 cm et d'écart-type σ=8\sigma = 8 cm. On note XX cette variable.
1. Calculer P(166≤X≤182)P(166 \leq X \leq 182).
2. Calculer P(X>190)P(X > 190).

Correction détaillée

01

Standardisation de la variable

On pose Z=X−1748Z = \dfrac{X - 174}{8}. Alors Z∼N(0,1)Z \sim \mathcal{N}(0, 1) (loi normale centrée réduite). On utilise P(a≤X≤b)=P ⁣(a−μσ≤Z≤b−μσ)P(a \leq X \leq b) = P\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-\mu}{\sigma}\right).
02

Calcul de $P(166 \leq X \leq 182)$

P(166≤X≤182)=P ⁣(166−1748≤Z≤182−1748)=P(−1≤Z≤1)P(166 \leq X \leq 182) = P\!\left(\frac{166-174}{8} \leq Z \leq \frac{182-174}{8}\right) = P(-1 \leq Z \leq 1)
On reconnaît la règle des 68 % : P(−1≤Z≤1)≈0,6827P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0{,}6827, soit environ 68,3 % de la population.
03

Calcul de $P(X > 190)$

P(X>190)=P ⁣(Z>190−1748)=P(Z>2)P(X > 190) = P\!\left(Z > \frac{190 - 174}{8}\right) = P(Z > 2)
Par symétrie de la loi normale et par la table : P(Z≤2)≈0,9772P(Z \leq 2) \approx 0{,}9772, donc :
P(Z>2)=1−0,9772=0,0228P(Z > 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228
04

Conclusion

- Environ 68,3% des adultes mesurent entre 166 et 182 cm.
- Environ 2,3% des adultes mesurent plus de 190 cm.
2Intermédiaire

Intervalle de fluctuation

Énoncé

On effectue n=400n = 400 lancers d'une pièce équilibrée. On note FnF_n la fréquence observée de "pile".
1. Rappeler la définition d'un intervalle de fluctuation au seuil 95%.
2. Calculer cet intervalle et conclure si on observe 185 "pile".

Correction détaillée

01

Rappel : intervalle de fluctuation

Pour une proportion pp et un échantillon de taille nn, l'intervalle de fluctuation au seuil 95% est l'intervalle II tel que :
P(Fn∈I)≥0,95P(F_n \in I) \geq 0{,}95
Pour nn grand, on utilise l'approximation normale : I=[p−1n ; p+1n]I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right].
02

Application numérique

Ici p=0,5p = 0{,}5 (pièce équilibrée) et n=400n = 400. On calcule 1400=120=0,05\dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05. L'intervalle de fluctuation au seuil 95% est :
I=[0,5−0,05 ; 0,5+0,05]=[0,45 ; 0,55]I = [0{,}5 - 0{,}05\,;\, 0{,}5 + 0{,}05] = [0{,}45\,;\, 0{,}55]
03

Fréquence observée

On observe 185 "pile" sur 400 lancers, soit la fréquence :
f=185400=0,4625f = \frac{185}{400} = 0{,}4625
04

Conclusion

f=0,4625∉[0,45 ; 0,55]f = 0{,}4625 \notin [0{,}45\,;\, 0{,}55] car 0,4625<0,450{,}4625 < 0{,}45. La fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation. Ce résultat est donc anormal au seuil 5% : il y a des raisons de douter que la pièce soit équilibrée.
3Intermédiaire

Intervalle de confiance pour une proportion

Énoncé

Sur un échantillon de n=900n = 900 personnes, on observe que 270 possèdent un abonnement à un service de streaming.
1. Calculer la fréquence observée ff.
2. Construire un intervalle de confiance au niveau 95% pour la proportion réelle pp.
3. Peut-on affirmer, au seuil 5%, que p=0,25p = 0{,}25 ?

Correction détaillée

01

Fréquence observée

f=270900=0,30=30%f = \frac{270}{900} = 0{,}30 = 30\%
02

Formule de l'intervalle de confiance

L'intervalle de confiance au niveau 95% pour pp est :
Ic=[f−1n ; f+1n]I_c = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\, f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]
Ici n=900n = 900 donc 1900=130≈0,033\dfrac{1}{\sqrt{900}} = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033.
03

Calcul numérique de l'intervalle

Ic=[0,30−0,033 ; 0,30+0,033]=[0,267 ; 0,333]I_c = [0{,}30 - 0{,}033\,;\, 0{,}30 + 0{,}033] = [0{,}267\,;\, 0{,}333]
On est confiant à 95% que la proportion réelle pp est comprise entre 26,7% et 33,3%.
04

Conclusion sur $p = 0{,}25$

0,25∉[0,267 ; 0,333]0{,}25 \notin [0{,}267\,;\, 0{,}333] car 0,25<0,2670{,}25 < 0{,}267. On rejette l'hypothèse p=0,25p = 0{,}25 au seuil de 5%. Les données suggèrent que la proportion réelle d'abonnés est significativement supérieure à 25%.
4Difficile

Loi normale et règle des 3-sigma

Énoncé

Le poids (en g) de tablettes de chocolat suit une loi normale N(100,42)\mathcal{N}(100, 4^2) (moyenne 100 g, écart-type 4 g).
1. Calculer P(92≤X≤108)P(92 \leq X \leq 108).
2. En dessous de quelle valeur se situent 2,5% des tablettes les moins lourdes ?
3. Quelle est la probabilité qu'une tablette pèse entre 96 et 104 g ?

Correction détaillée

01

Standardisation et calcul de $P(92 \leq X \leq 108)$

On pose Z=X−1004Z = \dfrac{X - 100}{4}. Alors Z∼N(0,1)Z \sim \mathcal{N}(0,1).
P(92≤X≤108)=P ⁣(92−1004≤Z≤108−1004)=P(−2≤Z≤2)P(92 \leq X \leq 108) = P\!\left(\frac{92-100}{4} \leq Z \leq \frac{108-100}{4}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2)
D'après la règle des 95% : P(−2≤Z≤2)≈0,9544P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0{,}9544, soit 95,4% des tablettes.
02

Quantile à 2,5%

On cherche x0x_{0} tel que P(X≤x0)=0,025P(X \leq x_0) = 0{,}025. Par symétrie de la loi normale :
P(Z≤z0)=0,025  ⟹  z0=−1,96P(Z \leq z_0) = 0{,}025 \implies z_0 = -1{,}96
x0=100+4×(−1,96)=100−7,84=92,16 gx_0 = 100 + 4 \times (-1{,}96) = 100 - 7{,}84 = 92{,}16 \text{ g}
2,5% des tablettes pèsent moins de 92,16 g.
03

Calcul de $P(96 \leq X \leq 104)$

P(96≤X≤104)=P ⁣(96−1004≤Z≤104−1004)=P(−1≤Z≤1)P(96 \leq X \leq 104) = P\!\left(\frac{96-100}{4} \leq Z \leq \frac{104-100}{4}\right) = P(-1 \leq Z \leq 1)
D'après la règle des 68% : P(−1≤Z≤1)≈0,6827P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0{,}6827.
04

Synthèse : règle des $k$-sigma

On retrouve la règle pratique pour X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) :
- P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈68%P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68\%
- P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈95,4%P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\%
- P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈99,7%P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\%
Ici μ=100\mu = 100 g et σ=4\sigma = 4 g : 68% des tablettes pèsent entre 96 et 104 g.