Géométrie dans l'Espace

Le vecteur normal $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ est calculé par :
$$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$
$n_x = (1)(-1) - (-2)(2) = -1 + 4 = 3$
$n_y = (-2)(-1) - (2)(-1) = 2 + 2 = 4$
$n_z = (2)(2) - (1)(-1) = 4 + 1 = 5$
Donc $\vec{n} = (3, 4, 5)$.

Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ a pour équation :
$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$
Avec $\vec{n} = (3,4,5)$ et $A(1,0,2)$ :
$$3(x-1) + 4(y-0) + 5(z-2) = 0$$

$$3x - 3 + 4y + 5z - 10 = 0 \implies \boxed{3x + 4y + 5z = 13}$$
Vérification : $A$ : $3+0+10=13$ ✓, $B$ : $9+4+0=13$ ✓, $C$ : $0+8+5=13$ ✓.

La droite passant par $M(1,-1,2)$ de vecteur directeur $\vec{d}(1,2,-1)$ a pour représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$

On substitue les expressions paramétriques dans $2x - y + 3z = 7$ :
$$2(1+t) - (-1+2t) + 3(2-t) = 7$$
$$2 + 2t + 1 - 2t + 6 - 3t = 7$$
$$9 - 3t = 7$$

On substitue $t = \dfrac{2}{3}$ dans les équations de la droite :
$$x = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}, \quad y = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}, \quad z = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$
Le point d'intersection est $I\!\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$. Vérification : $2 \cdot \frac{5}{3} - \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{10-1+12}{3} = \frac{21}{3} = 7$. ✓

On substitue les coordonnées de $A(4, 1, 1)$ dans l'équation du plan :
$$2(4) + 1 - 2(1) = 8 + 1 - 2 = 7 \neq 3$$
Donc $A \notin \mathcal{P}$.

Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ (ici $2x + y - 2z - 3 = 0$, soit $a=2, b=1, c=-2, d=-3$) et un point $M(x_0, y_0, z_0)$, la distance est :
$$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Pour $A(4, 1, 1)$ et le plan $2x + y - 2z - 3 = 0$ :
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2 \times 4 + 1 \times 1 + (-2) \times 1 + (-3)|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|8 + 1 - 2 - 3|}{\sqrt{9}} = \frac{|4|}{3}$$

$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{4}{3}$$
La distance du point $A(4, 1, 1)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - 2z = 3$ est $\dfrac{4}{3}$ unités.

Vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ : $\vec{d}_1 = (2, -1, 1)$.
Vecteur directeur de $\mathcal{D}_2$ : $\vec{d}_2 = (1, 1, -1)$.
Pour que les droites soient parallèles, il faudrait $\vec{d}_1 = \lambda \vec{d}_2$, soit $2 = \lambda$, $-1 = \lambda$ et $1 = -\lambda$ — incompatible. Les droites ne sont pas parallèles.

On cherche $t$ et $s$ tels que les points soient confondus :
$$\begin{cases} 1 + 2t = 3 + s \\ 2 - t = 1 + s \\ 3 + t = 2 - s \end{cases}$$
Des équations (1) et (2) : $1 + 2t = 3 + s$ et $2 - t = 1 + s$ donnent $s = 1 - t$. En substituant dans (1) : $1 + 2t = 3 + 1 - t \implies 3t = 3 \implies t = 1$, $s = 0$.

On vérifie dans l'équation (3) avec $t = 1$ et $s = 0$ :
$$3 + 1 = 2 - 0 \implies 4 = 2 \quad \text{FAUX}$$
Le système est incompatible : les droites ne se coupent pas.

Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ne sont ni parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires) ni sécantes (système incompatible). Elles sont donc gauches (non coplanaires). C'est une configuration spécifique à la géométrie de l'espace, impossible en dimension 2.