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Chapitre 11 · Terminale

Cours

Loi Normale

Loi continue, intervalles de fluctuation et de confiance

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La loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) est la loi de probabilité continue la plus importante. Elle modélise de nombreuses variables naturelles (tailles, erreurs de mesure, résultats scolaires) et apparaît comme limite de la loi binomiale pour de grands nn (théorème central limite). En terminale, on utilise la loi normale N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2), la loi normale centrée réduite N(0,1)\mathcal{N}(0,1), et on construit des intervalles de fluctuation et de confiance.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
  • Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

  • Confondre événement contraire et événement impossible.
  • Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

Une variable aléatoire XX suit la loi normale N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2) de paramètres μ\mu (espérance) et σ>0\sigma > 0 (écart-type) si sa densité de probabilité est :
f(x)=1σ2πexp⁡ ⁣(−(x−μ)22σ2)f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

La courbe est en forme de cloche symétrique centrée en μ\mu. La largeur de la cloche est contrôlée par σ\sigma.

Définition

Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$

C'est la loi normale avec μ=0\mu = 0 et σ=1\sigma = 1. On note Z∼N(0,1)Z \sim \mathcal{N}(0,1). Toute loi normale se ramène à N(0,1)\mathcal{N}(0,1) par la transformation Z=(X−μ)/σZ = (X-\mu)/\sigma.
Exemple 1— Règle des $\sigma$
Si X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), donner les probabilités pour 1, 2 et 3 écarts-types.

Solution

P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈68%P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68\%

P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈95%P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95\%

P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈99,7%P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\%
  • La loi normale est symétrique autour de μ\mu.
  • 68%−95%−99,7%68\% - 95\% - 99{,}7\% : règle empirique des écarts-types.
  • Standardisation : Z=(X−μ)/σ∼N(0,1)Z = (X-\mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1).

2Intervalle de fluctuation

Soit X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p) (ou une approximation normale). La fréquence observée F=X/nF = X/n fluctue autour de pp.

Intervalle de fluctuation au seuil α\alpha : intervalle IαI_\alpha tel que P(F∈Iα)≥1−αP(F \in I_\alpha) \geq 1 - \alpha.

Approximation (pour nn grand, np≥5np \geq 5, n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5) :
I0,95=[p−1n,  p+1n]I_{0{,}95} = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}},\; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]

Définition

Intervalle de fluctuation

Intervalle construit à partir du paramètre pp connu, dans lequel la fréquence observée FF a une probabilité ≥1−α\geq 1-\alpha de tomber. Sert à tester une hypothèse.
Exemple 1— Intervalle de fluctuation
Un médicament guérit p=60%p = 60\% des patients. Dans un échantillon de n=400n = 400, donner l'intervalle de fluctuation à 95%95\%.

Solution

1400=120=0,05\frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05

I0,95=[0,60−0,05 ; 0,60+0,05]=[0,55 ; 0,65]I_{0{,}95} = [0{,}60 - 0{,}05\,;\, 0{,}60 + 0{,}05] = [0{,}55\,;\, 0{,}65]

Si la fréquence observée est dans cet intervalle, on ne remet pas pp en question.
  • Intervalle de fluctuation à 95%95\% : [p−1n,p+1n]\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right].
  • Conditions d'application : n≥30n \geq 30, np≥5np \geq 5, n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5.

3Intervalle de confiance

Quand le paramètre pp est inconnu, on l'estime à partir d'une fréquence observée ff.

Intervalle de confiance à 95%95\% : à partir d'un échantillon de taille nn avec fréquence ff :
IC0,95=[f−1n,  f+1n]IC_{0{,}95} = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}},\; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]

Interprétation : si on répète l'expérience un grand nombre de fois, 95%95\% des intervalles construits de cette façon contiennent la vraie valeur de pp.
Exemple 1— Intervalle de confiance
Dans un sondage de n=1000n = 1000 personnes, f=43%f = 43\% approuvent une mesure. Construire un IC à 95%95\%.

Solution

11000≈0,032\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}032

IC0,95=[0,43−0,032 ; 0,43+0,032]=[0,398 ; 0,462]IC_{0{,}95} = [0{,}43 - 0{,}032\,;\, 0{,}43 + 0{,}032] = [0{,}398\,;\, 0{,}462]

On estime avec 95%95\% de confiance que p∈[39,8%;46,2%]p \in [39{,}8\% ; 46{,}2\%].

⚠ Attention

L'intervalle de confiance est construit à partir de ff (inconnu inconnu), l'intervalle de fluctuation à partir de pp (connu). Ne pas les confondre.

★ À retenir

  • 1
    X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) : cloche symétrique centrée en μ\mu, de largeur σ\sigma.
  • 2
    Règle : 95%95\% des valeurs dans [μ−2σ,μ+2σ][\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma].
  • 3
    Standardisation : Z=(X−μ)/σ∼N(0,1)Z = (X-\mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1).
  • 4
    Intervalle de fluctuation (p connu) : [p±1n]\left[p \pm \frac{1}{\sqrt{n}}\right] à 95%95\%.
  • 5
    Intervalle de confiance (p inconnu) : [f±1n]\left[f \pm \frac{1}{\sqrt{n}}\right] à 95%95\%.

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