MathématiquesBy Kaizen Market

Chapitre 12 · Terminale

Cours

Géométrie dans l'Espace

Vecteurs, plans, droites et positions relatives

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La géométrie dans l'espace généralise la géométrie plane en ajoutant une troisième dimension. On y manipule des vecteurs en coordonnées, des droites et des plans définis par des équations cartésiennes ou des représentations paramétriques. Les outils essentiels sont le produit scalaire en 3D et le produit vectoriel (ou le vecteur normal), qui permettent de calculer angles, distances et positions relatives.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

  • Choisir la bonne propriété et la rédiger proprement.
  • Passer d’une figure à une démonstration ou à un calcul justifié.

Points de vigilance

  • Utiliser une propriété simplement parce que la figure “semble” la montrer.
  • Oublier de vérifier les conditions d’application.

1Vecteurs dans l'espace

Un vecteur u⃗=(x,y,z)\vec{u} = (x, y, z) dans R3\mathbb{R}^3 a trois composantes. Les opérations sont les mêmes qu'en 2D :
- Addition : u⃗+v⃗=(xu+xv,yu+yv,zu+zv)\vec{u} + \vec{v} = (x_u+x_v, y_u+y_v, z_u+z_v)
- Multiplication scalaire : ku⃗=(kx,ky,kz)k\vec{u} = (kx, ky, kz)
- Norme : ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Produit scalaire :
u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta

Définition

Vecteurs colinéaires

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u} pour un réel kk. En coordonnées : xvxu=yvyu=zvzu\frac{x_v}{x_u} = \frac{y_v}{y_u} = \frac{z_v}{z_u} (quand les composantes sont non nulles).

Définition

Vecteurs orthogonaux

u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0⇔xuxv+yuyv+zuzv=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = 0.
Exemple 1— Produit scalaire et angle
Calculer l'angle entre u⃗=(1,2,2)\vec{u}=(1,2,2) et v⃗=(2,1,−2)\vec{v}=(2,1,-2).

Solution

u⃗⋅v⃗=2+2−4=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 2+2-4 = 0

Le produit scalaire est nul, donc u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} (angle de 90°90°).
  • Norme : ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Produit scalaire nul ⇔\Leftrightarrow vecteurs orthogonaux.
  • cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.

2Équations de droites et de plans

Plan passant par A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0) de vecteur normal n⃗=(a,b,c)\vec{n}=(a,b,c) :
ax+by+cz+d=0avec d=−(ax0+by0+cz0)ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec } d = -(ax_0+by_0+cz_0)

Droite passant par A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0) de vecteur directeur d⃗=(d1,d2,d3)\vec{d}=(d_1,d_2,d_3) (représentation paramétrique) :
{x=x0+td1y=y0+td2z=z0+td3,t∈R\begin{cases} x = x_0 + td_1 \\ y = y_0 + td_2 \\ z = z_0 + td_3 \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}

Définition

Vecteur normal à un plan

Un vecteur n⃗=(a,b,c)\vec{n} = (a, b, c) est normal au plan d'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 s'il est orthogonal à tous les vecteurs du plan. L'équation du plan se lit directement depuis les coordonnées de n⃗\vec{n}.

Définition

Vecteur directeur d'une droite

Vecteur d⃗\vec{d} donnant la direction de la droite. La droite est l'ensemble des points A+td⃗A + t\vec{d} pour t∈Rt \in \mathbb{R}.
Exemple 1— Équation d'un plan
Trouver l'équation du plan passant par A(1,−1,2)A(1, -1, 2) de vecteur normal n⃗=(2,3,−1)\vec{n} = (2, 3, -1).

Solution

Équation : 2(x−1)+3(y+1)−1(z−2)=02(x-1) + 3(y+1) - 1(z-2) = 0
2x−2+3y+3−z+2=02x - 2 + 3y + 3 - z + 2 = 0
2x+3y−z+3=02x + 3y - z + 3 = 0
  • Plan : les coefficients (a,b,c)(a, b, c) dans ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 sont ceux du vecteur normal.
  • Droite : représentation paramétrique avec un paramètre tt.

3Positions relatives et distances

Droite et plan :
- Droite parallèle au plan : d⃗⊥n⃗\vec{d} \perp \vec{n} et A∉A \notin plan.
- Droite dans le plan : d⃗⊥n⃗\vec{d} \perp \vec{n} et A∈A \in plan.
- Droite sécante : d⃗⋅n⃗≠0\vec{d} \cdot \vec{n} \neq 0, un point d'intersection à trouver.

Distance d'un point M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0) au plan ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 :
d=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
Exemple 1— Distance d'un point à un plan
Calculer la distance du point M(1,2,3)M(1, 2, 3) au plan 2x−y+2z−1=02x - y + 2z - 1 = 0.

Solution

d=∣2×1−1×2+2×3−1∣4+1+4=∣2−2+6−1∣3=53d = \dfrac{|2\times1 - 1\times2 + 2\times3 - 1|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{|2-2+6-1|}{3} = \dfrac{5}{3}
  • Deux droites non coplanaires dans l'espace sont dites gauches (ni parallèles ni sécantes).
  • Distance point-plan : formule ∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

★ À retenir

  • 1
    Produit scalaire en 3D : u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v.
  • 2
    u⃗⋅v⃗=0⇔u⃗⊥v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u}\perp\vec{v}.
  • 3
    Plan ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 : vecteur normal n⃗=(a,b,c)\vec{n}=(a,b,c).
  • 4
    Distance point-plan : ∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • 5
    Droite dans l'espace : représentation paramétrique avec vecteur directeur.

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Loi continue, intervalles de fluctuation et de confiance

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Variables Aléatoires Discrètes

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Combinatoire, arrangements et probabilités