Chapitre 09 · Terminale

Cours

Dénombrement

Combinatoire, arrangements et probabilités

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'objets d'un ensemble sans les énumérer un par un. Ces techniques sont essentielles en probabilités pour calculer le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. En terminale, on distingue les arrangements (ordre compte) et les combinaisons (ordre ne compte pas), et on utilise le triangle de Pascal et la formule des coefficients binomiaux.

Mieux retenir

Comment utiliser ce cours efficacement

Commence par lire les définitions et les exemples, puis va refaire un ou deux exercices sans aide. Le but n’est pas seulement de comprendre le texte, mais de transformer ces idées en réflexes utilisables.

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Ce qu’il faut viser

Modéliser une situation aléatoire et interpréter le résultat.
Utiliser le vocabulaire probabiliste avec précision.

Points de vigilance

Confondre événement contraire et événement impossible.
Donner un résultat numérique sans interprétation.

1Principe de base : produit et addition

Principe multiplicatif : si une expérience comporte

k

étapes successives et indépendantes, avec

n_1, n_2, \ldots, n_k

choix à chaque étape, le nombre total de résultats est

n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k

.

Principe additif : si deux événements

A

B

sont incompatibles, le nombre de façons de réaliser

A

B

est

|A| + |B|

Exemple 1— Principe multiplicatif

Combien de codes à 4 chiffres (de 0 à 9) peut-on former ?

Solution

Chaque position admet 10 choix (0 à 9), indépendamment.

Total :

10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10\,000

codes.

2Arrangements et permutations

Permutation de

n

éléments : une façon d'ordonner tous les éléments. Le nombre de permutations de

n

éléments est

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1

(factorielle).

Arrangement de

k

éléments parmi

n

(ordre important, sans répétition) :

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)

Définition

Factorielle

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1

avec

0! = 1

. Exemple :

5! = 120

Définition

Arrangement

Un arrangement de

k

éléments parmi

n

est une liste ordonnée de

k

éléments distincts choisis parmi

n

. Nombre :

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Exemple 1— Arrangement

De combien de façons peut-on choisir un président, un vice-président et un secrétaire parmi 10 candidats ?

Solution

A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720

façons (ordre compte, pas de répétition).

3Combinaisons — Coefficients binomiaux

Une combinaison de

k

éléments parmi

n

est un sous-ensemble de

k

éléments (l'ordre ne compte pas).

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}

Propriétés :
-

\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1

\binom{n}{1} = n

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

(symétrie)
- Relation de Pascal :

\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}

Définition

Coefficient binomial $\binom{n}{k}$

\binom{n}{k}

(«

k

parmi

n

») est le nombre de sous-ensembles de

k

éléments d'un ensemble de

n

éléments.

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Exemple 1— Calcul de combinaison

Combien de façons de choisir 3 élèves parmi 12 pour former un groupe ?

Solution

L'ordre ne compte pas :

\binom{12}{3} = \dfrac{12!}{3! \cdot 9!} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1320}{6} = 220

$\binom{n}{k}$ : ordre ne compte pas ; $A_n^k$ : ordre compte.
Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .
Relation de Pascal : base du triangle de Pascal.

4Formule du binôme de Newton

Pour tout

n \in \mathbb{N}

et tous réels

a, b

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Exemple :

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(coefficients

1, 3, 3, 1

du triangle de Pascal).

Exemple 1— Développement binomial

Développer

(x+2)^4

Solution

(x+2)^4 = \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3\cdot 2 + \binom{4}{2}x^2\cdot 4 + \binom{4}{3}x\cdot 8 + \binom{4}{4}\cdot 16

= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16

★ À retenir

1
Permutations de $n$ éléments : $n!$ .
2
Arrangements (ordre compte) : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .
3
Combinaisons (ordre ne compte pas) : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
4
Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ .
5
Binôme de Newton : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$ .

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Exercices — Dénombrement

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Chapitre 08

Dénombrement

Comment utiliser ce cours efficacement

1Principe de base : produit et addition

2Arrangements et permutations

3Combinaisons — Coefficients binomiaux

4Formule du binôme de Newton

★ À retenir

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Chapitres liés à revoir ensuite

Suites Numériques

Variables Aléatoires Discrètes

Logarithme et Exponentielle